Soient {fig. a
Un corps à fibre moyenne plane ou £
~ 14 — PQ et P'Q' deux sections infiniment voisines, normales à la fibre moyenne ;
G et G' leurs centres de gravité, d'abscisses curvilignes s
els-i-ds, comptées à partir d'une origine prise sur la fibre
moyenne, à gauche de G; G£ la tangente positive, en G, à la fibre moyenne ; Gti et GÇ les axes principaux d'inertie de la section PQ ; n, t-^, (; les composantes parallèles aux axes G!;, G?i, GÇ de la
force élastique, rapportée à l'unité de surface, eu un point
quelconque A (ï|, Ç) de la section PQ.
Pour préciser le signe de ces composantes, nous considérons les forces élastiques dans la section PQ, comme les actions exercées par la partie du corps située à gauche de cette section, sur la partie située à droite, et nous convenons de les compter positivement dans le sens positif des axes de coordonnées.
n est la fatigue normale au point A ; t-^ et tç sont les fatigues langentielles ; d'après la convention qui vient d'être faite, il y a compression ou traction, au point A, selon que n est positif ou négatif.
Les forces élastiques dans la section PQ forment un système équivalant aux forces extérieures appliquées à gauche de cette section. L'un comme l'autre de ces deux systèmes est réductible, au centre de gravité G de la section PQ :
A V effort normal N dirigé suivant G£;
Aux efforts tranchants T,, et Tç dirigés suivant G^i et GÇ;
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Au couple de torsion Mç, d'axe Glj ;
Aux couples de flexion MA et Mç, d'axes G^i et GîJ.
Les couples Mç, M,,, M; seront considérés comme positifs, s'ils tendent à faire tourner leurs Lras de leviers dans le sens des rotations qu'il faudrait imprimer aux parties positives Gtj, GÇ et Gï des trois axes de coordonnées, pour les amener respectivement en coïncidence avec GÇ, G£ et Gtj.
Paramètres de la déformation élastique d'un corps à fibre moyenne.
8. Dans la déformation élastique, la section PQ prend, par rapport à la section P'Q' infiniment voisine, un déplacement relatif infiniment petit qui équivaut à une translation égale au déplacement relatif de son centre de gravité G et une rotation autour d'un axe passant par le centre de gravité.
i° erfi, Yirfî. ïçrfl
les composantes de la translation suivant les troix axes de coordonnées
G 5, Gi, Oï,
composantes comptées positivement dans le sens positif des axes ;
î" 85 ds, 6, ds, Dj; ds
les composantes de la rotation autour de ces mêmes axes, comptées positivement ou négativement dans les mêmes conditions que les couples de torsion et de flexion.
Les six quantités e, y,,, y^, Oj, 8,,, 8ç définissent la déformation de la tranche du corps comprise entre les deux sections PQ et P'Q'; ce sont les /-aramètres de la déformation élastique de cette tranche.
e est le raccourcissement, par unité de longueur, ou raccourcissement unitaire de l'élément de fibre moyenne GG' = rfsj selon qu'il est positif ou négatif, il y a réellement raccourcissement ou, au contraire, allongement.
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*'r, cl y; sont les glissements unitaires de la section PQ suivant les deux directions Gï[ et GÇ.
8ç est l'angle unitaire de la torsion.
H^ et •); sont les angles unitaires de la flexion, aulour de Gr, et de G v
Désignons par ;
il l'aire de la section PQ,
It son moment d'inertie polaire, par rapport à son centre de gravité,
lTj et I;ses moments d'inertie, par rapport à Gr\ et GÇ, c'est-à-dire ses moments d'inertie principaux,
E et G les modules d'élasticité longitudinale et transversale.
Les six paramètres de la déformation de la tranclie PQP'Q' som liés aux éléments de la réduction des forces élastiques dans la seclion PQ (ou des forces extérieures appliquées à gauche de celle section ) par les relations
j N=Eû£, T, = GûTr„ Tf-hGUtî:
| M; = G!;e;, Mn=EI1]e,>, Mï= EIçO;.
T-es fatigues normales et tangentielles, en un point quelconque A(y|, Ç) de la seclion PQ, sont données par les formules
Travail des forces élastiques.
Potentiel interne d'un corps à fibre moyenne.
9. Pendant que la tranche PQP'Q' passe de son état naturel à un élat quelconque de déformation, les forces élastiques appliquées sur les deux sections PQ et P'Q' limitant cette tranclie accomplissent un certain travail; soit m le quotient de ce travail infiniment pelit par l'élément GG' = ds de fibre moyenne compris
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entre ces deux sections : c'est le travail des forces élastiques, au point G, rapporté à l'unité de longueur de la fibre moyenne.
En fonction des éléments de la réduction des forces élastiques développées dans la section PQ, par la déformation, ra est exprimé par la formule
i /N* T^ T£ JVl£ M£ Mf \ ï \KQ "*■ GU "^ Gii + GIï+ KI0 "*" El-/
et, en fonction des paramètres de la déformation élastique de la tranche, par la formule
(10) ra = i(EUt*-+-Gû^-i-GOYj + GIt8E-f-El1,8fl + EIî0ï),
Le travail des forces élastiques, pour la tranche PQP'Q'. est iad.i; et, par suite, pour le corps entier, il est
l'intégrale étant étendue à la longueur totale de la fibre moyenne. Celte formule est évidemment applicable à un système de corps reliés entre eux d'une manière quelconque, à condition de convenir que l'intégrale est étendue à la longueur totale des fibres moyennes de tous les corps composant le système.
Il v a flexion plane lorsque : i° la fibre moyenne est une courbe plane, 2° le corps est de structure symétrique par rapport au plan de la fibre moyenne, 3" les forces extérieures sont appliquées dans ce plan. Dans ce cas, si l'on suppose que G£Ç est le plan de la fibre moyenne, T,(] M(, Mç, yv fl$, 8j sont nuls et, par suite, on a simplement
(io'I a='(F,Û£«+Gaf+EIO«),
en supprimant les indices Ç et r, affectant les lettres T, M et I, y et & dans les formules (g) et (io).
De même qu'en Théorie mathématique de l'Élasticité, les forces élastiques dépendent d'une fonction de forces. Pour une tranche quelconque PQP'Q', celte fonction est rads; ceci résulte de ce
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— lSque, si l'on forme les dérivées partielles de l'expression (10) de ta, par rapport aux six paramètres de la déformation, on retombe sur les expressions (7) des six éléments de la réduction des forces élastiques; pour le corps entier (ou pour un système de corps), la fonction de forces est II. On en conclut, comme précédemment {n° 4), que la fonction H est le potentiel des forces moléculaires ou potentiel interné du corps (ou du système du corps) déformé et qu'elle représente également Y énergie potentielle de celui-ci.
Paramètres de la déformation, lorsque celle-ci est à la fois élastique et calorifique.
10. On verrait, de la même façon que précédemment (11° 5), que les paramètres de la déformation élastique et calorifique d'une tranche quelconque sont
■-«. Tu Tt> H' K a=i
e, ..., 9;; désignant les paramètres de la déformation purement élastique, a. le coefficient de dilatation linéaire et ? la variation de température, positive en cas d'élévation, négative en cas d'abaisse-
Principe fondamental des méthodes tféduites du théorème des forces vives : Équation de Clapeyron; extension de cette équation.
H. Considérons un corps élastique, isotrope ou à fibre moyenne, ou un système de pareils corps, satisfaisant aux conditions suivantes :
Ce corps, ou ce système, possède un certain nombre d'appuis simples, à rotule ou à encastrement; il est donc astreint à des liaisons dites liaisons d'appui ou liaisons extérieures. Les corps composant le système sont reliés entre eux, d'une manière quelconque; ils sont donc astreints à des liaisons mutuelles, dites liaisons intérieures au système.
Les forces de liaisons extérieures sont ordinairement appelées réactions d'appuis.
On dit qu'un corps ou un système est isostatique ou hyperstatique, selon que les forces de liaisons peuvent ou non être calculées par la Statique pure, c'est-à-dire au moyen des six conditions universelles d'équilibre.
Un corps, ou un système de corps, hyperstatique peut toujours être rendu isostatique, par la suppression de certaines de ses liaisons, sans que son état d'équilibre soit troublé, sous réserve de lui appliquer les forces de baisons correspondant aux liaisons supprimées. Les liaisons subsistant alors sont dites liaisons statiques et celles supprimées, liaisons surabondantes .
Uïi système de corps est hyperstatique extérieurement ou intérieurement, selon que ses liaisons surabondantes sont extérieures ou intérieures. Un système peut, d'ailleurs, être hyperstatique à la fois extérieurement et intérieurement.
On réalise la suppression des liaisons surabondantes extérieures soit par la suppression complète de certains appuis, soit par le remplacement d'appuis à rotule par des appuis simples, soit enfin par le remplacement d'appuis à encastrement par des appuis à rotule ou par des appuis simples.
La suppression des liaisons surabondantes intérieures s'obtient soit par la suppression d'un certain nombre de contacts existant entre les différents corps du système, soit par des modifications apportées à la façon dont ces contacts ont lieu.
Suivant le nombre et la nature des liaisons d'un corps (ou d'un système de corps) hyperstatique, il existe une seule manière, ou plusieurs, de le rendre isostatique. Ainsi, il n'y a pas d'autre manière de rendre isostatique un arc reposant sur deux appuis à rotules, que de remplacer l'un de ces deux appuis par un appui simple; par contre, on peut rendre isostatique un arc encastré à ses deux extrémités, soit en supprimant purement et simplement l'un des deux appuis à encastrement, soit en substituant à ceux-ci un appui à rotule et un appui simple.
Remarque. — Dans la suite, toutes les fois que la direction d'une force de liaison sera inconnue a priori (ce qui est le cas, par exemple, d'une liaison réalisée par un appui à rotule), nous
entendrons par force de liaison, non pas celte force même, mais chacune de ses composantes suivant deux directions arbitrairement choisies. Il importe, en effet, de ne faire intervenir, dans le calcul des forces de liaisons, que des forces de directions connues d'avance.
12. Au corps ou au système de corps considéré, isostatique ou hyperstatique, peu importe, appliquons un système de forces et de couples extérieurs initialement nuls et croissant lentement jusqu'à des valeurs finales F et G. Il en résulte une déformation élastique : le point d'application de l'une quelconque des forces F subit un certain déplacement élastique absolu et la droite adjoignant les points d'application des deux forces formant un couple G subit une certaine rotation élastique absolue.
Soient :
), la projection du déplacement élastique du point d'application de la force F, sur la direction de celte force, projection comptée positivement dans le sens même de la force F, négativement en sens contraire ;
» la projection, sur l'axe du couple C, de la rotation élastique de la droite ad' (par projection de ta rotation, il faut entendre ici, cl également dans la suite de la présente Note, lu projection du vecteur représentatif de la rotation, cette projection étant d'ailleurs comptée positivement ou négativement selon qu'elle est de même sens que le vecteur représentatif du couple ou de sens contraire);
5 le travail accompli pendant la déformation, par les lorces et couples extérieurs.
Le travail des forces de liaisons est essentiellement nul.
Le travail des forces intérieures ou moléculaires est égal à — fl (n"4), II désignant le potentiel interne du corps, ou du système de corps, déformé.
En vertu du théorème des forces vives, on a
fia) s = n,
les points matériels du corps, ou du système, initialement au repos étant parvenus à un nouvel état de repos.
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Donc, le travail des forces et couples extérieurs, directement appliqués, est égal au potentiel interne du corps (ou du système de corps) déformé.
Conséquemhient, ce travail ne dépend que de l'état final de déformation; il est indépendant des étals intermédiaires et, par suite, de la façon dont ont varié les forces et couples extérieurs ('), Pour le calculer, on peut donc se fixer tel mode de variation qu'on juge convenable, de ces forces et couples. Admettons, dès lors, que, pendant la déformation, ils restent constamment dans les mêmes rapports entre eux, de sorte qu'à un état intermédiaire quelconque de la déformation, ils peuvent être représentés par Fp et Cp, p désignant un nombre positif variant de o à i pendant la déformation complète. A ce même étal de déformation, d'après le principe de la superposition des effets élastiques des forces, la projection du déplacement élastique du point d'application de la force Fp, sur la direction de celle force, est Âp et la projection, sur Taxe du couple Gp, de la rotalion élastique de la droite aa, est op, X et » désignant les valeurs de ces déplacements projetés, à la fin de la déformation.
Pendant le passage de cet étal intermédiaire de déformation a l'étal infiniment voisin suivant, les forces et couples s'accroissant de </(Fp) et de </(Cp), les déplacements projetés correspondants varientde rf(Xp) el de rf(»p) ; par suite, ces forces et couples accomplissent, entre ces deux états, un travail élémentaire d& ayant pour valeur, aux infiniment petils du second ordre près,
'étendant ù toutes les forces F et à tous les total, pour la déformation entière, est donc
{') Pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'à un système de forces et couples e rieurs donné ne puisse correspondre qu'un seul élal de déformation du ce ce qui, au point de vue physique, peut être considéré comme évident e d'ailleurs, été démontré analyliquement par Belti, Kirchlinu" et Cosserat (Arr Traite de Mécanique rationnelle, t. III, io,o3, p. 5i5),
es sommes s'élendant ù toutes les forces F et à tous les couples C. Le travail total, pour la déformation entière, est donc
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En portant cette expression de £ dans la relation (12) déduite du théorème des forces vives, on obtient l'équation fondamentale
('■lj
qui n'est autre, sous une forme différente, que l'équation de Clapeyron('). La démonstration qui vient d'en être donnée est, comme on le voit, extrêmement simple.
13- Proposons-nous d'étendre l'équation de Clapeyron au cas où la déformation est, à la fois, élastique et calorifique, ce qui, croyons-nous, n'a pas encore été fait. A cet effet, considérons un système de corps isotropes, isostatique ou hyperstatique ; soumettons-le à l'action de forces et couples extérieurs quelconques et d'une élévation de température initialement nuls et croissant lentement jusqu'à des valeurs finales F, C et t (t est compté à partir de la température à laquelle ont été réalisées les liaisons du système). Soient :
1° X la projection du déplacement élastique et calorifique du point d'application de l'une quelconque F des forces extérieures, sur la direction de cette force ;
20 f la projection, sur l'axe de l'un quelconque C des couples extérieurs, de la rotation élastique et calorifique de la droite joignant les points d'application des deux forces formant ce couple ;
les paramètres de la déformation élastique et calorifique d'un parallélépipède élémentaire, découpé en un point quelconque
{x, y, s) du système de corps, par des plans normaux aux axes de coordonnées (n* 5);
les fatigues normales, sur les trois faces de ce parallélépipède, ayant le point (#, y, z) comme sommet commun (n° 2);
(') Lamé, Leçon* sur ta théorie mathématique de l'Élasticité des corps solides, 1S66, p. 80.
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•> txy, lxl; /,!, ty:; llx, tiy,
les fatigues tangentielles sur ces mêmes faces ; 6" ns/xdydz et II les potentiels internes respectifs de ce même parallélépipède et du système de corps, déformés (n° l).
. Ces diverses notations sont relatives à l'étal final de déformation du système; nous les conserverons pour un état intermédiaire quelconque, mais en les accentuant.
Considérons la déformation infiniment petite que prend le système de corps, entre les deux états de déformation intermédiaires, correspondant, le premier, aux valeurs F', C et t' des forces et couples extérieurs et delà variation de température ; le second, aux valeurs F'-f- dF', C -f- dG et t' -f- d-i de ces mêmes quantités. Pendant cette déformation, le travail des forces et couples extérieurs est égal à celui des forces élastiquesj en vertu du théorème des forces vives. Calculons chacun de ces deux travaux :
Travail des forces et couples extérieurs. — Ce travail est, aux infiniment petits du second ordre près,
Travail des forces élastiques. — Pendant la déformation infiniment petite considérée, les paramètres de la déformation élastique et calorifique d'un parallélépipède quelconque, varient de
dt'c — osrft', dt'y — aids', dz': — nrfc", df'yz-i ''ïi.ri ^Tij.
et le potentiel de ce parallélépipède s'accroît de
d(ta'drdydz) = dm'dx dydz.
Le travail des forces élastiques, calculé pour la déformation purement élastique du parallélépipède, définie par les variations dg'xi . . . , d-]xf des six paramétres de la déformation élastique, est égal à l'accroissement dm dx dy dz du potentiel interne ; le travail de ces mêmes forces, calculé pour la déformation purement calorifique, définie par la variation — a d-s' de l'unique paramètre de la déformation calorifique, est, aux infiniment petits d'ordre supé-
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—(n'j:dyds)xd-'dj: — (n'ydsda;)zd*,dy - (n'.dxdy)x<l-:'d; = — et(n'x-*- n'y-*- nl)dt'i&edyds,
[misqu'à cette variation correspondent des allongements
xdi'dx, xth'dy, xds'ds
des arêtes du parallélépipède et que le travail des forces élastiques tangentielles est nul, la déformation purement calorifique s'ellecl tiant sans distorsions.
Par conséquent, le travail de déformation élastique et calorifique est, pour lu parallélépipède considéré,
dix' dxrtydz — a(n[e+ »'. -+- n': )rh' dcdydz,
et, pour le système de corps entier,
dll'- f f I Hn'jc^r n'y -h n\)th'dxdyds,
l'intégrale triple étant étendue à tout le volume occupé par le s\ stème.
L'équation exprimant l'égalité du travail des forces et couples extérieurs et du travail des forces élastiques, pendant la déformation infiniment petite considérée du système de corps, est donc
04) Y F'-rt'+V G df' = </!]' - f f f a( n'x+ n'y+ ri:)d-J dxdydi.
L'égalité de ces deux travaux a lieu également pour la déformation complète du système, quel que soit, d'ailleurs, le mode de croissance des forces et couples extérieurs et de la température. Plaçons-nous dans l'hypothèse qu'à un état intermédiaire quelconque de la déformation, on ait, p désignant un nombre positif croissant de o à i pendant la déformation,
et, par suite (ce qui peut être considéré comme évident au point de vue physique),
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Dès lors, dans cette hypothèse, l'équation (i4) s'écrit
élanl admis que l'élévation de température t est la même en tous les points du système de corps.
En intégrant entre les limites p = o et p = i , qui correspondent respectivement à l'origine et à la fin de la déformation, et en remarquant que l'intégrale de tflT, prise pour la déformation complète, est égale à II, potentiel interne du système déformé, on obtient
(2 FX+2 C*) = ll~{ "f ff{"*+ "*+ "--)^<iydz.
Telle est l'équation de Clapeyron étendue au cas où la déformation est, à la fois, élastique et calorifique. Bien qu'établie pour un mode de variation particulier des forces et couples extérieurs, cl de la température, elle a lieu quelles que soient les valeurs finales P, C et t de ces quantités, attendu que l'étal final de déformation du système est indépendant des étals intermédiaires. Mais son premier et son second membre ne représentent respectivement le travail des forces et couples extérieurs et le travail des forces élastiques, que dans le cas du mode de variation particulier dont il s'agit. Au contraire, dans l'équation (i3) de Clapeyron, les deux membres représentent ces deux travaux, quel que soit le mode de variation des forces et couples extérieurs et do la température.
Si le système est soumis à un abaissement de la température, il suffit de compter 7 négativement dans la formule (i5),
La démonstration qui précède, appliquée à un système de corps à libres moyenne, donne
(.0) i(^FX+2C'')=T|-i"/N''''
Pi désignant l'effort normal en une section transversale quelconque de l'un quelconque des corps, ils l'élément de fibre moyenne compris entre cette section et la section infiniment voisine, et l'intégrale étant prise tout le long des fibres moyennes des corps du système.
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On peut d'ailleurs passer directement de l'équation (i5) à l'équation (16), en établissant que, dans tout système de corps a fibres moyennes, on a
('?) J f J \nx + ny+ni)dxdydz = fïids.
Voici la démonstration de cette formule que nous aurons à utiliser plus loin.
Évaluons l'intégrale triple, d'abord pour une tranche infiniment mince comprise entre deux sections (S) et (S') de l'un quelconque des corps, faites en deux points G et G' de la fibre moyenne, dont la distance GG' = ds. A cet effet, considérons le volume de celte tranche comme formé d'un nombre infiniment grand de parallélépipèdes élémentaires, de volume clx dy dz, dont l'une des deux faces dy dz serait placée dans la section (S) et dont les quatre arêtes dx seraient perpendiculaires à cette section. Les corps a fibres moyennes étant, par hypothèse, considérés comme rigides dans le sens transversal à ces fibres, les fatigues ny et nz sont nulles; d'autre part, aux infiniment petits du second ordre près et à la convergence près des deux sections (S) et {S'), convergence toujours très faible dans les corps de la Résistance des matériaux, on a
l'ar suite, pour la Iranche considérée,
f f f \nx+ny-Y-nz)dxdydz = ds.f Çntdydz.
nxdy dz représente la force élastique sur l'élément de surface dy dz de la section (S) ; l'intégrale double est la somme algébrique de ces forces, pour toute celte section, somme qui, par définition, est l'effort normal N. Donc, toujours pour la tranche considérée,
j j j \nx+ ny+ n^dxdydz = tids.
Par conséquent, pour le système de corps entier, on a f f f ("■'+- llï+-n*)dxdydi= f 'Nrf*i
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celle dernière intégrale étant prise tout le long des fibres moyennes de tous les corps du système. c. q. f. d.
Théorème des dérivées du travail, de Castigtiano.
11. Le corps ou le système de corps, isostatique ou hyperstatique, considéré précédemment (n° 12) ayant pris son état d'équilibre élastique sous l'action d'un système de forces et couples extérieurs F et C, donnons à ces forces et couples des accroissements infiniment petits, arbitraires dF et dC
Soient :
(A et df les accroissements correspondants, positifs ou négatifs,
des déplacements projetés X et es; ds l'accroissement correspondant du travail des forces et couples
extérieurs; dll l'accroissement correspondant du potentiel interne.
d& représente le travail élémentaire accompli par les forces et couples F et C, pendant que ceux-ci croissent de dF et de dC et que, corrélativement, les déplacements projetés croissent de dX et d<o; il a donc pour expression, aux infiniment petits du second ordre près,
rfG=y Frfl+y Crfs;
la substitution de cette expression dans la formule { la) {n" 12) diflerentiée, donne
du = "S FdX -+- Y Crfp.
D'autre part, en différenlianl l'équation fondamentale (i3) (n- 12), on a
int membre à membre ces deux der >ant la différentielle totale dïl, on ol
En ajoutant membre à membre ces deux dernières équations et en développant la différentielle totale dïl, on obtient la relation
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qui ne peut être satisfaite que si l'on a séparément
(.8) l-sp, »-„..
puisque les accroissements tfF et dC sonl arbitraires. D'où :
Théo rem r. — Si un corps élastique, isotrope ou à fibre moyenne, ou un système de pareil corps (isostatique ou hyperstatique) est soumis à un système quelconque de forces et couples extérieurs:
i" La projection, sur la direction de l'une quelconque des forces, du déplacement élastique du point d'application de cette force, est égale à la dérivée partit Ile, par rapport à cette même force, du potentiel interne du corps, ou du système de corps, déformé.
2" La projection, sur Vaxe de V un quelconque des couples, de la rotation élastique' de la droite joignant les points d'application des deux forces de ce couple, est égale à la dérivée partielle, par rapport à ce même couple, du potentiel interne du corps, ou du système de corps, déformé.
Tel est le théorème de Castigliano (') appelé par cet ingénieur théorème des dérivées du travail, dénomination qui se justifie par le fait que, d'après la formule ( i 2 ) ( n° 12), le potentiel interne est égal au travail des forces extérieures pendant la déformation.
15- Corollaire 1. — Si, parmi les forces extérieures, il y en a deux F égales et opposées, l'accroissement élastique Aide la distance I = AB de leurs points d'application A et B est égale à la dérivée partielle -r-. du potentiel interne par rapport à F.
En effet, supposons d'abord que les deux forces soient inégales;
désignons par F' celle appliquée en A, par F* celle appliquée en B ;
(') Castiolmso, A'ou relie théorie de l'équilibre des systèmes articules (Acte de l'Académie de Turin, 1875); Théorie de l'équilibre des systèmes élastiqut (Turin, .879).
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on peut toujours poser
(a) F' = *'F, r = AT,
k' et k" désignant deux nombres quelconques positils. Soieni :
à' l l'accroissement élastique de la distance AB = /; accroissement qui est différent de A/, mais lui devient égal dans le cas particulier où k' — /f* = i ;
X' et X" les déplacement élastiques des deux. points A et B. estimés suivant la direction commune AB des deux forces F' et F", et comptés positivement, le premier dans le sens de F', le second, dans le sens de F".
On a évidemment
Mais, d'après le théorème de Casligliano,
àÏÏ -, àW
X~dF" k~W
11' désignant le polentiel interne qui diffère de II, mais devient égal à II dans le cas particulier où F'= F"= F. Par suite
„ M' ài\"
et, en faisant F'=s F*= F,
Or, II', qui est fonction de F' et de F", peut aussi être considéré comme fonction de F, puisque, par hypothèse, F' et F" sont liés à F par les relations {«) ; ce qui permet d'écrire
£' *• = S dw + % dr - % «F H- % «F,
db db dF* db dF '
ou
<mi' àW <*n" 5F - dF- * ~*~ rfF* * •
i faisant k'=k"=i, ce qui entraîne F' = F*=F
Par suite, l'expression (b) de i£ devient
Corollaire II. — Si, parmi les forces extérieures, il y en a quatre appliquées en quatre points a, a', b, b' situés dans un même plan, si ces forces sont également situées dans ce plan. si celtes appliquées en a et en a' constituent un couple C, et si celles appliquées en b et en b' constituent un couple égal et contraire au précédent, la droite aa subit, relativement à la droite Ob', une rotation élastique dont la projection sur l'axe • du couple C est égale à la dérivée partielle ^ du potentiel interne par rapport à C.
Ce corollaire découle de la seconde partie du théorème de Castigliano et se démontre de la même manière que le corollaire 1.
Corollaire IH. — Dans le cas d'un corps à fibre moyenne, ou d'un système de pareils corps, si un couple C est appliqué à une section transversale quelconque, la projection, sur l'axe de ce couple, de la rotation élastique de cette section, e^t égale à la dérivée partielle, par rapport à ce même couple, du potentiel interne du corps, ou dusystème du corps déformé. De plus, s'il y a flexion plane, ce qui exige que l'axe <lu couple C soit normal au plan de flexion, cette dérivée représente la rotation même de ta section.
Soient {fig. 3) :
a et a' les points d'application, sur la section considérée (S), des
deux forces F et — F constituant le couple C; T la direction de l'axe de ce couple, laquelle est normale au plan
de F et de — F et, par suite, à la droite aa' contenue dans ce
plan; .
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<ï>s la rotation de la section ( S ) ; <1> la rotation de la droite ad; tp la projection de cette dernière rotation sur la direction Y.
D'après la seconde partie du théorème de Castigliano, on a
11 suffit donc, pour établir le corollaire, de montrer que la projection de la rotation "tg de la section (S), sur la direction V de l'axe du couple C, est égale à la projection ç, sur cette même direction, de la rotation *ï> de la droite aa'.
Or, la rotation <&s peut être décomposée en : i" une rotation équipollente à <l», qui amène la droite aa' située dans le plan de la section (S), de sa position initiale à sa position (inale; 2° une rotation *F autour de ad ; de sorte qu'on a l'équipollencc
Projetons cette équipollence sur la direction T ; W étant normale à T a une projection nulle; donc la projection de la rotation <ï»s sur la direction T est égale à la projection ç de la rotation * sur cette même direction. c. y. y. n.
Application du théorème de Casliglîano au calcul des déplacements élastiques.
16. Pour appliquer le théorème de Castigliano au calcul des déplacements élastiques dans les corps ou les systèmes de corps
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Isotropes, il est nécessaire de former l'expression du potenliel interne, en fonction des forces et couples extérieurs F et C. A cet eff'el, il faut calculer les six fatigues n el t (ou les six paramètres s et y) (n°* 2 et 3), en fonction de ces mêmes forces et couples, et 1rs substituer clans l'expression générale (3) (n° 4) (ou (4), même numéro) du potenliel rapporté à l'unité de volume. Or, en l'étal présent de la Théorie mathématique de l'Elasticité, ce calcul n'est possible que dans un très petit nombre de cas particuliers. Il s'ensuit qu'actuellement du moins le théorème de Castigliano est i-n général inutilisable, en ce qui concerne les corps et les systèmes de corps isotropes.
Par contre, il est immédiatement applicable aux corps et aux systèmes de corps à fibres moyennes. En effet, l'expression ■ leur potenliel esl, d'après les formules (o.) el (11)
et, si l'on porte cette expression dans celles (181 (n° H) de À et de s, on obtient
J IfÛtfF
ME dMg M. dM, M; dM;\ . "*" (jl; </F* + ET, 5F ~*~ EI[ OV j '
N m T^dTfl T; oT;
lia oC + OU dC + Gii oC
Mj rtM| M^ M^ M; dMg\ "■" GI( rfC + Kl. oC "'" El; oC /
Dès lois, pour calculer A et <p, il suffit d'effectuer, au centre de gravité de chaque section, la réduction des forces extérieures appliquées à gauche de cette section (forces de liaisons comprises). ce qui fait connaître N, . . . , M; en fonction de F et de C, puis de
r 1 j ■ ■ n <*N dMr êS è\U .
former les dérivées partielles—-., ...,—^1-7:, ...,— rr, el de r or 01' 0<i oc,
substituer ces résultats dans les formules (19) et (ao).
Si le corps (ouïe système du corps) est soumis à \a flexion
plane (n° 9), l'expression du potentiel interne se simplifie nota-
ci bvGoogle
iement et les formules {19) et (20) se réduisent à
f/N i*N T i)T M dM \ ,
(ao')
Les formiiles qui précèdent ne font connaître les déplacements projetés et les rotations projetées que pour les points d'application des forces extérieures et pour les sections d'application des couples extérieurs. Mais, par un artifice très simple, il est facile de les étendre à un point quelconque et à une section quelconque.
Ainsi, soit à déterminer le déplacement élastique d'un point quelconque A, en projection sur une direction arbitrairement choisie à. Appliquons, en ce point CL suivant celle direction, une force auxiliaire -i, de grandeur quelconque, en sus des forces et couples extérieurs donnés F et C; dès lors, les éléments N, TTi, . . ., Mç de la réduction des forces élastiques dans une section quelconque (ou des forces extérieures de gauche), au centre de gravité de celle section, deviennent N + X, H-T^ + s,, ..., M(-+- 3Ri;, si l'on désigne par X, G,,, . . ., Jllç ce que seraient les élémenls de cette réduction, si la force -ï était seule appliquée, à l'exclusion des forces et couples F et C. Le déplacement- élastique du point A, sous l'influence du système F, C, S, a pour expression, en projection sur la direction A,
-/Fi
>j -f- x à(N -j-xj Tfi+ s. jçiy
ih .àî J *'
en vertu de la formule (19).
Pour obtenir le déplacement projeté cherché, il suflit évidemment de faire ,f = o, ce qui entraîne X = o, 6,,= o, . . ., 3lt; = o; il vient ainsi, observation faile que N, TV|, . . ., Mç sont indépendants de à et que, par suite, — : , — *■' , ■ ■ ■ , —3* sont nuls,
EQ tf-? GU rfï El' rfï /
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De même, la rotation d'une section quelconque (S), en projection sur une direction T arbitrairement choisie, est exprimée par la formule
? "J \E2 rfC + GO dQ +""-"t~ El; rfs, ) "'
dans laquelle 3It, 6,., . .., 31tç sont les éléments de la réduction des forces élastiques dans une section quelconque, au centre de gravité de cette section, le corps, ou le système de corps, étant supposé soumis exclusivement à un couple auxiliaire, d'intensité G quelconque, appliqué à la section (S) et de direction d'axe T.
Dans le cas de la flexion plane, la direction A doit, bien entendu, cire située dans le plan de flexion et la direction V être normale à ce plan, et les formules (ai) et (aa) se réduisent à
, „ , r ! N rfX T ilts M dOILA ,
("' ?=J \ËQ-dë + Ghdë-hKi-ds)'is;
<p est alors la rotation même de la section (S).
17. N, T^, ..., Mç sont, dans le système de corps considéré, soumis aux forces et couples donnés F et C, les éléments de la réduction, au centre de gravité d'une section quelconque de l'un quelconque des corps, des forces extérieures agissant à gauche de cette section, forces de liaisons comprises.
3t, 6^, ..., 311.5 sont les éléments de même nature, dans ce système soumis soit à la force auxiliaire if, soit au couple auxiliaire S.
Le calcul de ces divers éléments de réduction exige la détermination préalable des forces de liaisons.
Si le système considéré est isostatique, celte détermination ne leléve que de la Statique pure et n'offre aucune difficulté.
S'il est hypers ta tique, elle exige l'intervention de la Théorie de l'Elasticité; nous traiterons plus loin cette question. Toutefois, on peut éviter celte intervention, en ce qui concerne fe calcul des éléments 3fc, e,,, . . ., S\Lç; voici comment :
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Soient, dans un système hyperstatique quelconque, sollicité p«r les forces et couples F et C donnés, F, les forces de liaisons surabondantes extérieures et intérieures, forces qui sont inconnues. Considérons le système isostatique, obtenu par la suppression de toutes les liaisons surabondantes de ce système hyperstatique; soumettons-le aux forces et couples F, C et aux forces inconnues F, : il prend un état de déformation identique à celui du système hyper statique, soumis seulement aux forces et couples F et C; par conséquent, au lieu de calculer les déplacements élastiques projetés ^ et les rotations élastiques projetées &. dans le système hyperstatique, il revient au même de les calculer dans le système isostatique; dès lors, dans les formules (21) el {22) (n° 16) : 1* les éléments de réduction 3t>, STl, . .., .iRç deviennent relatifs a ce système isostatique, soumis soit à la force auxiliaire jf, soit au couple auxiliaire G; 20 les éléments de réduction N, T,,, .... M( deviennent également relatifs à ce même système isostatique, soumis aux forces et couples F, C el aux forces Fj inconnues; mais ces derniers éléments ont les mêmes valeurs que dans le système hypers ta tique soumis seulement aux forces et couples F et C donnés, puisque l'état de déformation de ces deux systèmes est le même.
Donc, dans l'application des formules (31) et (22) [ou (al/) et (22')) à un système hyperstatique, on peut considérer les éléments de réduction X, Gr„ ..., ,"ïR.j (ou 3t>, G, OR), comme afférents au système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de ce système hyperstatique, ce qui les rend calculables par la Statique pure ; quant aux éléments de réduction N, Tv .... Mç, ils restent, par contre, afférents au système hyperstatique, et leur détermination nécessite l'intervention de la Théorie de l'Elasticité.
Théorème du général Menabrea.
Détermination des forces de liaisons surabondantes.
18. Considérons un corps isotrope ou A fibre moyenne, ou plus généralement un système de pareils corps. Ce système est hyperstatique ; il est en équilibre élastique, sous l'action de forces et couples directement appliqués F et C ; et nous supposons, ce
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qui esl le cas le plus complexe, que ses liaisons surabondantes sont, les unes extérieures, les autres, intérieures. Rendons-le isostatique (n° 11) par la suppression des dites liaisons surabondantes, en lui appliquant, d'ailleurs, les forces correspondant aux liaisons ainsi supprimées, afin que son état d'équilibre élastique ne soit pas troublé; soient F„ et G,, une force et un couple quelconques de liaisons extérieures surabondantes, F|, et C|, une force et un couple quelconques de liaisons intérieures surabondantes. Relativement au système rendu isostatique, ces forces doivent être considérées comme des forces directement appliquées, au même titre que les forces et couples F, et C.
Or, du fait même des liaisons extérieures, la projection ~k du déplacement élastique du point d'application de la force K„„ sur la direction de cette force, est nulle, et la rotation de la section d'application du couple C„ est également nulle. On a donc, d'après les formules générales (18) (n° 14),
àu ÙU
<JFel ~"' oC,t "~"0,
D'autre part, une liaison intérieure quelconque et, en particulier, une liaison intérieure surabondante, consiste ordinairement en ce qu'un point A d'une pièce P du système est astreint à rester invariablement lié à un point B d'une autre pièce Q. Les forces de liaison correspondantes sont une force F,, appliquée en A à la pièce P, et une force égale et contraire appliquée en B à la pièce Q; la dislance AB de ces deux, points, nulle avant déformation, est donc encore nulle après; par suite, en vertu du corollaire I (n°15) du théorème de Castigliano, on a
Enfin, si les liaisons surabondantes d'une pièce P avec une pièce Q consistent en ce que deux points a et a de la première sont asl teints à rester invariablement liés à deux points b et b' de la seconde, les forces de liaison correspondantes se composant de deux forces égales et opposées appliquées en a et en b et de deux autres forces égales et opposées, appliquées en a' et en b' ; si les deux forces appliquées en a et en a' constituent un couple C„.
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les deux forces appliquées en b. et en b' constituent un couple égal et contraire. Dans ce cas, la rotation élastique de la droite ad relativement à la droite bb' étant nulle, on a, en vertu du corollaire II (n° 15),
En résumé, les dérivées partielles du potentiel interne du système déformé, par rapport aux forces et aux couples de liaisons surabondantes, tant extérieures qu'intérieures, sont nulles. Donc, les valeurs de ces forces et couples rendent maximum ou minimum ce potentiel ; il reste à décider entre ces deux alternatives.
Soit A la valeur d'une quelconque des forces FPS, valeur satisfaisant, par conséquent, à l'équation
<H1 àFc, ~°'
Pour toute autre valeur attribuée arbitrairement à la force Fw, la projection, sur la direction de cette force, du déplacement de son point d'application, n'est pas nulle : elle a pour expression
or il est évident que si, à partir de cette valeur arbitraire de la force Fe>, celle-ci prend un accroissement t/F,,, la variation correspondante rfX du déplacement projeté X est de même sens que Fe,, c'est-i-dire positive, de sorte qu'on a
cette inégalité, établie pour toute valeur de Fes différente de A, a lieu également pour F„= A, attendu que, le potentiel II étant du second degré en FP1 {'), sa dérivée seconde par rapport à
(') n est une fonction du second degré des fatigues normales et tangenlielles; or, ces fatigues sont des fonctions linéaires des forces extérieures qui les produisent; donc II est une fonction du seound degré des forces extérieures et, en particulier, de la force Vu.
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cette variable est indépendante de la valeur attribuée à celle-ci. On démontre, de la même façon, que les dérivées secondes de fi, par rapport à C,„ F„ et C„ sont positives. Certains auteurs en concluent que II est minimum, et énoncent de la manière suivante, ou d'une manière approchante, le théorème du général Menabrea :
Dans un système kyperstatique, formé de corps isotropes ou à fibres moyennes, les valeurs que prennent, en fait, les forces et couples de liaisons surabondantes extérieures et intérieures, rendent minimum le potentiel interne du système, considéré comme une fonction de ces forces et couples.
Cet énoncé est très séduisant; mais il va au delà de ce qui est réellement démontré : en effet, la condition du minimum de II est que la différentielle totale de cette fonction soit positive, pour les valeurs de F„, ..., Ci( qui annulent les dérivées partielles premières -=-, ■■■,-^r; or, il est seulement établi que,
i i j. ■ h .d'il tt'D
pour ces valeurs, les dérivées partielles secondes -7[ï7' ■••> tt^
sont positives. Aussi, croyons-nous devoir nous en tenir à l'énoncé
Théorème. — Dans un système hypers ta tique, formé de corps isotropes ou à fibres moyennes, les valeurs que prennent, en fait, les forces et couples de liaisons surabondantes extérieures et intérieures annulent les dérivées partielles premières du potentiel interne considéré comme une fonction de ces forces et couples. En outre, si, dans cette fonction, on remplace ces mêmes forces et couples par leurs valeurs effectives, sauf toutefois l'une de ces forces ou l'un de ces couples, la fonction d'une seule variable ainsi obtenue est minimum pour la valeur effective de cette force ou de ce couple.
Au surplus, en ce qui concerne les applications, la question de savoir si le potentiel interne est ou non minimum est dénuée d'intérêt : le seul point qui importe est que les valeurs effectives des forces et couples de liaisons surabondantes annulent les dérivées partielles premières de ce potentiel.
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Ce théorème est, comme on le voit,, un corollaire du théorème de Castigliano; mais, antérieurement aux travaux de cet ingénieur, î) avail été énoncé, sous la dénomination de « Principe de minimum du travail élastique », par le général Menabrea ('), pour les systèmes articulés; et, dès cette époque, il se tronvait également donné pour un système quelconque de corps à fibres moyennes, ces corps pouvant, suivant une remarque de Mohr et de Winkler, être considérés comme un cas particulier des systèmes articulés (*).
Nous indiquerons le mode d'emploi du théorème de Menabrea, pour le calcul des forces et couples de liaisons surabondantes, dans les corps ou les systèmes de corps à fibres moyennes, lorsque nous aurons étendu ce théorème au cas où la déformation est à la fois élastique et calorifique.
Extension du théorème de Castigliano au cas où la déformation est à la fois élastique et calorifique.
19. Cette extension a été faite par M. Ernest Flamard, dans sa Thèse déjà citée, en ce qui concerne les systèmes de corps à fibres moyennes, au moyen du théorème du travail virtuel. Nous allons l'effectuer, au moyen du théorème des forces vives, tant pour les systèmes de corps isotropes que pour ceux à fibres moyennes.
Considérons un système de corps isotropes, isoslatique ou hypers ta tique, déformé par des forces et couples extérieurs F et C et par une élévation de température t comptée à partir de la température à laquelle ont été réalisées les liaisons du système. (Dans le cas d'un abaissement de température, il suffira d'affecter î du signe moins. ) Appliquons à cette déformation l'équation de Clapeyron généralisée (io) <n° 13)
2JPX+2c?=aD-y f f^{nx+nr+Bz)dxdydx,
{') Menabrea, Principe général pour déterminer tes pressions et tes tensions dans un système élastique (Turin, i8fi8). Voir aussi une Noie lue par le généra) Menabrea, à la séance de l'Académie des Sciences du 3i mai >B58 (Comptes rendus, t. XLVI, p. io56).
(]) Maurice Levy, La Statique graphique et ses applications aux constructions, 4' Parlie, 1888, p. ijt.
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dans laquelle ;
X est la projection du déplacement élastique el calorifique du point d'application de l'une quelconque F des forces extérieures, sur la direction de cette force;
tp la projection, sur l'axe de l'un quelconque C des couples extérieurs, de la rotation élastique de la droite joignant les points d'application des deux forces formant ce couple;
II le potentiel interne du système de corps déformé;
«r, nr, nt les fatigues normales sur trois éléments menés normalement aux axes de coordonnées, en un point quelconque (x, y, z) du système.
Cette équation a lieu quel que soit le système de valeurs attribué à F, C et t; par suite, l'équation obtenue en la différenliant par rapport à ces variables indépendantes et par rapport aux quantités ),, o, IT, «j, H?, ne qui en dépendent, a lieu également; on peut donc écrire
< a) 2 F rfX +2 X dF +2 c 'h +2 9 dC = id\\-JJJx[(nx+ny+ „z)dz
H- id{nx-\- ny+ «j)J dxdjrd*\
et, dans celte dernière équation, les accroissements rfF, dC el dx sont arbitraires.
Envisageons la déformation infiniment petite que prend le système de corps, entre les deux états de déformation correspondant, le premier, aux valeurs F, Cet t des forces el couples extérieurs et de l'élévation de température, le second, aux valeurs F-j-rfF, C -+- dC et t+ d-z de ces quantités. Pendant, cette déformation, le travail des forces el couples extérieurs est égal au travail des forces élastiques; l'équation -exprimant ce fait a été établie précédemment : c'est celle (i4) (nn 13), laquelle, suppression faite des accents, ce qui n'est qu'une question de notation, esl
(b) ^F d\ -i-^C dy --= dll - f f f z(7ix+ny+n;)d*dxdfdz. ■Retranchons membre à membre les équations (a) el (b); il
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(c) V XdF+y orfC = rfH— f f f azd{nx + n} + nt) dx dy dz.
Les fatigues /'^, ..., yry el, par suite, le potentiel interne II dépendent des forces et couples extérieurs F et C directement appliqués et des forces de liaisons. Si le système est hyperstatique, celles-ci dépendent non seulement de F et de C, mais aussi de la température, un tel système n'étant pas librement dilatable; de sorte que, dans l'équation (c), »x, nr, nt et II sont fonction de F, ' de C et de t. Si le système est isostatique, ces quantités sont, au contraire, indépendantes de t, un tel syslème étant librement dilatable.
Ceci posé, supposons d'abord que le système considéré soit iso~ slalique et, dans cette hypothèse, développons dans l'équation (c) les différentielles totales dU et (l(tix-±- nr-\- nz); il vient, étant admis que la variation de température est la même en tous les points du système,
- "2 m [ffff"<+ "'+ "■' *" *■ d'] dc ■
ou, en posant
{ 23 ) H = n - « f f /"(«,+ ny -+- Pl ) dx dy d:,
Pour que cette dernière équation soit satisfaite, il faut qu'on ait
séparément
puisque les accroissements rfF et dC sont arbitraires.
Les formules (a3) et {24), établies pour les systèmes ùosta-
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tiques, restent valables pour les systèmes hyperstatiques. En effet, soient, pour un système hyperslatique quelconque donné, F, les forces de liaison surabondantes tant intérieures qu'extérieures. Considérons le système isostatique, obtenu par la suppression de toutes les liaisons surabondantes de ce système hyperstatique ; soumetions-le aux forces et couples F, C, F, et à la variation de température t; les formules (a3) et (24) lui sont applicables; or, son état de déformation est identiquement le même que celui du système hyperstatique donné, soumis aux forces et couples F et C et à la variation de température t, et, par suite, les diverses quantités X, <p, II, nx, "j-, nz ont les mêmes valeurs dans ce système isostatique que dans le système hyperstatique; donc les formules (23) et (24) sont également applicables à ce dernier système, c. o. f. n.
Les deux formules (24) ne diffèrent de celles {18) (n° 14) que par le remplacement de la fonction U par la fonction H; elles se traduisent donc, sauf ce remplacement, par une proposition identique au théorème de Çastigliano.
La démonstration qui précède, appliquée au cas d'un système de corps à fibres moyennes, conduit encore aux formules {a4)i niais
(*5) H = H— ax fiïd*.
On peut, d'ailleurs, passer directement de l'expression (a3) de H à l'expression (a5), en remarquant que, d'après la formule (17) (n° 13), on a, pour tout système de corps à fibres moyennes,
f f f \n.c-+- nx+ n:) dx dy dt = f N dt.
1 passant, qui -ession résuli
