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; cas de la fie

Notons, en passant, que si, dans la formule (a5), on remplace fl par son expression résultant des formules (11) et (9) (n°9), on obtient

.fil

EItJ

Dans le cas de la flexion plane, cette dernière formule s

r/'lluil à

Il :

20. La quantité H peut s'interpréter comme suit : Soient, dans un système de corps à fibres moyennes, hyperstatique, soumis à des forces et couples F et C, ainsi qu'à une variation de température t, F, les forces de liaison surabondantes tant intérieures qu'extérieures. Sur le système isostatïquc obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de ce système hyperstatique, faisons agir les forces et couples F, C, F, et la variation de température t; il prend un état de déformation identique à celui du système hypers ta tique, soumis aux forces et couples donnés F et C et à la variation de température. Imaginons que cette déformation s'effectue en deux temps, comme suit :

Pendant le premier temps, le système isostatique est soumis aux forces et couples F, G, Ft, de sorte que sa déformation est purement élastique et que, par suite, le travail accompli par les forces élastiques est FI.

Pendant le second temps, il est soumis à la variation de température ; les forces élastiques demeurent constantes, le système isostatique étant librement dilatable, et elles accomplissent un travail dont la valeur est, pour une tranche d'épaisseur ds, — N xids, et, pour le système entier, — a-c / N ds.

Le travail total des forces élastiques pendant la déformation complète, élastique et calorifique, est donc

ct f N ds = H ;

et, si le système est formé de corps isotropes, on trouve, de même, que ce travail total est

(nx+ny+n,)dxdyds = H.

M. Ernest Flamard appelle la quantité H, travail total de déformation d'un système élastique soumis à une variation de température.

Il est à remarquer que cette dénomination est toute conventionnelle; elle n'est exacte que sous réserve que la déformation s'effectue en deux temps et dans l'ordre indiqué plus haut. En effet, si la variation de température précédait, an contraire, l'applî-

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cation des forces et couples F, C et F„ le travail des forces élastiques se réduirait à H ; si les deux actions étaient simultanées, le travail des forces élastiques serait compris entre II et H.

Les formules (a4) n'en constituent pas moins une extension du théorème de Castigliano, au cas où la déformation est à la fois élastique et calorifique.

Ce qui précède s'applique évidemment aussi aux systèmes isostatiques.

Application du théorème de Castigliano généralisé, au calcul des déplacements élastiques et calorifiques, clans les corps et les systèmes de corps à fibres moyennes.

21. Les expressions générales (a^) {"° 19} des déplacements et rotations élastiques et calorifiques se développent exactement de la même manière qu'ont été développées, au n° 16, les expressions (i8) (n° 14) des déplacements et rotations purement élastiques. On trouve ainsi

J \\Elî ~~37 dS. Gû 7

dS\W

Mr

Ces formules ne diffèrent de celles correspondantes ( 2 1) et (22) (n°16), que parle remplacement de r-- par (çr; ~~ aT ) ■ Lorsqu'on les appliquera à un système hypers la tique, on aura soin, selon les indications données précédemment (n" 17, in fine), de calculer les éléments de réduction 3£, E^, . .., ;>H.r non pas dans le système hyperstatique considéré, mais dans le système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes de ce système hyperstatique.

Dans le cas où la flexion est plane, on a simplement

CM N \dX, T dS M rfOILT .

f-i di J

, „,, r\i n \dx, t <m m dan-i

{'"> T=J [{■ïïâ-"}-dë + Gâdë + iïier\

Extension du théorème du général Menabrea, au cas où les déformations sont à la fois élastiques et calorifiques. — Détermination des forces de liaisons surabondantes.

22. L'extension du théorème fie Castigliano entraine une extension correspondante de son corollaire, le théorème du général Menabrea; cette extension s'obtient par le remplacement, dans ce dernier théorème, du potentiel interne ïl par la fonction H.

Pour appliquer le théorème ainsi généralisé, à la détermination des forces et couples de liaisons d'un système hyper statique, on introduira les forces et couples de liaisons surabondantes dans la fonction H, dont on formera les dérivées partielles par rapport à ces forces et couples. Les équations obtenues en égalant à zéro ces dérivées feront connaître les forces et couples de liaisons surabondantes; la Statique pure fournira ensuite les équations nécessaires pour le calcul des forces et couples de liaisons statiques.

Exemple de la détermination des forces de liaisons surabondantes extérieures.

23. Soit {fig. 4) un arc AB, encastré à ses deux extrémités, ce qui signifie que les deux sections transversales dont A et B sont les centres de gravité ne peavent prendre aucun déplacement élastique.

Cet arc a pour fibre moyenne une courbe plane et il est de structure symétrique par rapport au plan de cette courbe. Il est soumis à des forces quelconques situées dans ce plan, ainsi qu'à une variation t de température, comptée à partir de la température à laquelle ont été réalisés ses encastrements. Sa flexion est donc plane.

Les réactions élémentaires de l'un quelconque des deux encastrements, celui de gauche par exemple, sont réductibles à leur résultante de translation au point A et à un couple résultant, d'axe normal au plan de la fibre moyenne; soient X et Y b s composantes de celte ■ résultante, suivant deux axes rectangulaires quelconques A x et \y, et Z le couple résultant. La suppression de l'encastrement de gauche ayant évidemment pour effet de rendre l'arc isostatique, cet encastrement constitue les liaisons surabondantes de cet arc (n" 11) et, par

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suite, X, V et Z sont les deux forces et le couple de liaisons surabondantes extérieures. On a donc, en vertu du théorème du général Menabrea généralisé (n° 22),

La fonction H *sl exprimée par la formule {26') (n*> 19) valable dans le cas de la flexion plane

et dans laquelle l'intégrale est étendue à la longueur totale de la Fi,. 4.

fibre moyenne de l'arc. Par suite les trois équations ci-dessus peuvent

/Kê-

T «*T M dMI .

~ Gâ JX + El 5x.|

+ £^ rf' = »

GQ t*Z

" Kl dïj

Ceci posé, désignons par v, 0 et j* les valeurs que prendraient respectivement, en une section quelconque, de centre de gravité G(a-,y), les éléments N, T el M de la réduction, en G, des forces extérieures agissant à gauche de celte section, si l'arc était rendu isostalique par la suppression de son encastrement de gauche; v, 0 et p sont immédiatement calculables par la Statique pure et peuvent par conséquent, dans la suite, être considérés comme connus.

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On a

évidemment

. par

suite

->N dx

dT

Xj- +

" <rf* ' dX ~ ■r'

En substituant ce; douze espressions dans les équations (a), et en désignant par a et 6, les coordonnées du point B, on trouve :

J Isr ■*■ -on- + ËïJ *

*T/[(i-i)î*-ï]*-«/fi*

— ■ *-jf[-HÎ*i**tf]* ■

i xféd-'lfmd--''-fw,-!-=fmd'-

Cïs trois équations font connaître les deux forces et le couple de liaisons surabondantes. On peut ensuiie calculer les éléments de réduction N, T et M, afférents à une section quelconque, par les forode, (6).

Exemple de la détermination des forces de liaisons surabondantes intérieures.

24. Considérons un arc encastré à ses deux extrémités et comportant une rotule 0 ( fig. 5).

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Cei arc a pour fibre moyenne une courbe plane et il esl de structure symétrique par rapport au plan de cette courbe. 11 est soumis à des forces quelconques situées dans ce plan, ainsi qu'à une varia-