FIS

"iiy

tion t de température, comptée à partir de la température à laquelle ont été réalisés ses encastrements. Sa flexion est donc plane.

L'arc considéré est, en réalité, un système de deux ares AO et OB encastrés, chacuD, à l'une des extrémités et réunis entre eus parla rolule O. L'action de l'arc AO sur l'arc OB est une force appliquée à l'extrémité O de celui-ci, force dont nous désignerons par X et Y les composantes suivant deux axes rectangulaires O* et Oy; la réaction de l'arc OB sur l'arc AO est égale et contraire à celte

Il esl clair que le système devient isostatique si l'on supprime Ja liaison des deux arcs en O. Par conséquent X et Y sont les deux forces de liaisons surabondantes intérieures. On a donc, en vertu du théorème du général Menabrea généralisé,

i>H dîl

GS2 EIJ

M dM"| El dX\

GU t)Y + lîl SY I

les intégrales étant étendues à la longueur totale AOB des fibres moyen nés des deux arcs.

Désignons par -j, 9 et fi les valeurs que prendraient respectivement, en une section quelconque, de centre de gravité G (te, y), de l'un quelconque des deux arcs, les éléments N, T et M de la réduction, en G, des forces extérieures agissant à gauche de celle section, si le système était rendu isostatique par la suppression de la liaison, en 0, des deux arcs; v, fi et ^ sont immédiatement calculables par la Statique pure et peuvent par conséquent être considérés, dans la suite, comme connus.

Il est facile de voir que l'on a, que la section appartienne à l'un ou l'autre des deux aces,

xd7

Eu substituant ces neuf expressions dans les équations (a), et en désignant respectivement par a et b les projections sur 0# et Oy de la fibre moyenne entière AOB de l'arc donné, on trouve

0 dy

Gl2 ils H

J 1. Eli 00 El J

■ J L\l!u uaj d, d,

/ L Kfl C!l Kl

— / /T — -21 ° dx s±x

~ J I Kfl ds + GU dt + Kl

" GQ7 rf* À

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Ces deux équations font connaître les deux forces de liaisons intérieures surabondantes. On peut ensuite calculer les éléments de réduction N, T et M, afférents à une section quelconque, par les formules (A).

Autre exemple de la détermination des forces de liaisons surabondantes intérieures.

25. Prenons comme exemple une poutre droite, à treillis double, articulée, reposant sur deux appuis simples {fig. 6).

Cette poutre est constituée par des barres rectîWgnes, dont les fibres moyennes sont situées dans un plan vertical et concourent en

des points appelés nœuds- En chaque nœud, les barres sont assemblées entre elles par un axe d'articulation normal au plan contenant Jeu rs libres moyennes.

On appelle:

Éléments de membrures, les Montants, les barres vertical' Diagonales, les barres inclim

ban

; horizontales;

; nom de

s d'ordri

a. Nous désigne-

La partie de la poutre comprenant Jeux montants consécutifs, ainsi que les deux éléments de membrures et les deux diagonales situées entre ces deux montants, porte 1 rons les panneaux par les numérc

les nœuds inférieurs, par les numéros o, r , .. . , i, , n — i, n; et les

nœuds supérieurs, par ces mêmes numéros accentués.

La poutre est soumise à des charges verticales P0, F,,... , P,, ... , P„,, P„, appliquées aux nœuds inférieurs, et à des charges PJ,, P,, . .. , P;, .. . , P'„i, P^i appliquées aux nœuds supérieurs.

En toute section de l'une quelconque des barres, les forces élastiques sont réductibles à une force unique, dirigée suivant la fibre moyenne de la barre; c'est l'effort normal on, selon le terme adopté couramment, l'effort dans la barre (l'eflorl tranchant et le couple de

Proposons-nous de calculer les eiïorts produits par les charges dass toutes les barres de la poutre.

Soient :

X,- et X; les efforts dans les deux éléments de membrure {i — i, (') et (i' — i, /'); iij et £ï; les sections transversales de ces deux barres; a leur longueur commune;

Y,„i et Y,- les efforts dans les deux montants (e — i, i'— i) et .(*,*'); fùi—i et ci, les sections transversales de ces deux montants; b leur longueur commune;

Z, et Z'i, Si et SJ, c les quantités analogues relatives aux deux diagonales ((' — i, j), et (i — i,i').

Chacun de ces efforts sera considéré comme positif ou négatif selon que la barre correspondante sera comprimée ou tendue.

La poutre est isoslalique extérieurement; mais elle est hyperslatique intérieurement. H existe un grand nombre de manières de lit rendre complètement isostalique; adoptons celle consistant à siipprimer les liaisons des diagonales (o, i').. . . , (i -i, i'), ..., («—>,«'). avec leurs nœuds inférieurs d'assemblage o, . . . , i — i ,...,« — i; dès lors, ces diagonales ne jouent plus aucun rôle dans la poutre; celle-ci se comporte comme si elles étaient supprimées et devient, par suite, un système réliculaire; or, on sailqu'un tel système est isosla^ tique intérieurement.

Les liaisons ainsi supprimées sont les liaisons surabondantes intérieures (n° 11). Les forces de liaisons correspondantes sont, pour la diagonale (i — i,*'), par exemple, deux forces égales et opposées, ayant même direction que l'effort Z'; dans cette diagonale, et appliquées, l'une, à l'extrémité rendue libre de ladite diagonale, l'autre, au nœud / — i, forces de sens répulsif ou attractif, selon que Z', est un effort de compression ou un effort de tension. On peut donc dire que les forces de liaisons intérieures surabondantes sont les efforts Z;,..., Z;, ., . , Z'n dans les diagonales (o, i'), . . . , ((' — i, i'), . . - , (h — -i, b'); ces diagonales portent le nom de barres surabondantes:

Z'; étant une force de liaison surabondante, on a, en vertu du théorème du général Menabrea,

II désignant le potentiel interne de la poutre déformée par les charges.

Ce potentiel est égal à la somme des potentiels de toutes les barres constituant la poutre. Or, pour une barre quelconque, si l'on désigne, d'une manière générale par ïî sa section, s sa longueur et N l'effort dans cette barre, le potentiel interne a pour expression, d'après les formules (9') el(")(n° 9),

puisque en toute section de la barre l'effort tranchant et le couple de flexion sont nuls. Par conséquent

Vi i N*»

la somme étant étendue à toutes les barres de la poutre; ou bien, en désignant par A la somme des potentiels des barres autres que celles du panneau (i) et en ayant égard aux notations indiquées plus baut relativement au* barres de ce panneau,

K}a i X;'a i Yi..t b \ YJb x ZJc i Z;«< YMi + 2 ËH'i + Û E(u/, + a Hiu, + 2 ES; + a Es;

Portons cette expression du potentiel dans l'équation (a) et chassons le dénominateur Ë; il vient

ih\ FÉh f^i^i X< ^ï\ i l Y'-l (>Y'-' Y- dYi\

{ ' àVi + a\Qi àZ't+ oj dZi/ \aii-, dZ; + ta/ dZ'J

/Zt tflj Z',\ + C\»i dZ\ + S'/) ~°'

• . Calculons maintenant, en fonction de Z'it les expressions de X/, XJ, Y;-!, Y,- et Z,, à substituer dans cette équation. ■

A cet effet, coupons la poutre par un plan vertical AB passant par le point d'intersection C des fibres moyennes des diagonales du panneau (i). Les forces extérieures agissant à gauche de cette section (charges et réactions de l'appui de gauche de la poutre) sont réductibles, au point C, à un effort tranchant vertical T( que nous compterons positivement dans le sens ascendant et à un couple de flexion M,; ces deux quantités sont immédiatement calculables par la Statique pure, de sorte que nous pourrons, dans la suite, les considérer comme connues. Les. quatre efforts X,, XJ, Z, et Z"f dans les barres coupées par le plan AB forment un système équivalent à la force T/ et i.u

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couple M,-; on peut donc écrire les deux équations de projections, sur un axe vertical et sur un a\e horizontal, et l'équation de moments, par rapport au point C, que voici et dans lesquelles se désigne l'angle aigu formé par les fibres moyennes des diagonales avec la verticale :

-Zfcosa+Z;cosa = T(,

D'autre part, le nœud ï' — i étant en équilibre sous l'influence ï la charge PJ, et des actions exercées sur lui par les barres qui s assemblent, ori a l'équation de projections suivante, sur un axe ve lical,

Z;-. coss-f- Y,-1-r-Z(.co8« — p;--, = o.

ces quatre équations on tire

Y,-, = — (Z'f, + Zi)cos3-t-T/+ P;„

et, ei

i changeant i en < + i dans la dernière de ces formul*

itr)

Y; = — (ZJ + Z',+, ) cos ï + TM ->- PJ.

rivant les cinq formules ci-dessus par rapport à Un on a

[ àl'i ' àZ't ' al.', '

Si l'on fait successivement 1 = 1,2,..., 1 — 1, puis t? = /+i, ( -r-a,. . . , ", dans les formules (c) à (g), on voit immédiatement que les efforts dans toutes les barres delà poutre autres que celles du panneau (i), sont indépendants de ZJ; il en est de même, par suite, du potentiel interne de ces barres, et l'on a, par conséquent,

En effectuant, dans l'équation (i), les substitutions qu'

db»Googk

les formules (c) à (('), et en tenant compte de ce que

Celte équation lie les efforts ZJ„ Z, et 7J,+ i dans trois barres surabondantes consécutives (i — a, i1 — i), (t — i, ï), et (*",('+ 1). En y faisant successivement i =: i , i, 3, . , . , n — i, n et en tenant compte de ce que Z'„ .1^0, Z'„+| = o, Tn4[ = o ('), ou obtient un système de n équations contenant, la première Z\ et Z;, la seconde Z',, Z'2 et ZJ, la troisième Z;, ZJ el Z', la (« — i),'D"', Z«-i, Z'«-i et Z'„, la «'*»%■

z;., et z;,.

La résolution de ce système fait connaître les efforts dans les «barres surabondantes (o, i'), (i,a'), . .., (« — 2,«'— i), (n — i, n'). L'applicalîon des formules générales (c) à (g) donne eusui le les efforts dans toules les autres barres de la poutre.

Principes de réciprocité.

26. Théobème. — i" Si une une force F A égale à l'unité, appliquée en un point A d'un corps isotrope ou à fibre moyen ne ; ou d'un système de pareils corps, isostatique ou hyperstafique, suivant une direction arbitrairement choisie AA', imprime . 'à un point B un déplacement élastique dont la projection, sur une direction AB également arbitraire, est XJ, réciproquement une force F„ égale à l'unité, appliquée au point B, sut-

(') Ce qu'on voit immédiatement en supposant

a poi

re prolongée f

ctivemen.,

à gauche de son appui de gauche, par un paru)

méroté o, et,

droite de

son appui de droile, par un panneau numéroté n +

i les

IForlstranclian

is dans ces

deux panneaux additionnels sont évidemment nul?

et il

n est de même

des efforts

dans leurs diagonales.

vont la direction A„, imprime au point A un déplacement élastique dont la projection XJJ, sur (a direction A4l est égale àX*.

2Q Si un couple C„a' égal à l'unité, dont les deux forces sonl appliquées en deux points a et a' et dont l'axe a une direction V„n. arbitrairement choisie parmi les perpendiculaires à la droite aà, imprime à une droite Ob' une rotation élastique dont la projection (') sur une direction Tw arbitrairement choisie parmi les perpendiculaires à bb', est ©££, réciproquement un couple CMr égal à l'unité, dont les deux forces sont appliquées en b et b' et dont la direction de l'axe est rbb., imprime à fa droite aà une rotation élastique dont la projection a**l sur la direction Tlllf est égale à fit-

3° Si un couple Cn„. égal à l'unité, dont les deux forces sont appliquées en deux points a et a' et dont l'axe a une direction T„„,, arbitrairement choisie parmi les perpendiculaires à la droite aà, imprime à tin point B un déplacement élastique dont la projection sur une direction arbitraire A„ est X™', réciproquement, une force F„ égale à l'unité, appliquée en B suivant la direction A„, imprime à la droite aà une rotation élastique dont la projection of„,, sur la direction T„„ est égale à X™' (étant entendu, au point de vue de l'homogénéité, que cette rotation n'est pas mesurée par son angle, maïs par la longueur de l'arc intercepté par -cet angle, sur une circonférence de rayon égal à l'unité de longueur),

Voici la démonstration de la première partie de ce théorème.

Soient respectivement :

Xî et Xj{ les projections, sur les directions AA et AB, des déplacements élastiques imprimés aux points A et B, par la force Fx égale à l'unité* appliquée en A, suivant la direction AA;

XJ[ et X| les projections, sur ces mêmes directions, des déplacements élastiques imprimés à ces mêmes points, par la force F„ égale à l'unité, appliquée en B, suivant la direction AK.

(Dans ces notations, l'indice inférieur désigne le point qui subit

(') Il est rappelé que, par projection d'une rotation, il faut entendre la projection du vecteur représentatif de cette.

le déplacement considéré; l'indice supérieur est celui de la force qui produit ce déplacement.)

Supposons que deux forces F'A et Fi, différentes de l'unité, soient appliquées' simultanément, la première en A, suivant la direction AA, la seconde en B, suivant la direction iB; soient respectivement XA et VB les projections, sur ces deux directions, des déplacements élastiques qu'elles impriment aux points A et B. On a, d'après le principe de la superposition des effets élastiques des forces,

(a) XA = 1* FA --h X» FJ, , X'B = X* Fi -h Xg Fi,

et, en vertu du théorème de (Jii.stigliano (n* 14),

... ., an .., an

(h) >*--,, xi=,

II désignant le potentiel interne du corps, ou du système de corps, déformé par les forces FA et Fi agissant simultanément. Or, analytique ment, on doit avoir

i cause des relations (b),

ou, en remplaçant ces deux dérivées partielles, par leurs valeurs déduites des formules (a),

XÏ = XÊ. . C.Q.F.D.

Le même "mode de démonstration s'applique aux deux autres parties du théorème.

Les trois principes de réciprocité qui viennent d'être énoncés sont souvent appelés, à l'étranger, principes de Maxwell, bien que ce savant n'ait établi que le premier et pour les systèmes articulés seulement ( ' ).

{') Clerk Maxwell, On ihe calculation of Ihe equilibriu framess (Philotophical Magazine, t. XXVII, 1864, p. airf}.

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Lignes d'influence,

27. Des principes de réciprocité découle une méthode générale de détermination des lignes d'influence dans les corps et dans les systèmes de corps a fibres moyennes, astreints à des liaisons surabondantes {'). Ces lignes, introduites dans la Résistance des . matériaux par Frànkel (a) et étudiées d'une manière remarquable par Winkler (J) et Maurice Levy(*), jouent un rôle important dans le calcul des ponts en métal ou en béton armé; elles fournissent, en effet, le moyen de déterminer les efforts maximum produits dans les divers éléments de ces ponts, par le passage des surcharges mobiles; le cadre limité de la présente Note ne nous permet pas de nous étendre davantage sur ce sujet.

Seconde méthode fondée sdr le théorème des forces vives. Equation générale nE l'Élasticité.

28. L'exposé qui suit diffère sensiblement dans la forme, mais non dans le fond, de celui présenté dans notre Mémoire sur tes déformations élastiques des pièces et des systèmes de pièces à fibres moyennes planes ou gauches (*). Il est plus général, car

(') Bertrand dr Fontviolant, Sur la détermination des forces élastiques et de leurs lignes d'influence dans les poutres assujetties à desliaisons surabondantes {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CVIII, 1889, p. ^5); Méthode générale de détermination des lignes d'influence dans les poutres pleines ou réticulaires, assujetties à des conditions surabondantes (Bulletin de la Société des Ingénieurs civils de France, novembre 1890, p. 74»)i Pont* métalliques à travées continues. Méthode de calcul satisfaisant aux prescriptions du Règlement ministériel du 39 août 1891 (Comptes rendus de l'Académie dé* Sciences, t. CXV, 1891, p. 996, et Bulletin de la Société des Ingénieurs civils de France, décembre 189a, p. no5).

(') Frankel, Théorie des lignes d'influence ( Civil Ingénieur, 18-56).

(') Winkler, Application des lignes d'influence (Bévue des Ingénieurs et Architectes de Hanovre, 1879).

(' )' Maurice Lhvy, La Statique graphique et ses applications aux constructions (s- Partie, 1886; 3* Partie, 1887).

.(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CVII, 1888, p. 383, et Bulletin de la Société des Ingénieurs civils de France, août 1888, p. 191, et mars 1889, p. 4j6.

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il concerne non seulement ces pièces, mais aussi les corps isotropes; enfin, il est plus simple et plus rapide et ne nécessite aucune intégration.

Il consiste à donner, du théorème de Betli ^ ' ), Boussinesq ( 2 ) et Maurice Levy (*), une démonstration nouvelle, très élémentaire, qui ajoute à ce théorème un complément d'où découle immédiatement une relation générale entre les déplacements élastiques et les forces extérieures qui les produisent.

En introduisant ensuite, dans cette relation, les déplacements calorifiques (ce qui n'avait pas été fait dans notre Mémoire précité), nous obtenons l'équation générale de l'Elasticité qui, synthétisant toute la théorie des déformations, permet de déterminer les déplacements élastiques et calorifiques d'une construction quelconque et de former, dans tous les cas et sans recherches spéciales, les équations nécessaires pour le calcul des forces de liaisons, dans les corps et les systèmes de corps hyperstaliques, soumis à des forces extérieures quelconques, ainsi qu'à des actions calorifiques.

Ainsi se trouve présentée une démonstration nouvelle, fondée sur le théorème des forces vives, de l'équation générale de l'Élus licite, établie dans notre Mémoire y relatif (*), au moyen du théorème du travail virtuel.

Théorème de Betti, Boussinesq et Maurice Levy complété.

29. Considérons un système de corps isotropes ou à fibres moyennes, isostatique ou hyperstatique ( n° 11) (le cas d'un corps unique sera regardé comme un cas particulier). Soumettons-le à l'action d'un système de m forces extérieures quelconques, que

(') Brtti, Teoria del Elasticité (187s).

(=) Boussikbso, Cours d'Analyse infinitésimale, t. I, fasc. 1, 1867, p. 137

(a) Maurice Lkyï, Comptes rendus de l' Académie des Seieneei, t. CVII,

{*) Bulletin de ta Société des IngénUxrs civils de France, octobre 1907, p. 365- — Voir aussi Lecosnu, Cours de Mioaniquo professé à l'École Polytechnique, t. III, 1918, p. ft, *>3] -fi.

nous appellerons système (A), forces croissant lentement depuis zéro jusqu'à certaines valeurs finales ; soient :

FA. la valeur finale de l'une quelconque de ces forces, A/ son point d'application,

iA| sa direction,

).J. la projection, sur la direction AA., du déplacement élastique du point A;.

On a, en vertu de l'équation (i3) (n* 12) de Clapeyron,

en désignant par IIF le potentiel interne du système de corps déformé.

Remplaçons le système de forces (A) par un second système (B), composé de n forces extérieures quelconques, croissant comme les premières; soient :

FB. la valeur finale de l'une quelconque de ces forces, B/ son point d'application,

4B. sa direction,

XJJ. la projection, sur la direction AB., du déplacement élastique du point \\j.

On a, comme précédemment,

en désignant par UF le potentiel interne du système de corps déformé.

Soient maintenant :

XJfjla projection, sur la direction iA., du déplacement élastique du point A,-, sous l'action du système de force (B);

}.£. la projection, sur la direction AB., du déplacement élastique du point B/, sous l'action du système de force (A).

Considérons la déformation du système de corps, non plus sous

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l'action d'un seul des deux systèmes (A) et (B), mais sous l'action simultanée de ces deux systèmes : en vertu du principe de superposition, le déplacement élastique du point A,-, en projection sur la direction AA., est X*.-}-XjJ., et celui du point B,-, en projection sur la direction AB., est ^J.+ XB(. Cette déformation peut être réalisée de deux manières différentes, comme suit :

i" Appliquons d'abord le système de forces (A), ces forces croissant depuis zéro jusqu'à leurs valeurs finales, puis le système de forces (B), ces dernières forces croissant de la même manière que les premières; la déformation s'effectue ainsi en deux temps.

Pendant le premier temps, les points d'application A,- des forces du système (A) prennent les déplacements XJ., en projection sur les directions 4,,., et le travail de ces forces, qui croissent de zéro àFAf, est(n° 12)

tandis que les points B,- prennent les déplacements X*,, en projection sur les directions ABi.

Pendant le second temps, les points A; prennent les déplacements }.£., en projection sur les directions AA. des forces FA., et le travail de ces forces, qui demeurent constantes, est

tandis que les points d'application B, des forces du système (B) prennent les déplacements XJJ., en projection sur les directions AB.. et que le travail de ces forces, qui croissent de zéro à FB;, est

Le travail total des deux systèmes de forces (A) et (B) est la somme des trois travaux partiels ci-dessus, et, d'après l'équation (i3) (n° 12) de Clapeyron, il est égal au potentiel interne du système de corps déformé sous l'action simultanée de ces deux

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systèmes de forces. On a donc, en désignant par Rv lF ce potentiel,

M ; 2 '-' xi' + 2 F" l5'+ ï 2 F,< l!' - "'•''■■

Fnversenient, appliquons d'abord le système de forces (B), puis le système de forces (A), ce qui, de la même manière que précédemment, conduit à l'équation

(d) I J fb, xî, -h 2 rBi 4, -+- j2Fa' x*' = np"""'

laquelle ne diffère de l'équalion (c) que par la permutation des deux systèmes de forces (A) et (B) et des déplacements élastiques correspondants.

En retranchant les équations (a) et (o) de l'équation (c), et, ensuite, de l'équation (d), on obtient les deux nouvelles équations

(<o 2 Fa,>" = "'*''. ~ (I,i> + nr->-

</> 2 Fp^=nFvF0- <"*■.+ n>-j'

qui

e traduisent c

Théorème. — Si, à un corps isotrope ou à fibre moyenne, ou à un système de pareils corps, isostatique ou hyper statique, on applique successivement deux systèmes de force (A) et (B) :

i" La somme des travaux des forces du système (A), pour tes déplacements élastiques dus au système (B), est égale à la somme des travaux des forces du système (B), pour les déplacements élastiques dus au système (A) ;

2° Ces deux sommes de travaux sont égales à la différence entre le potentiel interne du corps, ou du système de corps, déformé par les deux: systèmes de force (A) et (B) appliqués simultanément et la somme des potentiels internes du corps, ou du système de corps, déformé par chacun de ces deux systèmes de force appliqué à l'exclusion de l'autre.

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La première partie de celle proposition est le théorème de Betti, Boussinesq et Maurice Levj ; la seconde est le complément annoncé plus haut (n° 28).

Remarque. — Parmi les forces des deux systèmes (A) et(B) ou de l'un de ces deux systèmes seulement, il peut y en avoir qui forment des couples. Ainsi supposons que le système (A) se compose de p forces ne formant pas de couples et de 2 q forces formant q couples ; soient ;

a-, et a'i les points d'application de deux forces formant un couple, C„i(,; la valeur de ce couple,

(pîj.„; la projection, sur l'axe du couple C„.„%., de la rotation élastique imprimée à la droite a.a[, par le système de force ( B) ;

le travail de ce couple, pour ce déplacement de rorâtïon, est C„.„;.o°„; et, par suite, on a

ce qui permet d'écrire l'équation (e) sous la nouvelle forme

(î9) 2FA'1""+'2c"",;^'";=II,'*'F"^IIr''","nF')'

si l'on veut y mettre en évidence les rotations projetées çS,,,;.

Principes de réciprocité.

30. Les trois principes de réciprocité établis précédemment (n° 26) sont des cas particuliers du théorème de Betti, Boussinesq et Maurice Levy. Le premier correspond au cas où les systèmes (A) et (B) se composent chacun d'une force unique égale à l'unité ; le second, au cas où ils se composent chacun d'un couple égal à l'unité; le troisième, au cas ou le système (A) se compose d'un couple égal à l'unité et le système(B), d'une force égale àl'unité.

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Relation générale entre les déplacements élastiques et les forces extérieures qui les produisent.

31 . Soit un système de corps isotropes ou à libres moyennes ; scpposons4e hypersla tique extérieurement et intérieurement (n* 11) (le cas d'un système isostalique sera regardé comme un cas particulier ; celui d'un corps unique, également). Ce système de corps est déformé par des forces extérieures F directement appliquées.

Appelons :

les projections des déplacements élastiques d'un certain nombre de points

A,, A,, ASl ...

du système de corps, sur des directions arbitrairement choisies

les projections des rotations élastiques d'un certain nombre de droites

contenues dans le système de corps, sur des directions

arbi traire ment choisies parmi les directions normales à ces , droites.

Considérons maintenant le système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes du système hyperstatique donné (■).

Appelons F„, les forces de liaisons extérieures surabondantes

(') Il a été indiqué précédemment (u* 11 ) que, suivant le nombre et la nat de ses- liaisons, un système hyperstatique peut être rendu isostalique, d'une se manière ou de plusieurs. Nous considérons ici l'un quelconque des systèmes i statiques ainsi obtenus.

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el F„ les forces de liaisons intérieures surabondantes du système hyperstatique ; parmi ces forces il peut y en avoir qui forment des couples; peu importe; il est d'ailleurs, inutile ici de mettre ces couples en évidence.

Si l'on soumet le système isoslatique précité aux forces F, F„ et F,,, il prend un état d'équilibre élastique identique à celui du système hyperstatique soumis aux seules forces F ; en particulier, dans ce système isostatiqtie, les déplacements élastiques des points A, , Ai, Aj, ... et les rotations élastiques des droites a, a\ , aa«i, «,«',, ••■ sont les mêmes que dans le système hyperstatique.

Supprimons les forces F, F„, Vli} el, au système isoslatique qui n'est plus alors soumis à aucune force, appliquons :

i° Aux points

Ai, Ai, A>, .. ,

des forces de grandeurs quelconques, dites forces auxiliaires.

suivant les directions

iL, At, As, ...; 2° Aux points

des forces formant des couples, de grandeurs quelconques, dits couples auxiliaires,

d'axes dirigés

Cela posé, appliquons l'équation (2ij) (n1 29, théorème de Belti, Boussinesq el Maurice Levy complété) au système isoslatique, en considérant, dans celle équation, le système de forces (A) comme constilué par les forces et couples auxiliaires S,, j2, $3, .... G|, G3, €3, . . ., et le système de force (B) comme constitué par les forces F, F„ el F,, ; il vient

^iX,-f-^tXi-t-.fiX,H -h SjÇl + Gjçi-t- £3?i-f-...

en désignant par ïï,, .. ., II ^,, II., j „ le potentiel

interne total du système isos ta tique déformé respectivement par: i* les forces données F et les forces de liaisons surabondantes F„, et F„ du système hypers ta tique ; a" les forces et couples auxiliaires § et S ; 3" l'ensemble de ces forces et couples ( la barre surmontant la lettre U est destinée à indiquer que ces potentiels sont relatifs au système isostatique).

Nous écrirons, pour abréger,

,3o) 2^x-t-2e» = 5P,F«.F*.,^e-("F,PM,Fi.-,-5^e)-

Equation générale de l'Élasticité.

32. Supposons que le système de corps, Iryperslatique, considéré précédemment (n° 31), soit soumis non seulement à des forces extérieures F 'directement appliquées, mais encore à une variation de température t, comptée à partir de la température à laquelle ont été réalisées ses liaisons, positivement au-dessus, négativement au-dessous. La déformation de ce système est donc à la fois élastique et calorifique.

Considérons, dans le système, un certain nombre de points et de droites et soient :

i° Pour l'un quelconque A de ces points, X la projection de son déplacement élastique et calorifique, sur une direction A arbitrairement choisie ;

a" Pour l'une quelconque ad de ces droites, o la projection de sa rotation élastique et calorifique, sur une direction I* choisie arbitrairement parmi les normales à ad.

Envisageons le système isostalique obtenu par la suppression .des liaisons surabondantes du système hyperstalique donné. Soumettons-le aux forces «xtérieures F, aux forces de liaisons surabondantes F„ et F(, (nu 31) du système hyperstalique, et à la variation de température t; il prend un état de" déformation élastique et calorifique identique à celui du système hyperstalique soumis seulement aux forces F et à la variation de température t;

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.en particulier, les valeurs de \ et de <p sont des mêmes dans le système hyperstatique et dans le système isostatique.

Appelons X' et f les valeurs que prendraient ). et », si le système isostatique était soumis exclusivement aux forces F, F,; et F,t, c'est-à-dire si la déformation était purement élastique ; Àj et y* les valeurs que prendraient ces mêmes quantités, si ce système était soumis exclusivement à la variation de température, c'est-à-dire si sa déformation était purement calorifique.

On a, en vertu du principe de la superposition des effets élastiques et calorifiques,

(«) X = X'-l-Xt, ? = ?'+TT.

Ceci posé, examinons séparément la déformation élastique et la déformation calorifique précitées.

En ce qui concerne la première, on a immédiatement, d'après la relation (3o) (n° 31),

# et £ désignant respectivement des forces auxiliaires appliquées aux points A, suivant les directions A, et des couples auxiliaires dont les deux forces sont appliquées aux extrémitées des droites aa' et dont les axes ont les directions T.

Pour étudier la seconde déformation, imaginons que, suppression faite des forces F, F„, F(„ on applique au système isostatique les mêmes forces et couples auxiliaires que ci-dessus; le système prend un certain état de déformation ; soient :

X" la projection du déplacement élastique de l'un quelconque des

points A, sur la direction à ; tp" la projection de la rotation élastique de l'une quelconque des

droites aa , sur la direction V.

On a, en vertu de l'équation (i3) (n° 12) de Clapeyron,

Soumettons maintenant le système à la variation ■z de température; il prend une déformation calorifique qui se superpose à sa

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déformation élastique, de sorte que le déplacement projeté de l'un quelconque des points A et la rotation projetée de l'une quelconque des droites aa! deviennent respectivement

et l'on a, en vertu de l'équation (i5) (nu 13) de Çlapeyron généralisée,

= Û$s-±*-;j'Jjr(,i'x+n'x-i-n'a)tLedydt,

n'x, n', et/ij désignant les fatigues normales produites, par les forces et couples auxiliaires 3 et 2, sur trois éléments normaux aux axes de coordonnées, pris en un point quelconque {x,y, z) du système isostatique.

En retranchant, membre àmembre, les deux équations ci-dessus, on obtient

2*x,+2eft--«yyy"(i£-t-^+«;)«*rrf.r*.

Ajoutons, membre à membre, les deux équations (b) et (c), en ayant égard aux relations (#) ; il vient finalement

(3,) VA+2e?=uV,Fe„FISl^,£-(ÏÏF,FM,Fi»+'V,s)

Telle est l'Équation générale de l'élasticité des systèmes de corps isotropes.

Si, en Théorie mathématique de l'Elasticité, on savait former les expressions des fatigues normales et tangentielles et, par suite, d'après les formules (3) et (5) (n° 4) celle du potentiel interne, en fonction des forces extérieures produisant ces fatigues, la susdite équation permettrait de résoudre tous les problèmes relatifs aux déformations élastiques et calorifiques des constructions, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux hypothèses de la Résistance des matériaux. Un progrès important serait donc accompli, si l'on parvenait à vaincre les difficultés que présente l'intégration des

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équations aux dérivées partielles de la Théorie mathématique de l'Elasticité.

33. En reprenant la démonstration qui précède, dans le cas d'un système de corps à fibres moyennes, on trouve

~(SF.F-.Fta+5/ie)-"/36A'

en désignant par ■)& l'effort normal produit, en une section quelconque de l'un quelconque des corps du système isoslatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes du système hyperstatique donné, sous l'action des forces et couples auxiliaires 3 et S.

On peut d'ailleurs passer directement de l'équation (3i) à l'équation (3a), par application de la relation (17) (n° 13) qui donne ici

f f fln'j^n'y-t-n't)dxdy ets = f X eh.

Le second membre de l'équation (3a) se transforme comme suit : D'après la formule (11) (n* 9), on peut écrire :

(a) "F,Flt,F,,J,Q,-(pF,F„,F„+"3.s)

=j [ mF, Foi, F„, S, G - (SF, F,„ Fi,-+- ra,f , s) ] th<

en désignant respectivement par njF F s F|a, wj q, raF Fei p(ti.f q le potentiel [interne, rapporté à l'unité de longueur de la fibre moyenne, de l'un quelconque des corps du système isoslatique défini précédemment, déformé par : i"les forces directement appliquées F et les forces du liaisons surabondantes Foi et F„ du système hyperstatique donné ; 2" les forces et couples auxiliaires 5 et 3 ; 3" l'ensemble de ces forces et couples. Appelons : 1* N, T,t Tç, Mç, M,,, Me

les éléments de la réduction (au centre de gravité d'une section quelconque, de l'un quelconque des corps) des forces élastiques développées dans cette section, par l'application au système isostatique, -des forces F, F„ et F(l (ces éléments sont identiquement

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les mêmes que dans le système hyperslatique soumis seulement aux forces F);

a' X. 5r C,, OUs, 3n-T *>&!

les éléments de réduction analogues, le système isostatique étant supposé soumis aux forces et couples -f et 3.

En vertu du principe de superposition, si ce système est soumis 4 l'action simultanée des forces et couples F, FB1 F,,, *f et 2, les éléments de réduction deviennent

N + X, T,j -t- 6^, Tt -h 6;;, M£ -i- 0R|, M, -+- 3R.,,, Mç -+- OR.;. ""Cela posé, d'après la fornule (9) {n" 9), on a

raF,F,

, Pu i\Eu + Ou"1-"'"1" El;/'

Or, celte expression de ra,.. Km „(i est une fonction homogène et du second degré des six quantités N, T,,, . . . , Mç; et, pour obtenir les expressions de a>£© et de bj f p p j £, il suffit d'y remplacer respectivement ces six quantités, d'abord par îl- , Sr„ . . . , Oltj, puis par N + Jt ; T,, 4- G^, ■ . . , M; -|- Xç. On a donc, d'après une propriété des fonctions homogènes et du second degré { ' ),

mF, F„, F,., 3, 3 —("F, F.i, F,, + m,f , 3) "^F F,., F,, ™F F,„ F,,

ou, en remplaçant les dérivés partielles par leurs valeurs déduites

(') Voici l'énoncé de celle propriété établie par Euler. Soient: f(x,y,...) une fonction, liouiogène et du second degré, d'un nombre quelconque de variables x,y, ... ; 3^, y', ... un système de valeurs quelconques attribuées à ces variables.

On a identiquement

««+«'), lr+f, ...)l-tti*.r, —)+fl*.r,i—]i

T.4/(*.r.-} , ,<*/<*■>•,.■.) àfw.y,...) dfu\y...)

de l'expression de mp p p ,

raF, F„„ F„,-f , 3~(raF, F,„ Fi,4" "3, £;

Par suite, en substituant dans la formule (a), on a (*> %,FM,Fl),^3-(SF,F.„Fll-(-%ie)

Et, dès lors, l'équation (32) devient -

+»,aj+i,^+««5]*.

Dans les applications il importe de ne pas perdre de vue que :

i° Les déplacements projetés À et ta, ainsi que les éléments N, T^, ..., M; de la réduction au centre de gravité d'une section quelconque de l'un quelconque des corps, des forces élastiques agissant dans cette section {ou, ce qui revient au même, des forces extérieures appliquées à gauche de cette section), sont relatifs au système hyperstatique donné, soumis aux forces données F ;

2° Les éléments de réduction similaires <■%, G,,, ..., 3R; sont relatifs au système isostatique obtenu par la suppression des liaisons surabondantes extérieures et intérieures du système hyperstatique donné, système isostatique soumis aux forces et couples auxiliaires 3 et 3; ces derniers éléments, étant statiquemeni déterminés, se calculent très aisément.

Il va de soi que l'équation (33) reste valable dans le cas où le système donné est isostatique; toutes les quantités 'qui y entrent sont alors relatives à ce système isostatique.

34. Rotation élastique et calorifique d'une section quelconque. — Il est utile, au point de vue des applications, de faire

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intervenir dans l'équation (33) (n° 33) la projection, sur une direction F arbitrairement choisie, de la rotation élastique et calorifique d'une section transversale quelconque (S) de l'un quelconque des corps; voici comment :

Dans la section considérée (S), menons une droite aa' de direction normale à T [ce qui est toujours possible; il suffit, pour cela, que aa' soit dirigée suivant l'intersection de la section (S), avec un plan normal à T] ; appliquons, en a et en a', deux forces formant un couple auxiliaire S, d'axe dirigé suivant F; à ce couple© correspondra, dans l'équation (33), un terme 8s, où » désignera la projection sur la direction T de la rotation de la droite aa'. Or, par les considérations cinématiques déjà utilisées (n° 15) pour la démonstration du corollaire III du théorème de Castigliano, on établit aisément que celle projection est égale à celle de la rotation de la section (S), sur la direction T. On peut donc dire que, dans chacun des termes Q<$ de l'équation (33), -s représente la projection, sur une direction arbitrairement choisie T, de la rotation d'une section quelconque (S), à condition que le couple auxiliaire S soit appliqué sur cette section et que son axe ait la direction T.

35- Cas de la flexion plane . — Si le corps, ou le système de corps, considéré, isostalique ou hypers ta tique, est soumis à la flexion plane, en toute section, les éléments de la réduction des forces élastiques sont exclusivement un effort normal N, un effort tranchant T situé dans le plan de la ou des fibres moyennes (plan de flexion) et un couple de flexion M, d'axe normal à ce plan. Par suite, l'équation (33) (n° 33) se réduit à

<»-, 2À+2.,-/[xŒ-.,)*.£--»fi]*

Dans l'utilisation de cette dernière formule, on appliquera :

i" Les forces auxiliaires ê, en des points situés dans le plan de flexion et suivant des directions A menées dans ce plan;

2™ Les couples S, sur des sections transversales, en dirigeant leurs axes normalement à ce même plan.'

Il s'ensuivra que les quantités X seront les projections des

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déplacements des points considérés, sur les directions A, et que les quantités y seront les rotations mêmes des sections considérées.

Expressions générales des déplacements élastiques et calorifiques, détns les corps et les systèmes de corps à fibres moyennes.