I.(ix dy — py dx

qui ligure sous le signe / , devient une dilTérenlielle exacte. C'est

celui où/? = — 2, ce qui arriverait si l'attraction, au lieu de suivre la loi de Newton, s'exerçait en raison inverse du cube de la distance. Alors

'^{'i.x dy — py dx) = "Zixy.

S2 5rK est donc un polynôme du premier degré par rapport au temps, et comme

■^ dt dt '

l'expression ^mx- est un polynôme du second degré par rapport

au temps.

C'est le résultat auquel est parvenu Jacobi au début de ses Vor-

lesiingen.

Mais, en général,

"Z^ix dy — py dx )

n'est pas une différentielle exacte.

Dans le cas particulier de l'attraction newtonienne, notre invariant prend la forme

fl.{2xdy-^ydx)—3t(Ci—C^>).

Les invariants intégraux et les exposants caractéristiques.

2S7. On peut se demander s'il existe d'autres invariants intégraux algébriques que ceux que nous venons de former.

On pourrait appliquer, soit la méthode de Bruns, soit celle dont j'ai fait usage aux Chapitres IV et V; en effet, les invariants intégraux correspondent, comme nous l'avons vu, aux intégrales des équations aux variations et l'on pourrait appliquer à ces équations les mêmes procédés qu'aux équations du mouvement elles-mêmes.

Mais il vaut peut-être mieux modifier ces procédés, au moins dans la forme.

Soit un système quelconque d'équations différentielles

FORMATION DES INVARIANTS. 49

et leurs équations aux variations

Cherchons d'abord les invariants intégraux du premier ordre de la forme

(3) I {^idxi-k-'Bidx^-\- . . .-\-'R,idx,i),

où l'expression sous le signe / est linéaire par rapport aux différentielles dx^ et où les B sont fonctions algébriques des x.

Ces invariants correspondent aux intégrales linéaires des équations (2).

Quelles sont donc les conditions pour que les écjualions (2) admettent des intégrales linéaires par rapport aux \ et algébriques par rapport aux xl

Supposons que l'on donne aux ^ des valeurs qui correspondent à une solution périodique de période T. Alors les coefficients des équations (2) seront des fonctions connues de t qui seront périodiques et de période T et l'on en tirera la solution générale des équations (2) sous la forme suivante

(4) ^/ = :S/.ÂA-e«A^^;,/,;

les ^i^k étant des fonctions périodiques de ï, les a^ seront les exposants caractéristiques et les Kk des constantes d'intégration. Nous pourrons ensuite résoudre les équations linéaires (4) par rapport aux inconnues A^e^''^ et nous trouverons

les O/^/f étant des fonctions périodiques de t.

Il y aura donc, entre les Ç, n relations de la forme (5) et il n'j en aura d'ailleurs pas d'autres.

Si les équations (i) et (2) admettent q intégrales distinctes linéaires par rapport aux ^ et algébriques par rapport aux x, il pourra se faire que quelques-unes de ces q intégrales cessent d'être distinctes quand on j remplace les x par les valeurs qui correspondent à une des solutions périodiques des équations (i).

5o C II A P I T R E X X 1 1 1 .

Comment cela pourra-t-il se faire?

Soient

H/ = Biiki-i-B,i^çi-\-...~Bndn = consl. ( t = i, 2, . . . , ^)

ces q intégrales linéaires, où les B seront des fonctions algébriques des X et qui correspondront à q invaiùants intégraux de la forme (3).

Elles sont distinctes, c'est-à-dire qu'il n'y a pas entre elles de relations identiques de la forme

(6) piHi-Hp2H2-h...+ p^H^ = o,

oîi les coefficients ,3 sont des constantes el qu'il n'y en a pas non plus de la forme

(6 bis) '\lilIi-{- '\l,Ji2'^. . .+ '\'r,îiq = o,

les ']i étant des intégrales des équations (i).

Est-il possible alors qu'il y ait entre elles une relation de la forme

(6 ter) ©iHi H- cj-aHa -1-. . .-I- cfryH^ = o,

les CD étant fonctions quelconques des x seulement. D'après le n** 250, si une pareille relation avait lieu, les rapports des fonctions cp devraient être des intégrales des équations (i). Nous aurions donc

cpi cç, ?<?

Jes ij; étant des intégrales et par conséquent

^j^i Hi -1- tj^2 H2 -T- • . . -t- ^'î H? = ^}

ce qui est contraire à l'hypothèse.

Il ne peut donc pas y avoir entre les H^- de relation identique de la forme (6 ter).

Mais si l'on donnait aux x les valeurs qui correspondent à une solution particulière périodique ou non, il pourrait arriver que le premier membre de (6) s'annulât identiquement. Il arriverait alors que l'équation (6), qui n'est pas satisfaite identiquement

FORMATION DES INVARIANTS. 5l

quels que soient les x, le serait quand on remplacerait les x par des fonctions convenablement choisies de ?, à savoir par celles de ces fonctions qui correspondent à wne solution particulière.

J'appellerai singulière toute solution particulière pour laquelle cette circonstance se produira.

Cela posé, deux cas peuvent se présenter.

Ou bien les solutions périodiques des équations (i) sont toutes singulières.

Ou bien elles ne sont pas toutes singulières.