Considérons une solution singulière S. Soit
d'où
Comme la relation (6) n'est pas identiquement vérifiée on n'a pas identiquement
(7) Bi=B2 = ...= B„ = o,
mais comme la relation (6) doit être vérifiée par la solution S, ces relations (7) (qui d'après nos hypothèses sont algébriques) devront être satisfaites pour les valeurs des x qui correspondent à la solution S.
Soit maintenant
B'.=.X — -^X, — + ■ X ^ ' dxi ' " " dx=i, ' ' ' ■" " dxn '
puis
B]= X. ^ + X2 ^' +. . .+ X„ -^, dx'^ dx^ ' dx,2
La solution S devra évidemment satisfaire aux relations
{-; bis) B', = o (j = I, 2, . . ., /z),
puis aux relations
{■] ter) Bj' = o (f = I, 2, . . ., /i)
et ainsi de suite.
Nous formerons donc successivement les relations (7), (7 bis)^ {"jter), etc. et nous nous arrêterons quand nous serons arrivés à
un système de relations qui ne seront que des conséquences de celles qui auront été précédemment formées.
Les relations (7), (7 bis)^ (7 ter), etc. seront algébriques d'après nos hypothèses, et leur ensemble formera ce que j'ai appelé au n° 11 un système de relations invariantes.
Si donc un système d'équations différentielles admet une solution périodique singulière, il admettra un système de relations invariantes algébriques.
Il est probable que le problème des trois corps n'admet pas de relations invariantes algébriques autres que celles qui sont déjà connues. Je ne suis pas toutefois encore en mesure de le démontrer.
Cela posé, supposons que nous ayons plusieurs solutions singulières ; pour chacune d'entre elles on devra avoir
(8) 13lB/.l^- p2 B/., -+-,.. -i-p^B,-.^ = o.
Seulement les constantes (3 pourront ne pas être les mêmes pour deux solutions singulières différentes. Il n'est donc pas évident que ces deux solutions singulières devront satisfaire à un même système de relations invariantes. C'est cependant ce qui arrive ainsi que nous allons le démontrer.
Supposons, pour fixer les idées, ^ = 4; la suite des raisonnements serait la même dans le cas de ^ >• 4- Considérons les n relations
(17) piBa+132B,-2-i-p3B/3 + P4Brt = o {i = 1, 1, . . ., n).
Formons le Tableau T des ^n coefficients B; tous les déterminants formés à l'aide de quatre colonnes de ce Tableau devront être nuls.
S'ils ne le sont pas identiquement, nous trouverons ainsi une ou plusieurs relations auxquelles devront satisfaire toutes les solutions singulières, où entreront seulement les x et où n'entreront pas les indéterminées ^.
S'ils le sont identiquement, considérons trois des relations (17),
nous en déduirons
les M étant des mineurs du premier ordre du Tableau T.
FORMATION DES INVARIANTS. 03
On aura donc (i8) MiHi + M2H2-4-M3H3 + M4H4 = o.
Cette relation (i8) devra être identique, car le coefficient de ^a est un des déterminants du Tableau T que je suppose identiquement nuls.
Nous aurions donc là une relation de la forme (6 ter), ce qui est contraire à notre hypothèse, à moins que l'on n'admette que tous les M ne soient identiquement nuls.
Si tous les mineurs du premier ordre du Tableau T sont identiquement nuls, formons les mineurs du second ordre.
Soient M',, M^, M3 trois de ces mineurs obtenus en prenant dans le Tableau trois colonnes quelconques et en j supprimant les lignes i et 4 pour M,, 2 et 4 J)our M2, 3 et 4 pour Mg.
Il viendra
(19) m; Hi -i- M'2 H2 + M'3 H3 = o.
Cette relation doit même être identique; car le coefficient de \k dans le premier membre est un des mineurs du premier ordre de T que je suppose tous identiquement nuls.
Ce serait donc encore une relation de la forme (6 ter), à moins que l'on ne sujapose que tous les mineurs du second ordre M' ne soient identiquement nuls.
S'il en est ainsi, il viendra identiquement
B/2 Hj — Bji H2 = o,
ce qui est encore une relation de la forme (6 ter).
Il ne peut donc arriver que tous les déterminants du Tableau T s'annulent identiquement. Nous aurons donc au moins une relation (et, par conséquent, un système de relations invariantes), à laquelle toutes les solutions singulières des équations (i) devront satisfaire.
On pourrait conclure immédiatement que toutes les solutions des équations (i) ne peuvent être singulières.
Mais ce n'est pas tout; nous pouvons élargir notre définition des solutions singulières.
Nous venons de définir les solutions singulières par rapport à
q intégrales Hf des équations (2) linéaires par rapport aux \ et correspondant à q invariants (linéaires et du premier ordre) des équations (i).
Nous pourrions définir absolument de la même manière les solutions singulières par rapport à q intégrales quelconques
Hi, H,, ..., H^
des équations (2) et des équations (2 bis) obtenues en remplaçant les \ par les ^'.
Ces intégrales devront être homogènes et de même ordre, tant par rapport aux \ que par rapport aux ^'; ce seront des polynômes entiers par rapport à ces variables; mais elles ne seront pas forcément linéaires par rapport aux \\ elles pourront donc correspondre à des invariants intégraux d'ordre supérieur, ou à des invariants intégraux du premier ordre, mais non linéaires.
De plus, ces intégrales devront être distinctes, c'est-à-dire qu'elles ne devront pas satisfaire identiquement à une relation de la forme (6), (6 his^ ou (6 ter).
Je dirai alors qu'une solution particulière S est singulière si, pour les valeurs de x qui correspondent à cette solution, une relation (6) est satisfaite.
Nous aurons alors
Ayt étant un monôme formé par le produit d'un certain nombre de facteurs ^i, ^2, . • ., i«, i', , i',, • • ., ^^^ élevés à une puissance convenable, et les Ba.j étant des fonctions algébriques des x. Nous j)oserons d'ailleurs, comme plus haut,
B,-=: j3iB;.i4-i32B,-.,-f-...+ p^B/.y,
et nous n'aurons rien à changer aux raisonnements qui précèdenl. Nous arriverons à la même conclusion.
Toutes les solutions singulières par rapport aux q intégrales H/ satisfont à un même système de relations invariantes algébi'iques.
Ces résultats sont encore vrais si l'on envisage des intégrales de la forme suivante
FORMATtON DES INVARIANTS. 55
La définition des solutions singulières, par rapport à ces intégrales, sera encore la même et ces solutions singulières satisferont à un même système de relations invariantes algébriques.
On n'aurait qu'à répéter la démonstration qui pi-écède sans j rien changer. Seulement, les coefficients des quantités B;^.^ qui joueraient dans cette démonstration le même rôle que les ^i pourraient être soit des ^/, soit des produits de ^i et de i|-, soit des produits de la forme t^i.
259. Je ne veux pas entrer ici dans le détail des raisons qui me font regarder comme vraisemblable que, dans le cas du problème des trois corps, toutes les solutions périodiques ne peuvent pas être singulières.
Cela m'entraînerait beaucoup trop loin démon sujet; j'j reviendrai plus tard; mais en attendant, je vais provisoirement admettre cette proposition en faisant seulement observer combien il est peu probable que toutes les solutions périodiques du problème des trois corps satisfassent à un système de relations invariantes, ce qui serait nécessaire d'après le numéro précédent pour qu'elles pussent être singulières. Reprenons les notations et le numérotage d'équations du n° 257.
Si les équations (i) et (2) admettent q intégrales distinctes linéaires par rapport aux ^ et algébriques par rapport aux x, ces q intégrales ne cesseront pas d'être distinctes quand on y remplacera les a; parles valeurs qui correspondent à une solution périodique non singulière.
En écrivant que ces q intégrales sont des constantes, et remplaçant dans les équations ainsi obtenues les x par les valeurs correspondant à une solution périodique, on obtiendra q équations de la forme (5), mais où l'exposant cf./s sera nul. Ces q équations devront donc figurer parmi les équations (5). Donc pour que les équations (i) admettent q invariants intégraux distincts linéaires par rapport aux x, il faut que, pour toute solution périodique non singulière) q des exposants caractéristiques <y.jf soient nuls.
Cherchons maintenant les invariants intégraux de la forme
(7) / sj'Lkidx} -f- iBikdxidxk = j \/F{dxi).
Ces invariants correspondront aux intégrales des équations (i) et (2) qui sont quadratiques par rapport aux ^. A l'invariant (7), correspondra, en effet, l'intégrale
F(^;) = const.
qui devra être quadratique par rapport aux ^ et algébrique par rapport aux x. Remplaçons dans cette équation les x par les valeurs qui correspondent à une solution périodique non singulière; il viendra
(8) F*(^^)= const.,
où F* est un polynôme quadratique homogène par rapport aux ç, dont les coefficients sont des fonctions périodiques de t.
Toutes les équations delà forme (8) doivent pouvoir se déduire des équations (5) et cela de la manière suivante :
Dans le cas d'un problème de Dynamique et, en particulier, dans le cas du problème des trois corps, nous avons vu que les exposants caractéristiques sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous pouvons donc grouper les équations (5) par couples; soient
(5 his) A;te«i^ = ^/ç.-e/A-,
En multipliant l'une par l'autre les équations (5 his) et (5 ter)^ on obtiendra une équation de la forme (8), et toutes les équations de la forme (8) devront être des combinaisons linéaires des équations ainsi obtenues.
Si donc on suppose que les équations (i) ont la forme canonique des équations de la Dynamique et qu'elles contiennent/? couples de variables conjuguées, nous aurons p couples d'équations analogues à (5 his) et (5 ter) et, par conséquent, pour chaque solution périodique, il y aura p équations de la forme (8) linéairement indépendantes.
Parmi ces/? équations et parmi leurs combinaisons linéaires, choisissons-en une; soit F*(^j); opérons de même pour toutes les autres solutions périodiques; nous aurons alors un certain polynôme F*(i(), homogène et du deuxième degré par rapport
FORMATION DES INVARIANTS. 67
aux i, et dont les coefficients seront des fonctions des x définies seulement pour les valeurs de x qui correspondent à une solution périodique.
Il reste à savoir si le choix peut être fait de telle façon que les coefficients de F* soient des fonctions algébriques des^, ou même des fonctions continues des x. Je pose le problème sans chercher pour le moment à le résoudre.
Cherchons maintenant les invariants du deuxième ordre, c'està-dire ceux qui ont la forme d'une intégrale double
où F est une fonction linéaire des produits dxidxk (les coefficients de cette fonction linéaire étant bien entendu des fonctions des ^). Ces invariants du second ordre auront la signification suivante :
Pv.eprenons les équations (i) et (2) (nous conserverons toujours le numérotage du n° 257) et formons en outre les équations
^^«) dt=2.
Elles nous conduiront à des équations analogues à (5) et que j'écrirai
Elles ne difi'éreront d'ailleurs des équations (5) que parce que les lettres y sont accentuées.
Les invariants du second ordre correspondront alors, d'après le Chapitre précédent, à celles des intégrales de (1), (2) et (2 a) qui sont linéaires par rapport aux déterminants
et algébriques par rapport aux x.
Soit
une de ces intégrales; si l'on y remplace les x par les valeurs qui correspondent à une solution périodique, on obtiendra une équa-
58 CHAPITRE XXIll.
lion de la forme
(9) F*(^,ï;r^.— ^/,^;) = consi..
où F* sera une fonction linéaire par rapport aux. déterminants
et dont les coefficients seront des fonctions périodiques de t.
Voici maintenant comment on pourra former toutes les relations de la forme (9) relatives à une solution périodique donnée.
Dans le cas des équations de la Dynamique, les équations (5 «) se répartissent en couples comme les équations (5); soit
{5a bis) A/, e^t< = S ^ ■ 6//,,
{5a ter) B/,e-«(i« = S^-e;-/,,
un de ces couples; multiplions (5a bis) par (5 ter), (5 a ter) par (5 bis) et retranchons; nous obtiendrons une équation de la forme (9). Chaque couple d'équations nous en donnera une, et toutes les autres équations de la forme (9) ne seront que des combinaisons linéaires de celles qu'on peut ainsi former.
Parmi toutes les équations de la forme (9) ainsi obtenues , choisissons-en une; opérons de même pour toutes les autres solutions périodiques 5 nous aurons alors une relation
F*(?/?A- — ^.•^'/)= const.
dont le premier membre sera une fonction linéaire des déterminants; les coefficients de cette fonction linéaire seront des fonctions des x définies seulement pour les valeurs des x qui correspondent à une solution périodique.
Il reste à savoir si le choix peut être fait de façon que ces coefficients soient des fonctions algébriques ou même des fonctions continues des x.
Revenons maintenant aux invariants du premier ordre linéaires. D'après le n° 29, la forme des équations (4) et par conséquent celle des équations (5) se trouve modifiée quand deux ou plusieurs des exposants caractéristiques deviennent égaux.
Si, par exemple, neuf de ces exposants sont égaux à zéro, on
FORMATION DES INVARIANTS. 5g
pourra écrire les équations (5) correspondantes sous la forme
P/f désignant un poljnome entier par rapport à t, ayant pour coefficients des constantes.
Ces polynômes sont de degré q — i au plus; et, pour préciser davantage, ces polynômes sont au nombre de ^ ^ le premier se réduit à une constante, le second est de degré un au plus, le troisième de degré deux au plus, et ainsi de suite, et enfin, le dernier de degré q — ■ i au plus.
Dans le cas où le degré de ce dernier polynôme atteint son maximum et est égal à. q — i, l'avant-dernier polynôme est la dérivée du dernier, le q — 2^ la dérivée du q — i® et ainsi de suite.
Dans tous les cas, on peut répartir les q polynômes en plusieurs groupes; dans chaque groupe, le premier polynôme se réduit à une constante et chacun d'eux est la dérivée du suivant.
Pour qu'il existe p invariants intégraux linéaires, il ne suffit donc pas que p des exposants caractéristiques soient nuls; il faut encore que/? des polynômes P;^se réduisent à des constantes (ou, ce qui revient au même, que ces polynômes se répartissent au moins en p groupes).
Quelle est alors, au point de vue qui nous occupe, la signification des équations (10) où P^ ne se réduit pas à une constante?
Nous avons au n° 216 défini un invariant intégral dont le rôle est très important. Cet invariant est de la forme
F et F, étant des fonctions algébriques par rapport aux a;, et linéaires par rapport aux différentielles dx.
Un pareil invariant correspond à une intégrale des équations (2) de la forme suivante
F -I- ^Fi = const.,
où F et F, sont des fonctions algébriques par rapport aux x et linéaires par rapport aux ^.
Si dans celte intégrale, je remplace les a: par les valeurs qui
6o CHAPITRE XXIII.
correspondent à une solution périodique, il viendra
(il) F* -f- fFt = const.,
où F* et F* sont des fonctions linéaires par rapport aux ^ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de t.
Voici maintenant comment on peut obtenir toutes les relations de la forme (i i) en partant des équations (lo).
Considérons deux polynômes P;^, le premier se réduisant à une constante, et le second étant du premier degré, le premier étant la dérivée du second. Les équations (lo) correspondantes s'écriront
(10 bis) Ai=S^,-0,-,
(lo ter) As-f- Aii = S^,-e-,
les 9/ et les 6'^ étant périodiques en ^; on en déduit
E^.-e:— izï,e, = const.,
ce qui est une relation de la forme (i i).
Remarquons encore que l'équation (lo bis), élevée au carré, nous fournit une relation de la forme (8) et que des équations (lo bis) et (lo Zer) on peut déduire une relation de la forme (9), à savoir
260. Appliquons ce qui précède au Problème des trois Corps, et cherchons quel peut être pour ce Problème le nombre maximum des invariants intégraux des diverses sortes étudiées dans le numéro précédent; à savoir :
Première sorte : invariants linéaires par rapport aux différentielles dx;
Deuxième sorte : invariants où la fonction sous le signe j est
la racine carrée d'un polynôme du second degré par rapport aux différentielles des x;
Troisième sorte : invariants du second ordre, linéaires par rapport aux produits de différentielles dxidxk',
Quatrième sorte : invariants de la forme considérée à la fin du
FORMATION DES INVARIANTS. 6l
numéro précédent, c'est-à-dire de la forme
Ces diverses sortes d'invariants correspondent aux diverses sortes d'intégrales des équations (2) et (2 a), à savoir:
Première sorte : intégrales linéaires par rapport aux ^;
Deuxième sorte : intégrales quadratiques par rapport aux ^;
Troisième sorte : intégrales linéaires par rapport aux déterminants i/^^^— ^^i/;
Quatrième sorte : intégrales de la forme
F + tFi,
F et F, étant linéaires par rapport aux ^.
Nous pouvons regarder comme extrêmement vraisemblable que toutes les solutions périodiques du Problème des trois Corps ne sont pas singulières.
Dans le Problème des trois Corps, le nombre des degrés de liberté est six; le nombre des exposants caractéristiques est douze; d'après ce que nous avons vu au n° 78, il j en a six et six seulement qui s'annulent; les six autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Il y a donc six équations de la forme (10) et six polynômes P/r dont quatre de degré zéro et deux de degré un. Ou bien encore il j a trois couples d'équations de la forme (5 bis), (5 ter), quatre équations de la forme (10 bis), deux équations de la forme (10 ier).
Voyons donc combien il y aura au plus d'invariants de chaque sorte indépendants.
Je précise ce que j'entends par là; je ne regarderai pas comme indépendants Ji invariants de la première sorte
ou n invariants de la seconde sorte ou n invariants de la troisième sorte
OU II invariants de la quatrième sorte
quand il y aura entre F,, Fo, . . . , F/^ une relation identique de la forme
<ï>,, Oo, .,.,<!>« étant des intégrales des équations (i).
Il est clair d'abord qu'il ne pourra pas y avoir plus de quatre invariants de la première sorte, autant que d'équations (lo bis). Ces quatre invariants sont déjà connus.
Il ne pourra pas y avoir plus de treize invariants de la seconde sorte, dont trois proviendraient des trois couples d'équations de la forme (5 bis), (5 ter) et les dix autres s'obtiendraient à l'aide des carrés des quatre équations (lo bis) et de leurs produits deux à deux. Ces dix derniers existent réellement; mais ils ne sont pas indépendants des quatre invariants de la première sorte puisqu'on peut les en déduire par le jDrocédé du n° 245. Il pourrait donc y avoir trois invariants nouveaux.
Il ne pourra pas y avoir plus de onze invariants de la troisième sorte dont trois proviendraient des trois couples d'équations de la forme (5 bis) (5 ter); six s'obtiendraient en combinant deux à deux les quatre éc[uations (lo bis); deux en combinant les deux équations (lo ter) avec l'équation (lo bis) correspondante.
Sept de ces invariants sont connus; l'un est l'invariant Jj du n° 2S5, les six autres sont ceux qu'on déduit des quatre équations (lo bis), mais ils ne peuvent pas être regardés comme indépendants des quatre invariants de la première sorte puisqu'on peut les en déduire par le procédé du n° 247.
Il pourrait donc y avoir quatre invariants nouveaux de la troisième sorte.
Enfin i] ne peut pas y avoir plus de deux invariants de la quatrième sorte, autant que d'équations (lo ter).
L'un de ces invariants est connu, c'est celui du n° SoG; il pourrait encore y avoir un invariant nouveau.
Il est probable que ces invariants nouveaux, dont la discussion
FORMATION DES INVARIANTS. 63
précédente n'exclut pas la possibilité, n'existent pas; mais pour le démontrer, il faudrait recourir à d'autres procédés, par exemple à des procédés analogues à la méthode de Bruns.
Emploi des variables képlériennes.
261. L'invariant de la quatrième sorte du n" 256 peut encore être mis sous une autre forme.
Soit un système quelconque d'équations canoniques
dxi d^ dyi dV
' dt dfi ' dt dxi
Considérons l'intégrale suivante prise le long d'un arc de courbe quelconque
J = \ {Xi dyi -\- X.2 dy2 -h. ■ .^x,i dy,i).
Supposons que l'on écrive les équations de l'arc de courbe le long duquel on intègre en exprimant les x et les y en fonction d'un paramètre a et que les valeurs de ce paramètre qui correspondent aux extrémités de l'arc soient ao et a,. L'intégrale J sera égale à
Supposons que nous considérions notre arc de courbe comme la figure F du Chapitre précédent qui varie avec le temps et se réduit à Fq pour t^^o.
Alors les X, les y et les fonctions des x et des y, telles que F,
, , ... seront des fonctions de a et de t. dx dy
Il viendra
ou
dt
■jmM'^^-j^-i.mY
en intégrant par parties
lit
=/[2:ft]--/[2;s^^]--[-g
Or
■^ clY dy ^ d¥ dx d¥ ^^ dy doL ' .^ dx d% dot donc
Si nous supposons que F soit homogène de degré/) par rapport
aux X, il viendra
Zx ~r- =p¥.
Soit alors C la constante des forces vives de telle sorte que l'équation des forces vives s'écrive
Soient Go et G» les valeurs de cette constante qui correspondent à ao et à a, ; il viendra
(3) ^=(r-/.)(C,-Go).
Donc J n'est pas un invariant proprement dit; mais sa dérivée, par rapport au temps, est constante et, pour nous servir de l'expression définie au numéro précédent, c'est un invariant de la quatrième sorte.
262. Supposons maintenant que F présente une autre sorte d'homogénéité.
Partageons les couples de variables conjuguées en deux classes, et désignons, par Xi, yi les couples de variables conjuguées de la première classe, par x'^^ y\ les couples de variables conjuguées de la seconde classe.
Je suppose que F soit homogène d'ordre/? par rapport aux xi, aux {x'j)- et aux (jKi)"i de telle sorte que l'on ait
-Z — L^fx'— 'i^^- F dx 2 "^ \ dx' ^ dy' ) ^
Posons alors
l=JVz{xdy)+-^Mx'dy'-y'dx')\^
ou
d'où
FORMATION DES INVARIANTS. 65
dJ /'T'^ dx dy I -^ l dx' dy' dy' dx'\^
dt ~ J \^ dt d% 2 ^ \ dt ~db. 'dï ~dâ.)\
~^J \r doidt 2 "^ \ dT-dt "^ dzidt)\
ou
^ /'["V^ dF dy i^ /dF dx^ d¥ dy'X'X dt J [^.^ dy dct.~^ 1 j^\dx' da dy' dct. j \
J y da. dx^^ i~'\ d'x dx' "^ da dy' ) J ' ou, en intégrant par parties,
^ r'^'^ /dF dx dF dy dF dx' dF dy\ dt J^ ,^d \ dx drt. dy dix dx' dx dy' d% )
ou
5 = tF-/-F]S; OU enfin
^=(i-/.)(Ci-Go),
ce qui montre que J est encore un invariant de la quatrième sorte.
263. Appliquons ce qui précède au problème des trois corps et voyons ce que devient l'invariant du n° 256 avec les diverses variables choisies.
Au n° 11, nous avons piùs comme variables
PL, pG, pe, p'L', p'G', p'e', i, g, e, r, g', 6'.
F est homogène de degré — 2 par rapport aux variables de la première série : donc
r[p(L^ZH-G^^H-0^e)-hp'(LV^/'+GV/^'-h0'^O')] + 3 «(Cl— Go)
sera un invariant.
La même homogénéité subsiste si l'on prend pour variables,
comme au n° 12,
Donc
fiAdl + Udh-hZ f/Ç + A.'dl'-\- W dh' + Z'd^') + 3ti Ci— Co)
sera un invariant.
Si l'on prend comme variables [voir n° 12)
A, A', ?, ^', p, p\ X, X', 7), ri', q, q',
la fonction F sera homogène de degré — 2 par rapport aux A, aux ^, aux T), aux/? et aux q.
Il en résulte que
fl.ii.Adl-^^drj — ri di -h pdq — q dp)-^Q>t(Ci— Go)
est un invariant.
Le signe S signifie qu'on doit ajouter à chaque terme celui qu'on en déduit en accentuant les lettres. Ainsi
