H AL
Aj, A2, ..-, A„ étant des formes linéaires que l'on peut déterminer par des opérations purement algébriques.
Al , Ao, . . . , A„ peuvent être regardés comme des covariants de degré zéro du système F, F, , de sorte que
Ja\, Ja'„ ..., Jk
sont des invariants intégraux des équations (i), si l'on désigne par A^ ce que devient A,- quand on y remplace les ^/ par les différentielles dxi.
Il y aurait exception pourtant si l'équation en \ avait des racines multiples. Si, par exemple, \\ était égal à }.o, on ne pourrait plus affirmer que
sont des invariants intégraux, mais seulement que
est un invariant intégral.
Soient maintenant
/ 2 A//t dxi dxi,; / S B ,a- dxi dxk , deux invariants intégraux du second ordre. Les deux formes
INVARIANTS INTÉGRAUX. Sg
bilinéaires
seront des intégrales de (2) et (2 bis).
Le cas le plus intéressant est celui où ii est pair; soit donc n = im.
Considérons la forme
et égalons son déterminant à o. Nous aurons une équation algébrique en \ de degré n^ im; mais le premier membre de cette équation est un carré j)arfait5 de sorte qu'elle se réduit à une équation d'ordre m. Les m racines
seront, pour la même raison que plus haut, des intégrales des équations (i).
Maintenant $ et $, pourront se mettre sous la forme
<i>i = 5(p,Q;.-Q,pi)
les Pj et les Q^ étant im polynômes linéaires par rapport aux ^; et les P^ et les Q^ étant les mêmes polynômes où les ^m ont été remplacés par les i'.
Alors les expressions
PiQ'.-QiP'i, P2Q'2-Q2P;2, •••, P/.^Q'm-Q.nP;«
seront des covariants du système <[>, <ï>, et par conséquent des intégrales de (2), (2 bis) auxquelles correspondront des invariants intégraux.
11 y aurait exception si l'équation en \ avait des racines multiples.
Si l'on avait, par exemple,
40 CHAPITRE XXII. — INVARIANTS INTÉGRAUX.
on ne pourrait plus affirmer que les deux expressions
sont des intégrales de (2), (2 bis) mais seulement que leur somme
p,q;-p;Qi + p,q',-p'2Q2
est une intégrale de (2), (2 bis). '
FORMATION DES INVARIANTS. 4l
FORMATION DES INVARIANTS.
Emploi du dernier multiplicateur.
SSi. Il J a d'abord un in variant intégral qui se forme très aisément quand on connaît le dernier multiplicateur des équations différentielles.
Soient
(i) —- = --^ =...= -~^ =dt,
nos équations différentielles.
Supposons qu'il existe une fonction M de ^i, ^2? ••-? ^n 6t telle que l'on ait identiquement
^(MXi) djMX.J d(mXn)
dxi dx-i ' ' ' dx,i
Cette fonction M est ce que l'on appelle le dernier multiplicateur.
Je dis alors que l'intégrale d'ordre ri
M dx^ dx-i . . . dx,i
est un invariant intégral. Supposons, en effet, que l'on ait intégré les équations (i), en exprimant ^i, ^o, . . . , .r^ en fonctions de t et de n constantes d'intégration
OC; , OC2 , . • • ) ^n j
l'intégrale J deviendra
J = / M A(5?ai da^ . . . <3?a„,
A étant le jacobien ou déterminant fonctionnel des x par rapport aux a; on aura alors
dt
clM A
dt
dcii da^ . . . û^a,j.
Oi
D'autre part,
dt d'W
dt
dt ' dxi
dxx dxi doiy doii '
dM^
'dt''
dXn
dui
Je n'écris que la première ligne de ce déterminant; les autres s'en déduiraient en chaugeant a, en a2, a3, . . . , a„.
dA
~dt
Donc A-i- dt -j- devra être le jacobien des
dxi
dt
dt
Xidt
par rapport aux a; ce sera le produit du jacobien des Xi par rapport aux a, c'est-à-dire de A, par le jacobien des Xi-i-^idt par rapport aux Xi que j'appellerai D; j'écris
dt -=dt
Or, le jacobien D est facile à former ; les éléments de la diagonale principale sont finis, celui qui appartient à la i'^'°^ ligne et à la jième colonuc s'écrit
dXi
dt
dXl
Les autres éléments sont infiniment petits; celui qui appartient à la i'^'"'^ ligne et à la A-''^'"^ colonne {i\k) s'écrit
at
dXj
dxh
Il résulte de là qu'en négligeant les termes de l'ordre de dt-^ on aura
dX;
D = 1-4- <sfi
^ dxi '
FORMATION DES INVARIANTS.
d'où
On en conclut
— - A dt ~
^A dxi
d'où enfin
~dt
Équations de la Dynamique.
255. Dans le cas des équations de la Dynamique, il est aisé de former un grand nombre d'invariants intégraux. Nous avons appris, en effet, aux n°' 56 et suivants, à former un certain nombre d'intégrales de l'équation aux variations et nous avons appris dans le Chapitre précédent comment on peut en déduire des invariants intégraux.
Une première intégrale (équation 3, t. [, p. 16^) est la suivante
'l'i^i — rrii+ '']'2^2 — ^'2'']2-+-. • •= const. L'invariant intégral qu'on en déduit est le suivant
Ji = / ( dxi dji -+- dx^ dy% + . . . -4- dxnyn )•
Il est du deuxième ordre et fort important pour ce qui va suivre. Un peu plus loin (toujours p. 167, t. I), j'obtiens une seconde intégrale que j'écris
%i Çj Çj Çj
\k Kl, ÇA- Ik
= const.
L'invariant intégral que j'en déduis est du quatrième ordre et s'écrit
J2 = / ^ dxi dfi dxic dyic.
La sommation indiquée par le signe S s'étend aux —^ — - combinaisons des indices i et A".
De même, l'intégrale
J3 = / S dcci dyi dxi; dyic dxi dji,
ou la sommation s étend aux — i-. combinaisons des
trois indices i, k et /, sera encore un invariant, et ainsi de suite.
Nous obtenons ainsi n invariants intégraux si nous avons n paires de variables conjuguées; l'un de ces invariants J, sera du second ordre, l'autre Jo du quatrième, l'autre J3 du sixième, . . . , et le dernier 1,^ d'ordre 2 n.
Mais il ne faudrait pas croire que ces invariants sont tous distincts. A la fin du n" 247, j'ai dit, en effet, qu'on peut toujours , d'un invariant du deuxième ordre, en déduire un du quatrième ordre, un du sixième et ainsi de suite. Les invariants J| , Jo, . . ,in que je viens de définir ne sont autre chose que ceux que l'on peut déduire ainsi du premier d'entre eux.
Ces invariants peuvent se rattacher à un autre ordre de considérations; au commencement de la page 169, tome I, j'ai montré comment on pouvait déduire le théorème de Poisson de l'intégrale (3) de la page 167, ou, ce qui revient au même, de l'invariant intégral i ^ .
En opérant de même sur l'invariant Jo, on trouverait un théorème analogue à celui de Poisson.
Soient
quatre intégrales des équations de la Dynamique.
Soit
le jacobien de ces quatre intégrales par rapport à
^/' Ji, xk, yk.
L'expression
oùla sommation s'étend à toutes les combinaisons des indices i, A", sera encore une intégrale.
FORMATION DES INVARIANTS. 45
On arriverait à un théorème analogue en partant de l'un quelconque des invariants J3, J/, , . . • , J».
Mais, d'après la remarque que je viens de faire à l'instant, tous ces théorèmes ne sont pas réellement distincts de celui de Poisson.
Cependant, parmi tous ces invariants, il y en a un auquel il convient d'attacher une grande importance, c'est le dernier d'entre eux
J,j = / dx\ dyi dx^ dy^ . . . dx,i dy,i.
On aurait pu l'obtenir par le procédé du numéro précédent; on sait, en effet, que les équations de la Dynamique admettent pour dernier multiplicateur l'unité.
256. Je suppose, maintenant, que les x désignent les coordonnées rectangulaires de n points dans l'espace, et je reprends les notations de la page 169 du Tome I.
Nous avons trouvé, page l'^o, l'intégrale suivante des équations aux variations
y-^-y^^ = const.
L'invariant intégral correspondant s'écrit
Çyiy-ÉL-^^dx\.
J À^ \ ni dx J
De même, à l'intégrale
S-r;i/ = const.
correspond l'invariant
à l'intégrale
{dyn-^ dyit +...-+- cZ/i „) ;
^i{xur^^.i—yu\%l — 3C^j-t\xi-^ yii\\i) — const. correspond l'invariant
Mais tous ces invariants ne présentent pas grand intérêt puisqu'on peut les déduire immédiatement des intégrales des forces vives,
du centre de gravité et des aires.
46 CHAPITRE XXIIl.
Il n'en est pas de même du suivant qui existe lorsque la fonction V est homogène par rapport aux x.
Nous avons vu, au n° 56, que si V est homogène de degré — i , les équations aux variations admettent pour intégrale
^{-^xu-m+ykiXui) = 3^ [2 {^-^ - ^^ ^«)] + const., ou, en supprimant les indices,
Plus généralement, si V est homogène d'ordre p, on obtiendrai l, par le même procédé, l'intégrale suivante
d'où l'invariant in tés rai
J = / I.{ixdj —pjdx) + {p — i)t j 2
y cfy d\
invariant qui est d'une nature toute particulière puisqu'il dépend du temps.
La seconde intégrale peut s'écrire
c'est donc nne intégrale de différentielle exacte; et il est aisé de voir que
lin
n'est autre chose que la constante des forces vives que j'appellerai C.
L'invariant J est du premier ordre; c'est donc une intégrale prise le long d'un arc de courbe quelconque. Soient donc Co et C( les valeurs de la constante des forces vives aux deux extrémités de cet arc.
Cet arc n'est autre chose que la figure que nous appelions F,, dans le Chapitre précédent; quand cette figure se déforme pour
FORMATION DES INVARIANTS. 47
devenir F, comme je l'ai expliqué au Chapitre précédent, Cq et C| ne variei'ont pas.
Il résulte de cela que nous aurons
L'intégrale
/ "^{ix dy — py dx )
n'est donc pas constante quand la figure F (qui se réduit ici à un arc de courbe) se déforme; mais ses variations sont proportionnelles au temps.
L'intégrale est constante, si les deux extrémités de l'arc correspondent à une même valeur de la constante des forces vives.
Elle l'est encore, en particulier, si l'arc de courbe est fermé . Cette intégrale est donc ce que j'ai appelé, dans le Chapitre précédent, un invariant relatif.
Mais, si l'on suppose l'arc de courbe fermé, on peut ajouter
sous le signe / une différentielle exacte quelconque sans changer la valeur de l'intégrale; ajouter, par exemple,
S(a7 c// +JK dx)^
avec un coefficient constant quelconque.
Ainsi les intégrales
sont aussi des invariants relatifs.
Nous avons vu, au n° 238, que d'un invariant relatif du premier ordre on peut toujours déduire un invariant absolu du second ordre. L'invariant du second ordre que l'on obtient ainsi n'est autre chose que
Ji = I I. dx dy,
que nous avons étudié plus haut.
Il est un cas où l'expression
