I.^ dri = ^ d-ï] -^ ^'dri
Si enfin, nous prenons les variables des n°^ 131 et 137
nous verrons de même que
AsAt/X H- 2A'«;X'-f- S(T,-^cr, — a,o?Ti)]-(- 6^(Ci— Go) sera un invariant de la quatrième sorte.
Remarque sur l'invariant du n° 256.
264. Au n° 25t), nous avons envisagé le cas où les x désignent les coordonnées de n points de l'espace et où les équations de la
FORMATION DES INVARIANTS. 67
Dynamique prennent la forme
(Px dV
dt^ dx'
V étant homogène de degré/? par rapport aux x. Nous avons vu que dans ce cas
J= 1 'L{ix dy -\- py dx)-\-{p — 2)^(Ci — Cq)
est un invariant de la quatrième sorte.
Deux cas particuliers méritent quelque attention. Supposons
p = 1, il vient alors
J = 2 I I.{x dy — y dx)
et J est un invariant de la première sorte.
C'est ce qui arrive en particulier quand on suppose plusieurs points matériels s'attirant en raison directe de la distance. La vérification est alors fort aisée.
On a, en effet, dans ce cas,
X = A ces X ^ -H B sin f et
y ^= — mXA. ëin\t -h m\B cosÀ t,
X étant une constante absolue pendant que A et h sont des constantes d'intégration qui sont d'ailleurs différentes pour les différents couples de variables conjuguées. Tl vient alors
dx = ces À t dk -I- sinX t dB,
dy = — m X sin X t dA -1- /?i X ces X t dB,
d'où
X dy — y dx = m X (A dB — B dA ) ,
ce qui montre que
J ===2X fl.m(AdB — BdA)
est bien un invariant puisque le temps en a disparu et que les
constantes d'intégration et leurs différentielles j figurent seules.
Soit maintenant/) = — 2; c'est un cas qui est réalisé en parti-
culier quand plusieurs points matériels s'attirent en raison inverse du cube des distances.
L'invariant J devient alors
Mais la quantité sous le signe / est la différentielle exacte de
l'expression
de sorte que si l'on désigne par So et S) les valeurs de S correspondant aux deux extrémités de l'arc d'intégration, il viendra
J =(2Si — 4GiO + (aSo— 4CoO-
Si nous supposons en particulier que l'une des extrémités de l'arc d'intégration corresponde à une situation particulière du système où les n points matériels sont en repos et à une très grande distance les uns des autres; les forces mutuelles seront très petites de sorte que les vitesses de ces points matériels resteront très longtemps très petites et les distances très grandes. Il en résulte que Co sera nul, ainsi que Sq, aussi bien pour toutes les valeurs de t que pour /=: o et il restera
J = 2Si — 4Gi^.
On aura donc
B étant une nouvelle constante, et G celle des forces vives ; ou bien
Zxy = iGt-^B,
ou
dt
ou, en intégrant^
A étant une troisième constante.
C'est le résultat obtenu par Jacobi au début de ses Vorlesiingen ilber Dynamik.
FORMATION DES INVARIANTS. 69
Cas du problème réduit.
265. On peut reprendre la question que nous avons traitée au n° 260, en prenant des problèmes se rattachant au problème des trois corps, mais un peu simplifiés.
J'envisagerai d'abord ce que j'appellerai le problème restreint, c'est-à-dire le problème du n° 9 où deux masses décrivent des circonférences concentriques pendant que la troisième masse infiniment petite se meut dans le plan de ces deux, circonférences.
Le nombre des degrés de liberté est alors deux; il y a un couple de la forme (5 his\ (5 ^e/'), une équation (lo his') et une équation (lo ter) {cf. n°259).
Nous pourrons donc avoir au plus un invariant de la première sorte, déjà connu, deux invariants de la deuxième sorte, dont un connu, deux invariants de la troisième sorte, dont un connu, un invariant de la quatrième sorte, déjà connu.
Nous pourrons également considérer le problème plan, c'està-dire le problème des trois corps se mouvant dans un même plan.
Enfin, nous pouvons supposer que l'on ait réduit le nombre des degrés de liberté par le procédé du n° 16; soit dans le cas du problème général; on arrivera alors à ce que j'appellerai le problème général réduit; soit dans le cas du problème plan; on arrivera alors à ce que j'appellerai le problème />/«« réduit.
La discussion à laquelle on serait conduit dans ces différents cas peut se résumer dans le Tableau suivant :
Nombre des degrés de liberté.
Nombre des couples (5 bis),
(5 ter)
Nombre des équations (lo bis).
Nombre des équations (lo ter).
Nombre maximum des invariants possibles :
Première sorte
Deuxième sorte
Troisième sorte
Quatrième sorte
Nombre maximu?n des inva riants nouveaux possibles
Première sorte
Deuxième sorte
Troisième sorte
Quatrième sorte
