GENERAL RÉDUIT

USAGE DES INVARIANTS INTEGRAUX.

Procédés de vérification.

266. Dans le Tome II nous avons exposé différents procédés pour trouver des séries qui satisfont formellement aux équations du problème des trois Corps. Gomme ces séries peuvent avoir une grande importance pratique et qu'on ne les obtient qu'au prix de calculs longs et difficiles, tous les moyens que l'on peut trouver de vérifier ces calculs peuvent être précieux; la considération des invariants intégraux nous en fournit un qui n'est pas sans intérêt.

Appelons Xi{i^\j 2, 3, 4^ ^j 6) les coordonnées des deux planètes (qui doivent être rapportées, comme nous l'avons dit au n° 11 et comme nous l'avons toujours fait depuis, la première au Soleil, la seconde au centre de gravité de la première et du Soleil)-, appelons, d'autre part, yt les composantes de leurs quantités de mouvement; ces quantités xi et yt peuvent être développées en séries de la manière suivante :

Rappelons les résultats des Chapitres XIV et XV, et en particulier ceux du n° 155. Dans ces Chapitres, au lieu des douze variables xt et yi que je viens de définir, nous avons employé, pour définir les positions des deux planètes, douze autres variables

A, A', Xi, X'i, (7i, (T2, <!z, 0-4, Ti, T.2, T3, a^.

Nous avons introduit en outre six arguments

Wu w^, w\, w'2, w'^, w\, en posant

vi'i =1 mt -\- -usi ; w'i = n'it -\- vs'i,

et six autres constantes d'intégration

An A' -r-'O -r'" -r'O •r'O

et nous avons vu alors que l'on peut satisfaire aux équations du mouvement de la manière suivante.

Les quantités

A, A', li—Wi, l[ — w^, <Ji, Il

sont développables suivant les puissances de \k et des x'J' . Chaque terme est périodique par rapport aux w et aux w' et dépend en outre des deux constantes d'intégration Aq et A'^,.

Les constantes ni et rij^ sont développables suivant les puissances de ]x et des x'^ et dépendent en outre de Ao et A|,.

Les Tj3i et les nr'^- sont six constantes d'intégration.

Enfin

KdX + A'dX[ -+- S C7/ dzi

est une différentielle exacte lorsqu'on y remplace les douze variables A, }^, a- et t par leurs développements et que dans ces développements on regarde les w et les w' comme six variables indépendantes et les six quantités Aq, A^, cc'^'* comme des constantes.

Nos quantités Xi etyi que je viens de définir s'expriment aisément à l'aide des douze variables A, "k, a- et t.

On conclura que xi et yi peuvent être développés en séries procédant suivant les puissances de pi. et des x^-" ainsi que suivant les cosinus et les sinus des multiples des w et des w'; chaque coefficient dépendant en outre de A et A[,.

De plus l'expression

2 Xi dyi

sera une différentielle exacte si l'on regarde les ^v et les pp' comme six variables indépendantes et Aq, Aj,, x^ comme des constantes.

Les séries ainsi obtenues, il est à j)eine besoin de le rappeler, ne sont pas convergentes; elles n'ont de valeur qu'au point de vue du calcul formel, ce qui leur donne cependant une certaine utilité pratique, comme je l'ai expliqué au Chapitre VIIL

Néanmoins si l'on substitue ces développements aux Xi et aux yi dans l'expression d'un invariant intégral, le résultat de cette substitution devra encore, au moins au point de vue formel, satisfaire aux conditions auxquelles doit satisfaire un invariant intégral, et c'est ce qui va me fournir le procédé de vérification sur lequel je désire attirer l'attention.

USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX. ^3