Nous avons vu plus haut que

(i) I '^{'ix dy -\- y dx) — 3f(ci — Cq)

esl vm invariant intégral.

Nous allons, pour nous servir de cet invariant, faire un changement de variables analogue à celui du n° 237.

Posons, pour plus de symétrie dans les notations,

w'i=^Wi+^ (t = I, 2, 3, 4), n'i=z ni+^, V5'i = -n5i+^^,

Nous avons vu que l'on pouvait développer les x et les y en séries dépendant des w^ des w' , de Aq, A'^, et des x'^ ; c'est-à-dire, avec nos nouvelles notations, des Wi et des \i{i = i , 2, 3, 4> 5, 6).

Nous pouvons alors prendre pour variables nouvelles les ^i et les Wi et alors les équations différentielles du mouvement prendront la forme

, ^ d^i dwi

( 1 ) — ^ = = dt

o ni

[de même qu'au n° 237 les équations (i) devenaient, après le changement de variables,

ainsi que nous l'avons vu].

Les rii sont fonctions des \i seulement.

Mais il vaut mieux encore prendre d'autres variables ; en effet, les six rii étant fonctions des six \i seulement, rien n'empêche, au lieu des \i et des pp,, de prendre comme variables les ni et les wi^ de sorte que les équations différentielles deviennent

dui dwi (3) — '- = -=.dt.

o ïli

Un invariant intégral du premier ordre prendra la forme J = j(I.kid7ii-\-'LBidwi), les A et les B étant des fonctions des ni et des wi.

Je pourrai supposer que la figure F est un arc de courbe dont les équations, variables avec le temps, sont de la forme suivante

ni=fi{cc, i): wi=f'i{a., t),

les variables ni et Wi étant exprimées en fonctions du temps t et d'un paramètre a qui varie de ao à a, quand on parcourt l'arc F tout entier. L'équation de l'arc Fq sera alors

ni = fii<x, o); wi = f'i{a, o).

Ces conventions faites, je puis écrire

d'où

d5 r j '^ f dAi drii dBi dw£ d^ni d'^wA

dt J ^A \ dt da. dt da. '' dt da ' dt d% j

Or, on a

dkj ^ dkj

dt dwk

dt dw/c

d^ rii d'^ Wi dm

d'où enfin

dt da. ' dt doL da.

= j^i ïdrii (l^ktik -^ + B; ) + dwil^knk -^ I

di r^ r , /^ dki

-dt =J ^'- H' \^'"-' d^, ^ -/ ' "-'— - d^k\

Si J est un invariant intégral absolu, on devra donc avoir

rJ k ■

Examinons maintenant ce qui arrive dans le cas où les A et les B sont des fonctions périodiques des w et peuvent, par conséquent, être développés en séries trigonométriques.

Considérons d'abord l'équation (4) et soient

les b et les b' dépendant des nt.

USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX. 76

L'équation (4) devient

2 ( mi «1 -I- . . . 4- Wg «6 ) [— 6 sin ( /?ii (Vi M- . . . + m^ w^ )

+ è'cos(mi Wi^ . . .-\- metPe)] = o,

ce qui ne peut avoir lieu que si

(6) mi«i-4-. . .-+- meWe = o,

ou si

Or, les 7Ji sont des entiers constants, les n sont nos variables indépendantes entre lesquelles il ne peut y avoir aucune relation linéaire; l'équation (6) entraîne donc

Cela signifie que le développement trigonométrique de Bi se réduit à son terme tout connu; c'est-à-dire que B, est une fonction des rii seulement, indépendante des w.

Passons maintenant à l'équation (5); soit

A; = 2 (a cosco -f- a'sinto),

en écrivant, pour abréger, w au lieu de

TTZi Wi -h. . . -+- nie iVs-

L'équation (5) s'écrit alors

S ( /Wi Wj + . . . -H m^n^) ( — a sin ca -f- a' cos œ ) = — B;.

Considérons d'abord un terme dépendant des w, c'est-à-dire tel que //Z), mo, . . . , /ne se s'annulent pas à la fois. On aura

wii 7^l -1- • . . -T- meng^o.

Dans le second membre B^ ne dépend pas des w; ce second

membre ne contient donc ni terme en cosco, ni terme en sinio.

Il résulte de là que

Donc A/ ne dépend pas des w et se réduit au terme tout connu de son développement trigonométrique, terme qui dépend seulement des rii.

Mais alors l'équation (5) se réduit à

En général, tout invariant intégral absolu linéaire et du premier ordre, où l'expression sous le signe / est algébrique par

rapport aux x et aux y et, par conséquent, périodique par rapport aux MP, devra être de la forme

les A., ne dépendant que des ni', c'est, en effet, ce qui arrive pour les invariants absolus que nous connaissons et qui s'obtiennent d'ailleurs en différentiant les intégrales des aires, celles des forces vives ou du mouvement du centre de gravité. Mais l'invariant relatif

J = / "Li^ix dy -{-y dx)

mérite plus d'attention. Nous avons vu que

J -3^(Ci— Go)

(où Co et C, sont les valeurs de la constante des forces vives aux deux extrémités de l'arc Fo) est un invariant intégral. On aura donc

(7) §=3(Ci-Co)=3y^G.

Si nous posons encore

J = / I.{kidni-\-Bidwi), l'équation (y) deviendra

car la constante des forces vives G est fonction des ni seulement. Les équations (4) et (5) devront donc être remplacées par les

USAGE DES INVARIANTS INTEGRAUX. 77

suivantes

(4 ois) Z^kfl/c 2 =0,

(5 6^5) ^kn/c -j — = 3 -j B/.

aw^ drii

Les A et les B doivent être des fonctions périodiques des w. Si nous traitons les équations (4 his^ et (5 his) comme nous avons traité les équations (4) et (5), nous reconnaîtrons : 1° Que les B^ sont indépendants des w\ 2° Que les Aj sont indépendants des w ; 3° Que

On trouve donc, en définitive,

^{^ix dy -+-y dx) = 2 A;c?«j+ 3 \ — — dwi,

dm

les Ai dépendant des ni seulement.

En d'autres termes, les expressions

ou

ne dépendent pas des w et sont fonctions seulement, soit des i, soit des 71, suivant qu'on exprime tout en fonction des \ et des (v, ou en fonction des n et des w.

De même, on aura

, , ^ / dvi dxi \ ^ <r/G

Les Xi^ les y, et C sont, comme je l'ai dit, développés suivant les puissances de p. et des x^ . Les expressions (8) et les deux membres des égalités (9) sont donc aussi développables suivant les puissances de ces quantités.

Tous les termes des développements des expressions (8), sui-

vant les puissances de [x et des a'^", devront donc être indépendants des w.

D'antre part, chaque terme de développement du premier membre de (9) devra être égal au terme correspondant du second membre.

Nous avons ainsi un très grand nombre de procédés de vérification pour nos calculs.