J'ai dit que

2 Xi dji

est une différentielle exacte si l'on regarde les \i comme des constantes, et les w comme des variables indépendantes. Nous trouvons, en effet, alors

^{^'ix dy -\-y dx ) = 3 / 2 — — dwt,

ou comme les -r- ne dépendent que des \ et doivent être, par conséquent, regardés comme des constantes

J :L{2xdy-hydx)=3^-^^ wt, d'où

J ^xdy-^J ^(xdy+ydx) = 3^-^^ w^,

d'où enfin

l.xy.

Revenons pour un instant aux notations du n° 162. Dans ce numéro, comme dans le n° 152, nous avons pris comme variables

(II) i^' ^; ''■'

nous avons posé

dS =(A — Aoo)dli-h (A'— A'^f^)dl\ -i- S a,- d-i— rf((79 1 x,-).

D'un autre côté les variables (i i), de même que les variables jc,-, j-/, sont des variables conjuguées. El en résulte, ainsi que j'ai eu plusieurs fois l'occasion de l'expliquer, que l'expression

2 Xi dyi - Adli — A' dl \ — 2 Ci dii = <iU

USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX. 79

est une différentielle exacte. J'ajouterai qu'on formera facilement la fonction U qui peut, par conséquent, être regardée comme une fonction connue des xt et des j/"j.

On a alors

(12) S = S^^. wi—'Zxy— U — Aoo)^i— A^^ X; — a»! t,-.

Gomme dans l'application du procédé du Chapitre XV on est conduit à former la fonction S, l'équation (12) nous fournil, sous une forme nouvelle, la vérification cherchée.

Rapport avec un théorème de Jacobi.

269. On sait que Jacobi a démontré au début de ses Vorlesungen ûber Dynainik que, dans le cas de l'attraction newtonienne, la valeur moyenne de l'énergie cinétique est égale, à un facteur constant près, à la valeur moyenne de l'énergie potentielle, en admettant, bien entendu, que les coordonnées puissent être exprimées par des séries trigonométriques de même forme que celles que nous étudions ici.

Ce théorème de Jacobi se rattache directement à ce qui précède. Les équations du mouvement peuvent s'écrire

d'où

yzL

dxi dyi dN

lit ~-^" ~dt ~ 'dxi'

Alors — V représente l'énergie potentielle, C l'énergie totale, et

y yl

l'énergie cinétique.

D'autre part, V étant homogène de degré — i , on aura

V = y^;r,= E^,^, JmA dXi ' ' dt

y r ' ^ I V . dxj ^d 2 nii 1 "^ ' dt

8o CHAPITRE XXIV.

L'équation des forces vives peut donc s'écrire

I „ dxi dji

-1 -^^ dt dt

Reprenons, d'autre part, les équations (9) du n° 217 et ajoutons-les, après les avoir respectivement multipliées par iij^^ il

viendra

/ dvî „ dxi \ ^ ^ dOi

Si l'on observe que

dx dx ' dwk dt

(puisque —^ = nA^ on conclura que

„ / dv/ dxi \ „ ^ dÇj.

En comparant avec l'équation des forces vives, on trouve

y -^ = - G drik 3

ce qui montre que G doit être homogène de degré ^ par rapport

aux «A? ce qui pourrait se voir d'ailleurs directement. Maintenant, la valeur moyenne d'une fonction U, que je représenterai parla notation [U], sera nulle si U est la dérivée d'une fonction périodique ; on aura donc

et, en rapprochant de l'équation des forces vives, on tire

où

•La

dyf

' dt "

yi\

irtii

VJ

est le

théorème

de

Jacobi.

USAGES DES INVARIANTS INTEGRAUX. 8l

En considérant les dérivées partielles -7— au lieu des dérivées totales -1- on arriverait à des résultats analogues. On trouverait

df! dx[

et par conséquent

' \ ' dwj; dw]^ ' '

L ' ' dwk] dn/^-

Application au problème des deux corps.

270. Les considérations précédentes s'appliquent en particulier au problème des deux corps. Considérons une planète et le Soleil et rapportons la planète à des axes de direction fixe passant par le Soleil; envisageons par conséquent le mouvement relatif de la planète, par rapport au Soleil.

Soient .r,, Xo, x^ les trois coordonnées de la planète; jki, >'2> y^ les trois composantes de la quantité de mouvement.

Soient ^, 7], "C, les trois coordonnées de la planète, rapportées à des axes particuliers, à savoir : le grand axe de l'orbite, une parallèle au petit axe et une perpendiculaire au plan de l'orbite,

on aura

Xi = hi^-h h\ 7) -I- h'[ t,

X2 = h-i'c, -^ h'^-r\ -{- hl Ç,

les h étant des constantes liées par les relations bien connues qui expriment que la transformation des coordonnées est orthogonale. On aura de même

j d^ df] , d'à:,

a étant la masse de la planète.

Maintenant il est clair que X^ est nul et que ^ et ■f\ sont des fonctions d'un seul argument w^ qui est l'anomalie movenne, et de deux constantes, qui sont le grand axe a et l'excentricité e.

D'autre part les h sont des fonctions des trois angles d'Euler, H. P. — III. 6

OU, plus généralement, de trois fonctions quelconques co,, Wo, CO3 de ces trois angles.

Ainsi les x et lesjK sont fonctions de w, de a, de e et des to.

On aura alors, en appelant C la constante des forces vives et n le raojen mouvement.

dn

et, d'autre part, les expressions

da

„ dji de

dy.

dxi div

dxi ^'~d^ d.Tj \

dxi dix>k

dC dn

doivent être indépendantes de iv.

Quelques-uns de ces énoncés étaient évidents d'avance et ne nous fournissent pas de vérification nouvelle.

En effet, les ^— ^ sont des fonctions linéaires des x,- dont les ' d(xti- '

coefficients dépendent des w et qui sont telles que

II en résulte que nous pouvons écrire l'identité suivante

dx\

dx=<

dtii/c diji/i

dx^

ai a? a3 X\ x^ x^

les a étant des constantes quelconques et les o^^ des fonctions données des w; on aura de même

dV] dy^ dy^

ato/,. awx,. acu/f

ri ^2 r

en résulte que l'on a

-^ / dyi dxi \

Ti yt y s

i\ V2 ii

USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX. 83

Celte expression doit se réduire à une constante indépendante de w et, comme nous avons troisj^elations analogues que l'on obtient en faisant A- = i , y, 3, nous pouvons écrire

y 3 ^2 /2 3^3 = COnSt ,

yi^z—.V^^i = const.

j^Xi — Xi^2 = const.

Mais ce n'est pas là un résultat nouveau; ce sont les équations des ailles.

Examinons maintenant l'expression

dn dxi

da

Voyons comment les x et les y dépendent de a. Les x contiennent a en facteur et les y contiennent an, car on a

•^' ' dt ^ dw

On a donc

dxi Xi dyi rv j7 dn da a ' da a n da

Notre expression devient donc

ly^ ^ -t-

2 dn

a n da

Il est aisé de vérifier qu'elle est nulle; on a en effet, d'après la

troisième loi de Kepler,

n"- d^ = const.,

d'où

2 dn 3 da n a

ISous n'obtenons pas encore ainsi un procédé nouveau de vérification.

Il reste à examiner les deux expressions

Nous n'avons plus à faire varier que e et (v; nous n'aurons donc

plus à faire varier les to, c'est-à-dire la direction du grand axe de l'orbite. Nous pouvons donc choisir des axes particuliers et faire

Les fonctions J sont les fonctions de Bessel; sous le signe 2 l'indice/? prend toutes les valeurs entières depuis —00 jusqu'à + od, à l'exception de la valeur o.

Nous déduirons de là

jKi = — [j.a«,S Jp i(/?e) sin/)w

jK2= \J-an\/\ — e^-I.i i,^i{pe)cospw.

L'expression W devient alors, en supprimant le facteur commun u.«-n,

SeSJp-i/jcos/jcp — 2EJp i ^ ^J/;-i/?cos/>(P-f-[Ej^,isin/)(ï^]2

/ ON V, T sinofp ,

— 2(1 — e^)SJp i — - — ^i p-xp Sinpw +(\ ~ e^')['Zi p i cos/)(p]2 = ^^■'.

J'ai écrit partout, pour abréger un peu, ip^ au lieu de i p^ (pe). On doit avoir

Oi

an

m désignant la masse du Soleil plus celle de la planète; on a donc

et

Mais, comme il viendra

2 2 C ^ — — 7fi^n}