j- = — ii.m^n 3= — na^n
W = ixa^nW, W = — 1 .
USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX. 85
En identifiant les termes semblables on a une série de relations entre les fonctions de Bessel J.
L'élude de l'expression E nous conduirait à une série de relations analogues où entreraient cette fois les fonctions de BesselJ et leurs dérivées premières.
271. On pourrait multiplier ces applications particulières; on pourrait par exemple, après avoir traité comme nous venons de le faire dans le numéro précédent le cas du mouvement képlérien, c'est-à-dire après avoir tenu compte des termes du degré o par rapport aux masses troublantes, appliquer les mêmes principes à l'ensemble des termes du degré i . On serait sans nul doute conduit à des relations intéressantes.
On pourrait également étudier, par le même procédé, les équations des variations séculaires que nous avons traitées au Chapitre X. On aurait alors avantage, au lieu de l'invariant intégral
S ( 2 ^r; clfi + yt dxi),
à se servir des invariants analogues que nous avons définis aux a°^ 261, 262, 263.
Nous laisserons toutes ces questions de côté.
Application aux solutions asymptotiques.
272. Appliquons encore ces principes aux solutions asymptotiques. Prenons pour variables les coordonnées Xi et les
dxi Considérons l'invariant
J = / 'L{'i.x dy -\- y dx) ;
nous savons que si C est la constante des forces vives, et si C| et Co sont les valeurs de cette constante aux deux extrémités de la ligne d'intégration, on aura
<i) J — 3^(Ci— Go) = const.
Si nous envisageons un système de solutions asymptotiques, il
se présentera sous la forme suivante : les xi et lesjK/ seront développés suivant les puissances de
Aie^'if, A2e'A<, .... A/,.e^(.'^, les coefficients étant périodiques en t -\- ]i^ où
Al, As, . . ., A/,., h
sont k + I constantes arbitraires.
Si l'on substitue ces valeurs des xi et des yi dans Féquatioi» des forces vives, le premier membre se trouve aussi développesuivant les puissances de
AieK.^ A2«=«, . .., A/,e'^i.^,
les coefficients étant périodiques en t -\- h; et, comme il doit être indépendant de t, il en résulte qu'il le sera également de A,, Ao, . . . , A/i- et h.
Si donc on substitue les valeurs des xi et des y/ dans l'équation (i), on voit qu'on aura
Cl = Gfl,
et par conséquent
J = const.
Dans J l'expression sous le signe / se trouve développée suivant les puissances de
Aje^'.^, A^e'^'", ..., A/,e'J-kt;
les coefficients sont périodiques en t + li; elle dépend linéairement des A" -f- 1 différentielles
c?Ai, clKi, ..., f/A/i-, dh.
On devra donc avoir
Les premiers membres des équations (2) se trouvent développés suivant les puissances des A/e"»^; tous les termes de ce développement doivent être nuls, sauf le terme tout connu. On
USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX. 87
obtient ainsi une foule de relations entre les coefficients du développement des Xi suivant les puissances des A^e^i^.
Je me bornerai, à titre d'exemple, à envisager le premier terme et j'écrirai
X/ et Z/ étant périodiques en ^ + h.
On en déduit
X^- et Z^- désignent les dérivées de Xj et Z^-.
On a alors, en négligeant toujours les termes en e-^'^, etc.,
" (^^ ^ ^'"-y Ik) = S''^e=''[2X(Z'+ aZ)+ X'Z].
On a donc
i:m(2XZ'+ 2aXZ ^ X'Z) = o,
ce qui nous donne une première relation entre les coefficients X et Z/.
La relation
^ / dy dx\
nous en fournirait une autre, mais qui, en réalité, ne serait pas distincte de la première, puisqu'en la combinant avec cette première relation on trouverait une équation qui est une conséquence immédiate du principe des forces vives.
88 CIIAPITRK XXV.
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Retour sur la méthode de Bohlin.
273. Je suis obligé, avant d'aller plus loin, de compléter quelques-uns des résultats des Chapitres Vil, XIX et XX. Je veux d'abord résumer les résultats que je veux comparer et qui vont me servir de point de départ.
Au Chapitre VII nous avons vu que si un système
(0 -j^ =Xi (i = I, 2, . .., /i)
admet une solution périodique et si l'on pose
Xi = x'i + ^i,
les ^i seront développables suivant les puissances croissantes de
(3) Aie«.f, A2e«=^ ..-, A^e^n^,
les coefficients étant des fonctions périodiques de t; les Ai sont des constantes d'intégration, les a^ sont les exposants caractéristiques de la solution périodique (2).
Les séries satisfont toujours foi^mellement aux équations (i); elles sont convergentes à certaines conditions que nous avons énoncées au n° 105.
11 y a exception dans le cas où nous pouvons avoir entre les exposants a, une relation de la forme
(4) ^ ^—i-\~I.a^ — !Xi = o
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS Y JU PTOT IQU ES- 89
les coefficients ^ étant entiers, positifs ou nuls, le coefficient y entier positif ou négatif. (C/. t. I, p. 338, ligne 5; en écrivant celte relation, j'ai supposé que l'unité de temps était choisie de telle sorte que la période de la solution (2) soit égale à 21:.]
S'il j a une relation de la forme (4), les ^ ne seront plus développables suivant les puissances des quantités (3), mais suivant les puissances de ces quantités (3) et de t.
C'est précisément ce qui arrive si les équations (i) ont la forme canonique des équations de la Djnamique. Dans ce cas, en effet, deux des exposants sont nuls et les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire.
Dans le cas des équations de la Dynamique [ou plus généralement quand il y a une relation de la forme (4)]> nous avons pu encore obtenir un résultat; il suffit de donner aux constantes d'intégration A des valeurs particulières de façon à annuler celles de ces constantes qui correspondent à un exposant nul, et l'une des deux qui correspondent à, chaque couple d'exposants égaux et de signe contraire. [Plus généralement on annulerait la constante A correspondant à l'un des exposants qui figurent dans la relation de la forme (4); de telle façon qu'entre les exposants correspondant aux constantes A qui ne sont pas nulles, il n'y ait plus de relation de cette forme.]
Par exemple si
«1=32 = 0, a3=— a4, «5 = — ag, ..., a„i = — a„ (npair),
on fera
Ai=A2 = o, A3 = 0, A5 = o, ..., A„-i = o.
Les \ seront alors encore développables suivant les puissances de celles des quantités (3) qui ne sont pas nulles; seulement on n'aura plus ainsi la solution générale des équations (i), mais une solution particulière dépendant d'un nombre de constantes arbitraires inférieur à n (k savoir — ; — dans le cas général des équations de la Dynamique).
C'est ainsi que nous sommes arrivés aux solutions asymptotiques : nous y sommes parvenu en annulant un certain nombre de constantes A, non seulement celles que nous avons égalées à zéro pour la raison que je viens de dire, mais celles que nous avons dû
annuler pour satisfaire aux conditions de convergence du n° 105.
Je ne m'occupe pas pour le moment du développement des ^ suivant les puissances de ^ ou dey/u.
Au Chapitre XIX j'ai étudié la méthode de M. Bohlin, qui n'est au fond qu'une application de la méthode de Jacobi, puisque le problème est ramené à la recherche d'une fonction S satisfaisant à une équation aux dérivées partielles. Seulement cette fonction S est mise sous une forme qui est particulièrement appropriée au cas oiî il y a approximativement entre les moyens mouvements une relation linéaire à coefficients entiers. Les cas qui doivent nous intéresser le plus sont ceux qui sont voisins de celui que j'ai appelé le cas limite (n° 207). Nous avons vu dans ce numéro que la fonction S est développable suivant les puissances de y'jj., sous la forme
S = So -t- /[J. S 1 + jj, S9 -j- . . .
et que
djk est périodique de période ait par rapport à
(en reprenant les notations du numéro cité).
Mais les résultats peuvent être simplifiés par le changement de variables exposé aux n°^ 209 et 210.
Au n° 206 j'ai défini n + i fonctions
périodiques par rapport aux variables
et que j'ai regardées comme des généralisations des solutions périodiques.
Nous avons posé ensuite au n" 210
Avec les nouvelles variables x-^^ y\ les équations conservent la
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YM PTOT I QTJ E S. QI
forme canonique; seulement les nouvelles équations admettront les relations invariantes suivantes
x\ = x'i = jk'i = o,
qui pourront par rapport aux nouvelles équations canoniques être regardées comme des généralisations des solutions périodiques au même titre que
OCl=T,, y\=^, Xi=li,
pour les anciennes.
Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer que nos équations canoniques admettent comme relations invariantes
3^1 = a"/ = jKi = o.
S'il en est ainsi, nous avons vu au n" 210 que Ji = o est un zéro simple pour les dérivées -y-^ et un zéro double pour les dérivées ——■ (i^ i).
dyt ^ '
Ainsi S, ou plutôt S — Sq peut se développer suivant les puissances de y^ et le développement commencera par un terme du deuxième degré ; nous aurons
(5) s = So + s,jf + 2:3rf + 2,jKÎ-i-...
les S étant des séries dépendant dejKs^JKsi • • • ? J'« et développées suivant les puissances de y/ p.; on voit en outre que les S sont des fonctions périodiques de ^^2, y-i-, - - ■ -, Yn-
Cela malheureusement ne nous suffit pas pour notre objet.
La fonction S définie par l'équation (5) ne dépend, en effet, que de /i — i constantes arbitraires
tandis qu'il en faudrait n pour la solution complète du problème. Pour une étude plus approfondie, nous aurons recours au changement de variables du n° 206. Si nous adoptons les notations de ce numéro, c'est-à-dire si nous posons
Z\= - \ -, , y Zi = jKi —
ri d^ A dx'i
si nous définissons comme dans le numéro cité les variables x\^
ll^, t^<, les fonctions T et V; les dérivées de V par rapport à v^ et aux Zi seront des fonctions périodiques des zi {Cf. t. II, p. 36i).
Examinons plus particulièrement les équations qui sont au début de la page 363 (t. II) et qui s'écrivent
puis, regardantjKojJKsî • • • lyn comme des constantes, envisageons, toujours comme dans le numéro cité, les équations
Quand nous ferons varier p, , le point (^, , j^i) décrira une courbe que je veux étudier. Supposons que, ne faisant pas varier les constantes x'.-,., ^3, . . ., a;^, nous fassions au contraire varier x\, nous obtiendrons vine infinité de courbes correspondant aux diverses valeurs de x\.
Nous avons supposé plus haut qu'on avait les relations invariantes
Xi = a?/ = jKi = o
qui sont comme une généralisation des solutions périodiques, A ces relations correspondra le point
c'est-à-dire l'origine des coordonnées. C'est dans le voisinage de ce point que je voudrais étudier nos courbes.
Donnons à x\ la valeur qui correspond à la fonction S particulière définie par l'équation (5), nous aurons
Xi = 2S,jki-+-3S3Jk!h-.. ..
La courbe correspondante passe donc par l'origine; on obtiendrait une seconde courbe passant par l'origine en changeant \J\k en — y/ p..
Nous avons donc deux courbes se croisant à l'origine; les centres courbes pourront passer près de l'origine, mais sans l'atteindre et sans se couper mutuellement; de telle façon cjue l'ensemble de nos courbes rappellera, par sa forme générale dans
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YM PT OTI QU KS. gS
le voisinage immédiat de l'origine, la figure formée par une série d'hyperboles ayant mêmes asymptotes et parleurs asymptotes.
274. Pour mieux étudier ces courbes et les fonctions S correspondantes restreignons-nous d'abord au cas où il n'y a que deux degrés de liberté.
Supposons qu'on ait fait le changement de variables du n° 208
de telle façon que
^1= 3-2 =jri = o
soit une solution périodique, cela revient à dire que pour
cci = .r, =7i = o
on a
dF clF dF
dyi dy2 d^i
Développons F suivant les puissances croissantes de Xi, x-j,
etyi. Le terme de degré o ne dépendrait que de y^ et comme on
devrait avoir
il se réduirait à une constante. Comme F n'est définie qu'à une constante près, nous pouvons supposer que ce terme de degré zéro est nul.
Cherchons les termes du premier degré; comme
dF dF
dx] dyi
il n'y aura d'autres termes du premier degré qu'un terme en x-^. Posons maintenant
Xx^tx\, jKi=£7'i, x^=^z^x'^, y.,=y',.
On voit que F est divisible par e^ et que, si l'on pose
les équations conservent la forme canonique et deviennent
, , dx'i dF' dy'i dF'
dt dy'i dt dx'i
D'ailleurs F' sera développable suivant les puissances de s sous
la forme
F'— F' — sF' -L-^2F' j
F' sera développable d'autre part suivant les puissances de^', , x[^, y\ les coefficients étant des fonctions périodiques àe y'.,. On aura
enfin
F; = Ha^; + Xx'^~ -\- iBx\y\ + G/i^
H, A, B et G étant des fonctions périodiques àey'.,.
Nous allons appliquer à nos équations une méthode analogue à celle de Bohlin, où le pai-amètre £ jouera le même rôle que jouait dans le Chapitre XIX le paramètre [x.
Supprimons nos accents devenus inutiles et écrivons xi, j'j, F. F/ au lieu de x'^, y\^ F', F'^-.
Je dis d'abord que je puis toujours supposer
Si en effet il n'en était pas ainsi je prendrais pour vainables nouvelles
xl= Ha;,, •?'2= / -ff
La forme canonique des équations n'en serait pas altérée puisque
^2 dyt, •2^2 df^ = O
est une différentielle exacte.
De plus yl s'augmente d'une constante quand yo augmente de au; je puis toujours choisir l'unité de temps de telle façon que cette constante soit égale k itz. Alors toute fonction périodique de période au de j^o sera une fonction période 2- dey*. La forme de la fonction F ne sera donc pas changée; seulement le premier terme H^o se réduira à xl.
Supposons donc H = i .
Je dis maintenant qu'on peut supposer
A = G = o, B = const.
Formons en effet nos équations canoniques (i) en supposant e = o,
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A S Y M PTOT IQ U E S. 9^
il viendra
et une équation en — ^ que je puis remplacer par l'équation des
forces vives
x=i H- Aa7f H- iBxij^i -F CjKi = const.
Les équations
sont des équations linéaires à coefficients périodiques. En vertu du n° 29 elles auront pour solution générale
a7i = qc cp H- Wj J; j'j = (p ©i + (Vj ip] ,
où o, (L, çp,, di, sont des fonctions périodiques dej'o; a et ^ des constantes d'intégration; a et h des constantes.
11 est aisé de voir que b =^ — « et que cp-i, — '|cci est une constante que je puis supposer égale à i.
Cela posé, faisons un nouveau changeinentde variables en faisant
372 = x'^ -^ H x'.^- + 2 }^x\y\ -f- LjV' ; J2 = J-, ,
H, K, L étant des fonctions de j'2 choisies de manière que la forme canonique des équations ne soit pas altérée. Il suffit pour cela que
Xi dyx — x'^ dy\ -+- x^ dy^ — x'^ dy\
soit une différentielle exacte.
Or on voit que x^cly ^ — x\dy\ est égal à une différentielle exacte augmentée de
tp', «p,, ... désignent les dérivées de cp, cp,, ... par rapport à j.,-
gS CHAPITRE XXV.
Il suffit donc, pour que la forme canonique des équations ne soit pas altérée, de prendre
On voit que H, K, L sont des fonctions périodiques de jKoj d'oîi il suit que la forme de la fonction F ne sera pas non plus altérée.
Mais, si nous supposons £ = o, nos équations doivent admettre comme solution
d'où
INous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer H = i, A = C=o, B = const. d'où (puisque nous avons supprimé les accents)
Fo = a72 -4- 2Ba7lJKI■ G'eSt ce que nous ferons désormais.
Faisons encore un changement de variables en posant
Comme
Xi dvi — u dv =
est une différentielle exacte, la forme canonique ne sera pas altérée.
Il vient d'ailleurs
La fonction F est alors développable suivant les puissances de
On a d'ailleurs
Fo = ^2 + '^ B u.
Mettons donc F sous la forme
F('a?2, u\ yo, i^)
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASY M P TOT IQUES. 97
et définissons une lonction S par l'équation de Jacobi
C étant une constante. Développons S et C suivant les puissances
de £
S = So + îSi-i- E^s., -i-. . .,
c =: Go + sGi-^ E'^Ca^. ...
Nous aurons pour déterminer Sq, Si, S-j. . . ., par récurrence, les équations suivantes
dy. dv
(2) \ «72 dv
dy2 dv
Je désigne, comme je l'ai déjà fait bien des fois, toute fonction connue par <ï> ; dans la seconde équation (2) je regarde Sq comme connue; dans la troisième je regarde Sq et S^ comme connues et ainsi de suite.
Nous prendrons
Su = aoj2+ i^ot' avec la condition
«o-i- -iBPo = Ca.
Comme Co est arbitraire, les deux constantes Kq et jBq peuvent être choisies arbitrairement. 11 importe toutefois de ne pas prendre |3o = o. Voici pourquoi.
Supposons qu'on ait démontré que
dSn dSi dSp
dv dv ' ' ' " dv
est développable suivant les puissances de
nous pourrons (si [jq n'est pas nul) en conclure qu'il en est de même de
d'à,, dv
g8 CHAPITRE XXV.
puisque la quantité sous le radical se réduit à [Sq pour c = o. Nous ne pourrions plus tirer cette conclusion si j^o était nul : or il importe de pouvoir la tirer, à cause de la présence du radical \^/ u dans F.
Considérons maintenant la seconde équation (2). La fonction $ qui y entre dépend de p et de^^^o et est de la forme suivante
