SA;„.„e'«''+'"r.-i-Aoo
Les coefficients A sont des constantes pouvant dépendre de a,, et po- Les indices m et n peuvent prendre toutes les valeurs entières, positives, négatives ou nulles. J'ai mis en évidence, en le faisant sortir du signe S, le terme où ces deux indices sont nuls.
La seconde équation (2) nous donne alors
S'«--^ A piiii'+ 2. 7 y, i=air, + ai(;+ > -^ ;s^
Lj - ri jLi i/i-i- 2B7n
avec la condition
c(i-i-2B[3i= Âoo -H C,.
Sauf cette condition, les constantes a, , p, et C( sont arbitraires ;
je supposerai donc
ai= j3| = 0.
Je déterminerai So par la troisième équation (2); cette équation étant tout à fait de même forme que la seconde, se traitera de la même manière, et ainsi de suite.
En résumé, les dérivées -, — et -7- sont développables suivant les
puissances de
Si l'on compare cette analyse avec celle du n° 125, on voit qu'il y a entre elles une analogie parfaite. Seulement, au lieu de n'avoir que des exponentielles imaginaires
e-'>i, e^h'i^ . . . , e±'>", nous avons ici des exponentielles réelles
27S. Une fois la fonction S déterminée, nous pouvons, par l'application de la méthode de Jacobi, arriver à des séries analogues à celles du n" 127.
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYIVI PTO T I Q UES. 99
La fonclion S dépend de p, de y^ et des deux constantes ao et ^Q. La constante des forces vives
vj = L/o —1— zLti — l— . . .
est fonction de a^ et de ^o-
On a alors, comme solution de nos équations différentielles canoniques, les équations suivantes
^S dS dS dS
dj2. du dcio «po
dC dC
rii = — ; n-i = jk- 7
duiy ajio
OÙ cTj et Mo sont deux nouvelles constantes d'intégration.
Je vois d'abord que 7ii et /ïo," qui dépendent d'ailleurs de ao et ^oj sont développables suivant les puissances de s.
D'autre part, S est développable suivant les puissances de e, et, si je fais s = o, j'ai comme première approximation
aSo djQ Q
dy^ dv
dSo ^ dSo
acio «po
On a quatre équations d'où l'on peut tirer Xn, u-, y 2 et v développés suivant les puissances de s et dépendant d'ailleurs de a^ [^0, /2| t + m^, Rot + T^-:,-
Par un raisonnement tout pareil à celui du n° 127, on verrait que
sont développables suivant les puissances de
Il en sera de même d'ailleurs de \/u, Xi et jkc Je pourrais même ajouter que toutes ces quantités sont développables suivant les puissances de
t, «0, e=^'(«/+cT,), v/p;e(".<+nTJ^ V^e-('»=^+î^=', et, en effet, S — Sq est développable suivant les puissances de
£, ao, e=^'r., \/foe^, y/p^e-".
Si nous posons un instant
les deux équations
dS dS
«1 f 4- TîTi = -j— j fi^t -h Jn=, = —TT-
doLo f/po
prendront la forme
'1-2 et <l)i étant développaLles selon les puissances de
£, ao, e±'(".ï+cT.', /p^e("2«+cT,'^ /p^e-("»<-^::', [et, en effet, on a par exemple
/B, e" ■= v/po 6'^'+!^^ I -f- — + -^^ H ^ + .
et des formules analogues pour e-^y--, et \/[3„e"''].
Il suffît alors, pour démontrer la proposition énoncée, d'appliquer aux équations (3) le théorème du n° 30.
Comparons maintenant le résultat obtenu avec celui du Ciiapitre YII que j'ai rappelé au début du présent Chapitre.
Nous avons vu dans ce Chapitre Vil que, dans le voisinage de
la solution périodique
Xi = jKi = a"2 = o,
les variables ^,, j',, ^2, j'2 sont développables suivant les puissances de
g*Hn[t+rn,}^ Ae"'.^, X'e-"'J, et t;
A, A' sont des constantes d'intégration; /i\ et Ji'., sont des constantes absolues, dépendant seulement de la période de la solution périodique et de ses exposants caractéristiques.
Nous venons de voir que ces mêmes variables doivent être développables suivant les puissances de
g±/(«,<+CT,). /pue'".'+î^^', v/p^e-<":i'+^^'.
Les deux résultats sont évidemment d'accord ; en effet, nous pouvons d'abord poser
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A S YJI P T OT IQ U E S. ICI
D'autre part, n\ et /?o sont des constantes, mais qui sont développables suivant les puissances de £, y.Q et [3o, et qui se réduisent à n\ et n'.^ pour s = a^ = j3o = o.
Nous pouvons alors écrire, par exemple,
et développer ensuite le second facteur suivant les puissances de e, ao, Po ; ce second facteur se trouvera alors, en outre, développé suivant les puissances de t.
C'est pour cela qvie, dans le Chapitre YII, nous avions vu le temps t et ses puissances sortir des signes exponentiels et Irigonométriques, ce qui pouvait, dans certains cas, produire une difficulté; l'analjse précédente montre que cette difficulté était purement artificielle.
Si je veux maintenant comparer notre résultat avec ceux du Chapitre XIX, j'envisagerai les courbes
Ji
l(t,'l), a7i=Çi((.'i)
dont j'ai rappelé la définition à la fin du n° 273. Pour obtenir les équations de ces courbes, je n'ai qu'à prendre les ex^aressions de ' X\ et jK, et à j donner à ao, [3o, n^t-\-JJ5^ une valeur constante. Alors jKi et X\ sont développables suivant les puissances de
En faisant varier n-^t -|- tho, ou voit bien que les courbes ont la forme que j'ai décrite à la fin du n° 273.
Je rappellerai, en terminant, que tous ces résultats ne sont vrais qu'au point de vue formel; les séries ne sont convergentes ciue dans le cas des solutions asjniptotiques dont on obtient les équations en faisant
Po = 0, ^2 = -1- ^;
ne veux dire en faisant
/PoenT,= A, v/P
poe-
ou bien encore en faisant
je veux dire en faisant
s/Jle^^ = 0, \/%e-^^ == A', A et A' désignant des constantes (înies.
276. Passons au cas où il y a plus de deux degrés de liberté. Les résultats précédents peuvent se généraliser de deux manières différentes.
Il nous suffira, pour l'expliquer, de supposer trois degrés de liberté. Il peut arriver qu'on veuille étudier nos équations dans le voisinage d'un système de relations invariantes
a:ji = 0-2 = 373=71 = 0,
jouant le rôle d'une généralisation des solutions périodiques au sens du n° 209.
Il peut arriver aussi qu'on veuille les étudier dans le voisinage d'une véritable solution périodique
a?i = 372 = ^3 =JKl = J2 =o-
Dans le premier cas, il y a quatre relations invariantes et une relation linéaire entre les moyens mouvements, relation que nous avons,, en employant au besoin le changement de variables du n° 202 mise sous la forme
Wl = o.
Dans le second cas, il y a cinq relations invariantes, et deux
relations linéaires entre les moyens mouvements, que nous avons
mises sous la forme
Nous commencerons par le premier cas et nous poserons
F = £2F'; a7i=E<, JKi = £j'i, Xn=Z^x'ç,, X^^z'^x'^',
les équations restent canoniques et F' devient développable suivant les puissances de e, sous la forme
On a d'ailleurs
INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYM PTO T IQUE S. lo3
OU, en supprimant les accents devenus inutiles,
Fo = hiX=, -4- h^Xz-h Kx\^ i^Bx^yi-^ Cj^f ■
Les fonctions h-^, hs, A, B, G ne dépendent que de JK2 et de jks et sont périodiques de période air par rapport à ces deux variables.
Je vais recommencer les changements de variables du n** 274; tout ce que j'en ai dit reste vrai, mais seulement au point de vue formel.
Pour que je puisse appliquer les principes du calcul formel, il faut qu'il y ait un paramètre par rapport aux puissances duquel s'effectuent les développements. Ici ce sera le paramètre u..
En effet, F et par conséquent Ao, A3, A, B, G sont développables suivant les puissances entières de p.. .T'ajoute que, pour jx = o, B et G se réduisent à o et que Ao, /^s, A se réduisent à des constantes que j'appelle h\^ h\ et Aq.
Gherchons à intégrer les équations suivantes
Je cherche à faire l'intégration de telle manière que
yi—fi^ 73-/3
soient des fonctions périodiques de période air de deux variables nouvelles ^^2 ^^ J^'s ^"^ devront elles-mêmes être de la forme
n^ et ^3 sont des constantes développables suivant les puissances de [x; OTo et TO3 sont des constantes d'intégration. Les équations (i) prennent alors la forme
dr,
dy'^
dv') nz -TT
ciy%
Ih,
' dy-2
[ous
poserons
hi =
hî
