AP

.ri =

ni =

ixn['^

et nous supposerons que les nf^ sont des constantes; que les hf

sont des fonctions périodiques dej^o et de y^ (les h^ se réduisant à des constantes comme nous l'avons yu) et enfin que lesjK|- sont des fonctions périodiques de y'^ et jk's, sauf les y^ qui se réduiront À y'-.

Nous égalerons, dans les équations (2), les équations des puissances semblables de u. et nous aurons une suite d'équations qui nous permettront de déterminer par récurrence les j-f et les nf\

Ces équations s'écrivent

(3) { "^ dy', ^"^ dy', ^"--^ dy', ^ "^ dy', *'

„ dyK^' „ ^v',--' ,, dyl ,,, dv%

Je désigne par $ toute fonction connue; dans la deuxième équation, je regarde comme connus les j''|-*^' et les «[•"'; dans la troisième, les y", les jK/''? les n" et les /z"' et ainsi de suite. On a d'abord

de sorte que les équations (3) se réduisent à

0 dy^i 0 dy-i 1, ^

7zS , , -h ?i% -y-=-, h ni^) $

auxcjuelles il faut adjoindre les équations

(3 ter) \ dy', ' dy, '

déduites de la seconde écjuation (2), comme les équations (3 bis) le sont de la première équation (2).

Toutes ces équations s'intégreront de la même manière; soit par exemple la première équation (3 bis). La fonction <I> qui y entre (comme d'ailleurs toutes les autres fonctions $) est périodique en j'2 et j^'g. Nous égalerons n[J^ à la valeur moyenne de

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASY M P TOTI Q U ES. I05

celte fonction et il nous sera facile ensuite, par le procédé que nous avons déjà appliqué tant de fois, de satisfaire à notre équation par une fonction j/-^' périodique en j/'^ ely'.^.

Ayant ainsi déterminé /o e^y-i en fondions dej^^ ^^Js-ij^ pose

dy=, dy,

dy-1 , dy^

dy3 dy.,

Il est clair que

^2 dy'i -i- ^3 <r//3 — oc^ dy^ — x> dy^ ,

qui est nul, est une différentielle exacte et, par conséquent, que Informe canonique des écjuations n'est pas altérée quand on prend ])0ur variables nouvelles a:'.,, •2^35 J'^i J's a^^ li^^^ de x^, ^3, j^o, j^'3. La forme de la fonction F n'est pas non plus altérée, mais on voit qu'on a identiquement

— «2-^2 — n^x'.^ = h^x-i -f- h-iX-i,

ce qui montre que les coefficients de x'.-^ et de x'.^ se réduisent à des constantes..

Je puis donc toujours supposer que h-, et A3 sont des constantes.

C'est ce cjue je ferai désormais.

Soit maintenant à intégrer les équations

ou, ce qui revient au même, ,, dy% dy^

/,, 52^ , A3 ^ = 2(A.ri+ Bji)- \ dy^ dy-i

Cherchons à satisfaire à ces équations en posant a étant une constante, :; et 5 des fonctions périodiques de ^2 et jKs-

lo6 CHAPITRE XXV.

Les équations deviendront

1 , dz ^ dz , ^ ^

(4 bis)

i 1 ds , as , , .^ ,

I fu -j h «3 —, as = 2( A^ 4- B5).

Développons A, B, C suivant les puissances de [x sous la forme

A = Ao H- [jlA, -i-. . . , B = Bo + [JlB2+..., G = Go -+- (J.C2 -+-... •

Remarquons que Aq est une constante et que Bo = Co = 0. Développons de même h^ et ^3

Les coefficients de ces développements sont des quantités connues. Développons d'autre part les inconnues ^, 5 et a suivant les puissances croissantes de y/ p. sous la forme

a = «1 y i-i -t- ci-i [j. -T- «3 [j, \f\x + . . . ,

S =; 5o -1- 5i sj \X -i- ^2 [J. -r- . . . .

Afin de présenter les équations sous une forme plus symétrique, j'écrirai le développement de A sous la forme

A = Ao -H Al /ij. + A2 (J. + A3 \x \/\x -F Ajf ;r- + . . . .

Il faudra seulement se rappeler que A,, A3, A5, ... sont nuls. De même pour les développements de B et de C.

Cela posé, j'égale dans les équations (4 bis^ les coefficients des puissances semblables de u.. J'appellerai (4 bis p) les deux équa-

tions obtenues en égalant d'une part les coefficients de pi. - dans

la première équation (4 his) et, d'autre part, les coefficients

p de p.- dans la seconde équation (4 bis).

Les équations (4 bis o) et (4 bis i) détermineront «i, s^ et ^1 ; Les équations (4 bis 1) et (4 bis 1) détermineront ao, *i et ^21 Les équations (4 bis 1) et (4 bis 3) détermineront «3, «2 et z^,-

et ainsi de suite.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A SYM PTO TIQ U ES. I07

Je veux dire que les équations (4 bis p) détermineront Sp et -SjB+t à une constante près, qu'elles détermineront ap et compléteront la détermination de Sp K et Zp que les (4 bis p — i) ne nous avaient fait connaître qu'à une constante près.

Si l'on se rappelle que

Bq = Bi = Go = Cl = G, on voit qiie les équations (4 bis o) s'écrivent

(^ bis o) <

\ - dji dys

les équations (4 bis i) s'écrivent

/ dzo , „ dz^ hl h/i^ -1 «1^1= — 2G2S0,

\ ^ dy^ dy^

(4 bis i)

les équations (4 bis 2) s'écrivent

l A?, -— -^ +/t5 ^— ^ — «^^Si «1^., = 2B, 5| 2G9 5i — 2 G350 M-*,

1 AS -7-=- + /i9 -^ — a, 5o — «i5i = 2 An -Sv -1-2 A. 5, -t-aBo^o -t-*

[les lettres <ï> désignent des fonctions connues périodiques en y^ etjj/3, qui sont nulles dans les équations (4 6^52), mais que j'écris néanmoins parce C[u'elles apparaîtraient dans les équations suivantes].

Les équations (4 bis o) nous apprennent que Z\ et 5o sont des constantes. Passons ensuite aux équations (4 bis i) et égalons les valeurs moyennes des deux membres, il vient

— «1^1 = — 2.So[G2],

— «iSo = aAo^î,,

ce qui détermine a,, 5o et ;5,; on trouve pour «, deux valeurs égales et de signe contraire. Les équations (4 bis i) déterminent ensuite, à des constantes près, z<x et s^ qui sont des fonctions

périodiques de y2 et j-j. On peut donc regarder comme connus

^2 — [s,] el Si — [si].

Venons aux équations (4 bis 2) et égalons les valeurs moyennes des deux membres, on obtiendra deux équations d'où l'on pouiTa tirer «o, [:-2] et [^i].

Les valeurs moyennes des deux membres étant égales, les équations (4 bis 2) nous donneront ^3 et ^2 à des constantes près sous la forme de fonctions périodiques de y 2 et^)'3.

Et ainsi de suite.

Comme nous avons trouvé pour «, deux valeurs, les équations (4 bis) admettront deux solutions. Soient

a =^ a^ s = cp, s = oi,

ces deux solutions. La solution générale des équations (4) sera

/! = Ae^'çi-T- Be-«^ij;i.

On peut toujours supposer

a<\il — tt>i d; := I.

On verrait alors, comme au n" 274, que si l'on pose

Xi = x\ cp + j-; J;, jKi = ^\ ?i-+-7'i ^1-

Xï = x'.^ -!- H2 a?i- H- 2 K2 ^'1 j'i H- 1-2 71- ^ 7-2 = 72 ) ^3 = ^3 -t- H3 .r'i^ + 2 K3 x\ y\ -H Laji" , j'3 = 73 ,

et si Ho, Ko, L'2, H3, K3, L3 sont des fonctions périodiques convenablement choisies de y 2 et^s, la forme canonique des équations ne sera pas altérée.

La forme de F ne sera pas non plus altérée; mais B se réduirait à une constante, A et C à o.

On peut donc toujours supposer

B = const. , A = G = o.

Le reste du calcul s'achèverait comme aux n"^ 274 et 275 et l'on arriverait finalement à la conclusion suivante :

Les variables xi et j»'-^- peuvent se développer suivant les puis-

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A S Y M P T OT I QUE S. l 09

sances de s, \/[Jl, de Irois conslantes ao, c'„ et [Sq, de e-'^"i^^^y\ de e-''f"i'^-^'>), de \/"^(>e^"'-^^'^^\ y/[3oe~^"-^+^-^ Les conslantes /?,, n\ et /2o sont elles-mêmes développables suivant les puissances de s, y'ij., a-o, a'y et [^o-

277. Passons au second mode de généralisation et supposons qu'on veuille étudiei" les équations dans le voisinage d'une véritable solution périodique mise sous la forme

Xi = X^ = 373 = Ji = J2 = 0.

Nous poserons

F = ï2 F', .n = zx\ , j'i = sj'i , X, = zx',^, y. = zy\,

d'où

f = f'o + sf;+....

Les équations restent canoniques et l'on a

F'o = A .r ; + <f ( x\ , yi , x',, j 2 ) ,

<ï> étant une forme quadratique homogène en x\, y\, x'.,, y'^; les coefficients de <ï> et h sont des fonctions périodic[ues de ys=y.^. Nous supprimerons désormais les accents devenus inutiles et nous écrirons simplement

Fo = /ixs->r-<t^{xi, yu ^2,72)-

On démontrerait comme aux n°' 274 et 276 que l'on peut toujours supposer que h se réduit à une constante. Envisageons maintenant les équations

dyz dxx d^ dy^ d<P

dt ~ ' dt ~ dyi ' dt dxi

dx2 d^ dy.2 rf*

dt dy^ dt dx^

Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. Leur solution générale sera donc de la forme

Xi ■= Aie'^'cpi.i + A2e-«'cp2.i + ^•ie''^o-i,x-{- A. «-'■''«Di.i, jj'j = Al e«'cp,., -{- Aîe-û^^'f 2.2 + A3e'^'cp3.2 + K,,e-^^(o-^.2, 3^2 = A,e«'cp,.3-|- A2e~"'o2.3-t- A3e*'ç)3.3 + A4e-*^cp4.3,

no CHAPITRE XXV.

Les A sont des constantes d'intégration, les cp sont des fonctions périodiques dej'3.

Il est aisé de vérifier c[ue l'expression

est nulle, sauf dans les deux cas suivants

Dans ces deux cas, cette expression se réduit à une constante que je puis supposer égale à i.

Posons maintenant

Xi — X\ cpi.i +JKi92.1 + ^'2?^-l+7'2?4-I'

.^2 = 0C\ Ç1.3 +yi ?2.3 + ^'2 «f3.3 +y2 ?i.3, 72 = ^'l?1.4+yiT2.4 + ^2T3.t + 7'2?4.4-

On voit alors que

Xi dyi — y\ dxi -\- x^ cly^ — y=> dx^

= x\ dy\ — y\ dx\ + x\ dy\ — y\ dx\ + '\dy-i^

OÙ ^ est une forme c[uadratique homogène par rapport à x\^ y,, ^'2, y\, dont les coefficients sont des fonctions périodiques de y^i. Si alors nous posons

l'expression

^1 dyx + a?, dy=i + x^ dy^ — x\ dy\ — x'.-^ dy\ — x'.^ dy'.^

sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations n'est pas altérée.

La forme de la fonction F n'est pas altérée, seulement Fq se

réduit à

hx'.^-\- A x'i y\ -+- B a?', 7 2 ,

OÙ /i, A. et B sont des constantes.

On poserait ensuite

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YM PTOTIQ U E S. III

et le calcul s'achèverait comme aux n-^ 275 et 276; on arriverait à la conclusion suivante :

Les Xi et les yi sont développables suivant les puissances de e de trois constantes ao, ,60 et [b'^, de g-""''^^'', de

Les exposants /ii, n^. et 11'.^ sont eux-mêmes développables suivant les puissances de s, ao, po et ^'^.

Cette généralisation s'applique immédiatement quand il y a n degrés de liberté; le premier cas, celui du numéro précédent, correspond à celui où ily a /i + i relations invariantes et une seule relation linéaire entre les moyens mouvements. C'est celui qui nous a occupés au Chapitre XIX.

Le second cas, celui du présent numéro, correspond à celui où il y a 271 — I relations invariantes définissant une véritable solution périodique et où il y a n — i relations linéaires entre les moyens mouvements. C'est celui des solutions asymptotiques qui nous a occupés au Chapitre VIL

Mais il y a des cas intermédiaires où l'on d^ ii — q relations invariantes, et q relations linéaires entre les moyens mouvements. Alors les Xi et les j>'/ peuvent se développer suivant les puissances positives ou négatives de q exponentielles réelles et de n — q exponentielles imaginaires.

Relation avec les invariants intégraux.