C II A P IT R K X \V

Considérons les solulions voisines de cette solulion périodique; elles pourront, d'après ce qui précède, être mises sous la forme suivante : xi et yi seront développés suivant les puissances de in — 2 quantités conjuguées deux à deux et que j'appelle

Aie5(,<, A'jé— «.'

Les A et les A' sont des constantes arbitraires d'intégration; les exposants a peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances de A) A', , Ao A\ . . . , A«i A^^, .

De plus les coefficients du développement de x, et ào. yi sont des fonctions périodiques de t-{-h^ de période T. Ces coefficients (de même que les exposants a) dépendent en outre de la constante des forces vives C.

Nous savons qu'il existe un invariant intégral

(2) J-î.dxi

dyt,

d'où il résulte que, si [3 et y sont deux constantes d'intégration, on

devra avoir

dxi dvi dxi dxi

d^ dy dy d<^ '

On pourra écrire cette équation sous une autre forme; supposons qu'on donne à [^ un accroissement 0|3 et qu'il en résulte pour Xij j'ij Aie^'^ . . . des accroissements

oxf, oyi, oA/e^A'

Supposons d'autre part c|ue l'on donne à y un accroissement o'y et qu'il en résulte pour Xi, yi, . . . des accroissements

o'^i, O'fi,

Notre équation s'écrira

(3) "^{^^Ti ù'yt — ofi i'xi) = const.

Le second nombre est une constante; je veux dire que c'est une fonction des constantes d'intégration multipliée par o|^5'y.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YMPTO T IQU E S. Il3

Or on a évidemment D'autre part

c/G dh ^d{kke'-^kt) ^d{k',,e-^kt) * '

dy. r. -^ d'J. 'N/ . A' \ '''= dG'^-^li'd(Â^P^)'^^^^''^-

On voit ainsi que ô^^- et oyi sont de la forme suivante

ôj/ = '^ii -+- trix.i ; o'j; = r/,-+ «r/j.j