î -H « li.i ; o'a7i = ^'j- -1- t ^'i .j

où i/, i,.n '^ii ''^1. 2 sont linéaires par rapport à §C, S/i, etauxSAe^"^, oA'e^"^; et d'autre part développables suivant les puissances des Ae^^ et des A'e~°"^ et suivant les sinus et les cosinus des multiples

de -=r (i + /O- O^^ trouverait aisément les expressions de o'xi^ S'j//;

il suffit de changer o en o' dans celles de oxt et oyi. On voit alors que l'on pourra écrire l'équation (3) sous la forme

D + E« 4- Ff2 — const., où

sont développés suivant les puissances des Ae^^, A'e~"^ et les

sinus et cosinus des multiples de ^ft {t + h) et sont d'autre part

bilinéaires par rapport aux

SAe'^', oA'e-a', oC, 8/i, o'Ae''', o'A'e-a^, o'G, o'A.

Le premier membre devant être indépendant de t^ nous aurons

d'abord

ce qui nous fournit déjà certaines relations de vérification auxquelles doivent satisfaire les développements des xi et des j",. II. P. — III. 8

Il4 CHAPITRE XXV.

Ensuite D doit être indépendant de ^; il sera donc linéaii^e par rapport aux déterminants suivants

I SA/,. o'A/^. — o'A/^oA'/^.,

\ A'/. A'j ( 0 A/,. 0 ' Ay — 0 Ay o'A/^), (4) ' A^(8A/, o'C — §'A/,8G),

A/,.(oA/,. o'A — S'A/,- oh) (oC o'/i — o' oC h)

(ou par rapport aux déterminants analogues déduits des premiers en permutant A^f avec A^, ou A/ avec Ay).

Les coefficients seront développés suivant les puissances des A/!fA)^ et dépendront en outre de G.

Le temps en efFet doit disparaître. Les exponentielles doivent donc disparaître; ce qui ne peut arriver que si chaque facteur Ae^'^ est multiplié par un facteur A'e~"', ou oA'e~^^, ou o'A'e""^

On peut déduire de là une nouvelle série de relations de vérification.

279. Parmi les exposants a^t les uns sont imaginaires, les autres réels; parmi pes derniers les uns sont positifs, les autres négatifs. Mais comme entre deux exposants égaux et de signe contraire je puis arbitrairement choisir celui que j'appelle a^, je ne restreindrai pas la généralité en supposant que a/ç est positif s'il est réel.

Annulons maintenant les coefficients A;;- qui correspondent à nn exposant imaginaire, ou à un exposant positif.

Alors on aura, si a^ est réel,

et si y.ft est imaginaire Je ferai en outre

A/, = o, A'/,^o Aa- = A/. = 0.

Go étant la valeur de la constante des forces vives qui correspond à la solution périodique envisagée.

Nos séries deviennent alors convergentes et représentent les solutions asymptotiques que nous avons étudiées au Chapitre VIL Elles contiennent comme constantes arbitraires h et les A^. qui correspondent aux exposants négatifs.

INVARIAINTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YMPTOT IQUE S. Il5

Nous aurons donc 2/i égalités qui exprimeront les ^'/ et les ;>/•/ en fonctions de t et de ces constantes h et A^. Si entre ces in égalités nous éliminons t^ h et les A^., nous aurons entre les xt et les j/ lin certain nombre de relations invariantes.

Si un ensemble de valeurs des xi et des j^^- est regardé comme représentant un point dans l'espace à 2 /r dimensions, ces relations invariantes représentent une certaine variété V de cet espace; c'est ce cj[ue j'appellerai la variété asymptotique.

Reprenons l'invariant intégral

S dxi dyt

et étendons l'intégration à une portion de cette variété asjmptoticfue V. En d'autres termes, supposons que tous les systèmes de valeurs des ^^ et desj,, qui font partie du domaine d'intégration, satisfassent à nos relations invariantes.

Je dis que V invariant intégral sera nul.

Il me suffit de démontrer que

S ( oxi o'yt — oji o'xi) = 0,

et cela est évident, car on a

Ayi,- = o, G = Co, d'où

oA/,- = 0, oG = o,

ce qui montre que toutes les expressions (4) s'annulent. Nous aurions pu également faire

G = Go, A/,-^o, A'/^. = 0 (pour a/,, réel),

A/, = A/^. = 0 (pour a/c imaginaire).

Nous aurions obtenu une nouvelle série de solutions asymptotiques et, par conséquent, une nouvelle variété asymptotique à laquelle les mêmes conclusions s'appliqueraient.

Ce que nous avons fait pour l'invariant (2), on pourrait le faire pour un invariant bilinéaire quelconque (invariant de la troisième

Il6 CHAPITRE s XV.

sorte, n" 260), c'est-à-dire de la forme

B dxidxic,

OÙ B est une fonction des Xi et des yi et où, sous le signe S, une ou deux des différentielles dxi^ dxk peut être remplacée par dyt ou dyk-

L'expression

EB(ô^/o'iPyi. — rixic"^' Xi)

serait encore linéaire par rapport aux quantités (4)- Cela s'appliquerait encore à un invariant quadratique (invariant de la deuxième sorte, n° 260) de la forme

(6) JsJ^

B dxi dxi;,

où B est fonction des xt et des yi et où, sous le signe S, une ou deux des différentielles dxi, dxk peut être remplacée par dyi^ dyu- On verrait que l'expression

S B oa^i oa?/^.

doit être linéaire par rapport aux expressions

/ o4/,oA/,, ,, , . , A'/,A}oAA-5Ay,

U ou) A' -A -n

l oG oA

et de celles qu'on en peut déduire en permutant A/^ 6t A)., Kj et A'-. Pour toute variété asjmptotique, l'invariant (5) comme l'invariant (6) doivent s'annuler.

Autre mode de discussion.

280. La même étude peut être poussée plus loin, en la présentant sous une autre forme.

Nous supposerons, par exemple, que nous avons affaire à un problème de Dynamique, que les xi sont les coordonnées des divers points matériels du système et que les variables conju-

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YMPTOTIQ U ES. II7

guées yi sont les composantes de leurs quantités de mouvement. Nous nous proposerons d'étudier les invariants intégraux algébriques par rapport aux. Xi et aux j^; et de voir, s'il peut eu exister d'autre que celui qui est connu et qui s'écrit

/ / S dxi dyi.

Nous avons vu que, dans le voisinage d'une solution périodique, les Xi et les yt peuvent se développer suivant les puissances des Ae^^, .... Nous allons de nouveau envisager ces développements; mais nous pourrons supposer que la valeur de la constante des forces vives qui correspond à la solution périodique est nulle, de sorte que les développements procéderont non seulement suivant les puissances des Ke^^, mais encore suivant celles de C. Ils dépendront en outre de t -\- h.

En égalant les xi et les yt à ces développements, on obtient in équations, que nous allons résoudre par rapport aux Ae°'^, à C et à i + /i.

Il vient

f ao^-Hpo= ^(^+/O=0• Nous remarquerons que a.o comme c/.h est développable suivant les puissances de G et des A/^A^., et l'on voit que fk-,fki ^^ cosO, sin© sont des fonctions uniformes des xi et des jk« dans le voisinage de la solution périodique. De plus, les xi et les yi peuvent se développer suivant les puissances des. /a, des/"^ et de <ï> et suivant les sinus et les cosinus des multiples de 0. D'autre part l'expression

( 3 ) 'Lilxi o'yt — oji ù'xi)

qui correspond à l'invariant (2) ou les expressions analogues qui correspondraient à un autre invariant bilinéaire de la forme (5) devra être développable suivant les puissances des /^, j\^ $ et

bilinéaire par rapport à

O'/Zo O'//.-, O'*, Ô'0.

De plus, quand on y remplace//;,/^., <ï>, 6 par leurs valeurs (7), cette expression doit devenir indépendante de t. Or le temps t pourrait s'y introduire de trois manières :

1" Sous la forme exponentielle;

2° Sous la forme de cosinus ou sinus des multiples de (^ + /i);

3° En dehors des signes exponentiels et trigonométriques (et, comme nous allons le voir, au second degré au plus).

Il ne doit y entrer d'aucune de ces trois manières.

1° Pour qu'il n'y entre pas sous la forme exponentielle, il faut et il suffît que l'expression soit linéaire par rapport aux quantités suivantes analogues à (4)

'-■'fie 0 //, — 0 //, 0//., f'kf'j ( '■'fk O'fj — s/y 0'//,),

K"j \ /US/a-ô'* — 07/,0<i'),

/Uô//rS'0-87;tSe),

les coefficients étant développables suivant les puissances des //(, /; et de $.

2" Pour que t n'y entre pas sous la forme trigonométrique, il faut et il suffît que notre expression ne dépende pas de 0, mais seulement de ses variations o0, o'6.

3° Il nous reste à déterminer la condition pour que t n'y entre pas en dehors des signes exponentiels et trigonométriques. Remarquons que l'on a

/ o//,- = e^^^ ( 0 A/- -h A /, i oy./. ), ( 9 ) p/X = e-'^-'' '(SA'/,- A'/, t l^j.,, ) ,

( o<i> = oG, 00 = o^o + / oao-

Nous distinguerons dans notre expression des termes de cinq sortes, selon qu'ils contiendront en facteur une quantité (8) figurant dans la première, deuxième, troisième, quatrième ou cinquième ligne du Tableau (8).

Cela posé, si nous remplaçons q//,, . . . par leurs valeurs (9),