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INVARIANTS INTEGRAUX ET SOLUTIONS A S YM PTOT I QUES. II9

nous verrons que les termes des cinq sortes contiendront respectivement en facteur

(ôA/,. o'A'/^.' — oA/^.o'A/,.)+ t[Qy./^ q'( Aa- A'/,.)— o'a/,. o(Aa.A/J], Aa- A} ( oA A- 0' Ay — oAj ô' A/, )

-I- \'^ Aj t [Al- (oa/c 0' Aj — o'a;,- oA/) — Ay(oay o'A^ — 0 aj ôA/,)]

+ A /,. A'^. Ay A'j t-{ oa/^. 0' aj — oay 0' a/,. ),

A'^. (ôA/,. o'G — ô' A;;-oG) + A/,.A/^. ^(6a;t o'G — S'a^t oG),

A'A-(3AA-8'po-8'A^-8Po) + A/,A'/,«(8a/,8'Po-S'a/,Spo)

-I- A/^. ?(oA^- o'^o — o'A/.:Oao) h- Aa-A'/^. ï-(oa/,. S'ao — o'a/,. oao),

(oG o'jjQ — o'G SPo) -i- ^(oG o'ao — o'G oao).

On voit que le temps pourrait entrer au second degré.

Faisons d'abord disparaître les termes en t^; ils ne peuvent provenir que des termes de la deuxième sorte et de la quatrième sorte.

Je dis que le coefficient de

doit s'annuler.

En effet, les accroissements virtuels des constantes étant arbitraires, nous pourrons supposer que tous les ôa/ s'annulent à l'exception de oa^, et de même que tous les 8'ay s'annulent à l'exception de S'ay.

Tous les termes en t- s'annulent alors, à l'exception du terme en

t^{o'/./.o' aj — oaj 0' a/,).

Il y aurait exception s'il existait une relation entre les n — i exposants o.i\ on ne pourrait plus en effet supposer que tous les Sa/ s'annulent sauf un, sans que ce dernier s'annule lui-même.

Maintenant il y a quatre termes de la seconde sorte qui donnent

des termes en

^- ( oa^ ô' ay — oay 0' a^).

Je les écrirai pour abréger sous la forme

les iL sont développés suivant les puissances des//, f\ et de <E>. Je désigne par lo^ l'expression qui figure à la seconde ligne du

Tableau (8) :

to, se déduit de wj en permutant//,- et/^., C03 se déduit de Wi en permutant /y elf'j, C04 se déduit de tO) en faisant à la fois ces d'eux permutations.

Pour que les termes en t- disparaissent, il faut et il suffît que

(11) <hi~i\i.2 — <lis-hii!,=o.

Si celte condition est remplie, nos quatre termes <\ii lOi -i- 4^2 W2 H- 4^3 W3 -+- '■r'i ^i nous donneront comme termes en t

+ ("l^a — '^i ) ^ Ay A}[oay o'(A/,Aa.)— o'ay g( A/,A/,)].

Considérons maintenant les termes de la quatrième sorte que aous associerons deux par deux; soit un groupe de deux termes

d^l Wj -i- d'2'^2>

oii ^i et d/2 sont développables suivant les puissances de G et des A^A^. ; où w, est l'expression qui figure à la quatrième ligne du Tableau (10) et où too est celle qu'on en déduit en permutant A/, et A^ et changeant a^ en — a/^.

Pour que les termes en t- disparaissent, il faut que

et alors les termes en t se réduisent à

'\iit[o{\/, A'/,) 0' «0 — 0' ( A/i A',,) O7.o].

281. Maintenant nos termes en t procèdent suivant les puissances de C, des AaA)^. ; et suivant les 0 et les 0', de ao, a/;.. G, Af(A'/^. Il nous reste à faire disparaître ces termes; je vais écrire qu'ils sont nuls quand on y fait

sans supposer bien entendu que oG, o'G, SA/fA)|,, ô'A^fA^ soient nuls.

Soit dans notre invariant B^ ce que devient le coefficient du terme en {ofk^'f'/f — ^f'k^'fk) quand on y fait G = A/,A/f=o.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A S Y»l PTOT I Q U E S. 121

Soit D/f ce que devient le coefficient du terme en

/',.(<?//,S'0-S0 87,.) et Do ce que devient celai du terme en

Nous devrons avoir identiquement