I:B/,[o3;/,o'(Aa-A'/,)— 8'a/,o(A;r.A

4- :SDA[8(A/,A),)8'au — 8'(Aa-A'aOo2£u]+ Do(oC 8' a»— 8'G 8ao) =0.

Écrivons, pour abréger, ya au lieu de A/j A'^., yo au lieu de C et

d(u, v) au lieu de

il viendra ou bien

Sous le signe S ou SS, k peut prendre les valeurs i, i, . . ., n — I et j les valeurs 0,1,2,...,/? — 1 .

En égalant à zéro le coefficient de <^(Yj, ya), on trouve

(12) B/, -^ By -T-^ — ^k-, 1- Dy 77— = o.

' d-(j ■' d^k d^ij d^ik

En égalant à zéro le coefficient de (?(Yoï ^j)i on trouve

Ces équations expriment que

( 1 3 ) — Do ao f/Yo + 2: ( B/, a/, — D/, «o ) <5?T/.-

est une différentielle exacte.

Dans les équations (12) et (12 bis) il faut faire Yy = o; les -j-

sont donc des constantes; les ay sont donc des fonctions linéaires des y; en réalité, comme nous l'avons vu, les a peuvent être développés suivant les puissances des y; mais le résultat que nous

venons d'obtenir n'est vi^ai que si l'on néglige les carrés des y et si l'on arrête les développements des a aux termes du premier degré. De plus, les B et les D sont des constantes. L'expression (i3) est donc la différentielle exacte d'un polynôme du deuxième degré.

Pour pousser plus loin cette étude, exprimons les a^ non plus en fonctions de

Yoi Tii • ■ • ' T«-i) mais de

«0, Yi, •••, Y«-i,

et, pour éviter toute confusion, représentons par des d les dérivées prises par rapport aux nouvelles variables et par des d les dérivées prises par rapport aux anciennes. On voit alors que

S B /,. a/,, d'il- -t- c/ao ^ Dy yy

est une différentielle exacte, ce qui entraîne les conditions

/wN r. à^k p ^a.-

à^i dyk

Si l'on connaît les relations entre les a et les y, ces équations nous permettront de déterminer les coefficients B/.

Nous pouvons exprimer SBy-yy en fonction des variables

ao, Yi) Y2> ■•■' Y«-i en écrivant

S Dy Yy = Eo «u + ^ E/, YA-

Les Ejc nous seront donnés par les équations

et Eo pourra être choisi arbitrairement.

Il faut d'abord que les équations (i4) soient compatibles, ce qui pour /i >• 3 exige certaines conditions

, r\ àa/c dcci doL/ da,- da.j daji

à-(i àyj ()^(/, ~ d-(/, â-^i ô-(j

Ces conditions (i5) seront toujours remplies puisqu'il y a tou-

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A SYM PTOTIQU ES. 123

jours un invariant intégral

S'il j a plusieurs invariants intégraux qui ne s'annulent pas identiquement pour la solution périodique envisagée, à chacun de ces invariants devra correspondre un système de valeurs des coefficients B, et E/.

Si les équations (i4) admettent q solutions linéairement indépendantes, on pourra calculer les valeurs correspondantes des E/f à l'aide des équations (i4 bis)^ et comme Eq reste arbitraire, nous aurons q + i systèmes de valeurs, linéairement indépendants, des coefficients B^ et Ej.

Nous pourrons donc avoir q + i invariants intégraux distincts (si la solution périodique considérée n'est pas singulière au sens donné à ce mot au n° 257), mais nous ne pourrons pas en avoir davantage.

282. J'ai dit plus haut que les conditions (i5) étaient certainement remjîlies ; il pourrait rester un doute sur ce point; et en effet si les équations (i4) comportent q solutions distinctes, iJ peut y avoir q -^ i invariants; si donc il n'y a qu'un invariant, on pourrait supposer q = 0; la présence d'un seul invariant

I^dxtdyi

ne suffirait donc pas pour permettre d'affirmer que les équations (i4) comportent certainement une solution.

C'est ce doute qu'il me reste à dissiper.

J'observe d'abord que dans le cas du problème des trois corps, il y a non pas un^ mais deux invariants intégraux.

Nous avons, en effet, dans le Tome I, Chapitre IV, étudié les équations aux variations de ce problème.

Nous avons obtenu pages lyo et 172 les intégrales suivantes

const.

dx

dV

const.

On trouverait de même

Multiplions (2 bis) par (i), (1 bis) par (2) et retranchons, il viendra

2r7^-so^<-v.^'?'

-2(^'-^?')^(-.+rO = const.

Le premier membre est linéaire par rapport aux déterminants de la forme

Nous avons donc une intégrale des équations aux variations et nous pourrons en déduire un nouvel invariant intégral bilinéaire.

Dans le cas du problème des trois corps, on a donc au moins ^ = i , et l'on peut être assuré que les conditions (i5) sont remplies.

283. En est-il encore de même dans le cas général? Supposons qu'elles ne le soient pas. Alors tous les coefficients que nous avons appelés Bi doivent être nuls ainsi que tous les E^, à l'exception de Eq.

Donc quand on donne aux Xi et auxjK« les valeurs qui correspondent à la solution périodique envisagée, c'est-à-dire quand on fait

les coefficients des termes en of/,o'f'/^ — ^■'f'k^-'fk doivent s'annuler, et il ne reste que les termes en

Notre invariant déferait donc s'annuler quand on aurait

INVARIA1\TS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS A S YMPT OT I Q U E S. 125

Or ce n'est pas le cas de l'invariant

auquel correspond l'expression

l.{lx,Q Yi— lytl'xi) :

Soit, en efFet,

rj'& = I^aio' Xi -h 'Zb/o'yi.

On devrait avoir une égalité de la forme

I.(oXioyi—oyiù'xi) = ^{ai^Xi-^ biùyi)^(c,o x/ ^ eil'yi) — 'S. {ai o' Xi + bi o'yi ):i{Ci oxt + e,- oyi).

Or cela est impossible puisque le premier membre est une forme bilinéaire de déterminant i et le second une forme bilinéaire de déterminant o.

Nous devons donc conclure que les conditions (i5) sont toujours remplies.