Recherchons maintenant si les équations (i4) peuvent

admettre plusieurs solutions.

Soient

B,, Bo, ..., B„,

ces deux solutions, et supposons que l'on n'ait pas

alors les deux équations

6ia/, d-Xi

t>/f -r- = hi -— ,

entraîneront

Alors les indices

r , . . . , 2, n se répartiront en un certain nombre de groupes, autant qu'il y a

de valeurs différentes pour le rapport -^■, deux Indices appartiendront au même groupe s'ils correspondent à une même valeur du rapport^-

Alors, pour que y.k dépende de v; (ou a/ de v^), il faut que les indices i et k appartiennent au même groupe.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il y ait deux groupes seulement comprenant resj)ectivement les indices

/> -t-i, /» -+- 2, . . ., n — r. Alors

a] , a=ii . . . , Xy,

dépendront seulement de

«0, Ti' T^> •••' T/'»

et

dépendront seulement de

Il y a alors ce fait que les exposants caractéristiques a^ forment plusieurs groupes indépendants; de telle façon que les a/, d'un groupe ne dépendent pas des produits AyAy relatifs à un autre groupe.

Les solutions périodiques pour lesquelles cette circonstance se produira (ou pour lesquelles il y aurait une relation entre les a^) pourront s^a^pelev pai^ticulièi^es.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Pou?' qu'il y eût cV autre invariant algébrique que ceux que nous connaissons, il faudrait, ou bien que toutes les solutions périodiques fussent particulières, ou bien qu'elles fussent toutes singulières au sens du n° 257.

Je n'entreprendrai pas de démontrer que cette circonstance ne peut se présenter dans le problème des trois corps; mais cela paraîtra bien invraisemblable.

INVARIANTS INTEGRAUX ET SOLUTIONS AS YMPTO T IQ UES. 127

Invariants quadratiques.

28o. Etudions maintenant au même point de vue les invariants quadratiques, c'est-à-dire les invariants intégraux de la forme

OÙ F est une forme quadratique par rapport aux différentielles dxi^ clyi.

Soit

F = 2 H dxi clxk ,

où les H sont des foutions des x et des y et où le produit dxidxk peut être remplacé dans certains termes par le produit dxidy^ ou dytdyh.

Nous pourrons alors écrire l'équation suivante analogue à l'équation (3) dun°278

(i) SHo^j- 0.27/,- = const.

D'autre part, nous avons trouvé au n° 278

Nous pourrons alors écrire l'équation (i) sous la forme D + Eï + F^2 = const.,

où D, E; F sont développés suivant les puissances des Ae^^, A'e~«^ et des sinus et cosinus des multiples àe -Ty {t -\- h) et sont, d'autre part, quadratiques par rapport aux

oAe^', oA'e-a^, oC, oh.

On devra donc avoir

et de plus D devra être indépendant de ^, ce qui montre que D

devra être linéaire par rapport aux expressions suivantes

oAa- 8A'^., A),A) ôA^-SAy, A'^. oA;t 8G, A'^ SA/, oh, oG oh,

OU par rapport aux expressions qu'on en déduit en permutant Ay^ et A)f, ou Kj et Ay.

Les coefficients seront développés suivant les puissances des produits ^k^k ^^ ^^ ^ (^^ Von suppose que la solution périodique corresponde à la valeur zéro de la constante des forces vives).

286. Revenons aux équations (-) du n° 280 et raisonnons comme dans ce n" 280; nous verrons que l'expression

n = I^Yioxi or/,,

quand on y remplace les xt et les yi par leurs développements en fonctions des //f, f\, O et ©, devra satisfaire aux conditions suivantes :

i" Elle devra être linéaire par rapport aux quantités suivantes

l f'/cfj ^fk Ofj,

, „ , . , ] fk ofk S*,

(8 bis)

1 /ao/a-oQ,

les coefficients étant développés suivant les puissances des//;/), et de O.

2° Elle ne dépendra pas de 0, mais seulement de of).

3° Si ces conditions sont remplies, l'expression IT ne contiendra le temps ni sous la forme exponentielle, ni sous la forme Irigonométrique.

Il reste à chercher la condition pour que le temps n'y entre pas non plus en dehors des signes exponentiels et trigonométriques.

Picprenons les équations (9) du n° 280; nous verrons qu'aux

(lo bis)

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YMPT OT IQUE S, 129

divers termes du Tableau (8 bis) correspondent les termes suivants

oAa-oA'/,+ if(A/,oA;toa/,— A/,oAA-oaA-)— AkA'/,t^-{^sci.y, A'/. A.J 0 A;t S Ay + A -^ Ay t ( A/c oa^. o Ay + Aj oay 5 A^- )

4- A^. A'^. Ay Ay t^ ox/, oay , A/,3Aa- oC -F A^-A^t^oa^. 8G,

A'^. oAy^ o!3o -+- A'/, t ( 0 A/, oao + Aa- oa^. o po j + A^- A';;,, f^ oa/, ocxo, oG o^o H- ^ôG 3xo; oG'^, 0^5 -t- aio^o oao + i^Bal.

Faisons d'abord disparaître les termes en t'-. L'ensemble de ces termes est une forme quadratique par rapport à

oao, Sa,, ..., oa„i.

Cette forme quadratique doit être identiquement nulle.

Le coefficient de oa./fOy.jt- devra donc être nul. Or, il y a quatre termes qui pourraient introduire le produit t- ùy.kOaj : ce sont les termes en

f'kfj^fkofj, f'iJjofkOfj, f/J'j0f';,0fj, ficfjOf'kOf'j.

Désignons pour abréger ces quatre expressions par W), too, 0)3, (O4; l'ensemble de nos quatre termes s'écrira alors

^ij ^25 ^3 et tp^ étant développables suivant les puissances des fkf'k et de O. Pour que le coefficient de f^ Bu/i^ck.j disparaisse on devra avoir identiquement

De même le coefficient de t- o-ayt devra s'annuler; or il provient des termes en

oA^A-, fW^, f'io/l

Désignons pour abréger ces trois expressions par œ'^ , oj!,, to'3 et l'ensemble des trois termes par

d;'iW'i + <];'2to'2-4-<|>'3w'3,

^1' 'l'i! 'Ys étant développables, suivant les puissances des //</'/,■ et de fl>.

l3o CHAPITRE XXV.

Pour que le coefficient de t- ù- y./( disparaisse on devrait avoir

(II) /A-A(1^'2 + f3)-^i = 0.

Pour la solution périodique on a

/l = /l =f'2=f'-2 = ---= fn-1 = f'n- i = O-

Tous les termes qui contiennent en facteur l'une des expressions qui figurent à la a'', 3^ ou 4*^ lignes du Tableau (8 bis) doivent alors s'annuler, car chacune de ces expressions contient en facteur f^ ou/^.

Les seuls termes de l'expression II qui ne s'annulent pas pour la solution périodique sont donc les termes en

^fk^fk, 0*00, 0*2, 002.

L'équation (i i) montre que <];'j contient en facteur/;}/)^. : donc le

terme ^\ ofk^/'k doit s'annuler également. Il ne reste plus que les

termes en

Le premier ne contient pas t^ le second le contient au i^'' degré, le troisième au 2*^ degré.

Ce troisième terme étant le seul qui contienne t^ doit être nul; s'il est nul, le deuxième terme étant le seul qui contienne t sera nul également.

En définitive, tous les termes de II s'annulent pour la solution périodique sauf le terme en o^^.

Or, dans le problème général de la Dynamique, de même que dans les cas du problème des trois corps que nous avons appelés le problème restreint, le problème général réduit et le problème plan réduit, nous connaissons un invariant quadratique et nous n'en connaissons qu'un.

Si j'écris l'équation des forces vives sous la forme

F = const, cet invariant n'est autre chose que

c'est à cet invariant que correspond le terme en o<ï>- qui ne s'annule pas.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTI QUES. l3l

Si donc il existe nn invariant quadratique, autre que celui qui est connu, cet invariant devra s'annuler pour tous les points de la solution périodique.

En d'autres termes, cette solution périodique devra être singulière au sens du n° 257, en ce qui concerne cet invariant.

Il y aurait exception si les n exposants

n'étaient pas indépendants les uns des autres, mais s'il j avait une relation entre eux. Dans ce cas, en effet, le coefficient de i-, qui est une forme quadratique par rapport aux ii variables

pourrait s'annuler identiquement sans que tous ses coefficients fussent nuls puisque ces n variables ne seraient plus indépendantes.

En résumé, pour qu'il y eût d'autres invariants quadratiques que ceux que nous connaissons, il faudrait que toutes les solutions périodiques fussent singulières ou particulières.

11 n'est pas très vraisemblable qu'il en soit ainsi pour le problème des trois corps.

Cas du problème restreint.

287. On peut imaginer un autre mode de discussion que nous n'appliquerons qu'au cas du problème restreint. La discussion du n° 257 a laissé subsister la possibilité de deux invariants quadratiques dont un est connu. Supposons que ces deux invariants quadratiques existent et soit H la forme quadratique correspondant à l'un de ces invariants. D'après ce qui précède II pourra contenir des termes en

j S/io/n /lO/iS*, /lo/iO*, /io/iO0, /i3/iO0, ( fr^fh fVofx', 202, 8*80, 8*-^.

D'autre part, Il est une forme quadratique par rapport aux quantités

oxi, 0X2, oyi, ojo,

l32 CHAPITRE XXV.

dont les coefficients sont des fonctions algébriques en ^,, jCo,

Voici quelles seront les variables xi et y/ que nous choisirons. Dans ce problème, que j'appelle restreint, deux des corps décrivent des circonférences concentriques et le troisième dontlamasse est nulle se meut dans le plan de ces circonférences. Je rapporterai ce troisième corps à des axes mobiles tournant d'un mouvement uniforme autour du centre de gravité des deux premiers; l'un de ces axes coïncidera constamment avec la droite qui joint ces deux premiers corps. J'appellerai X\ et x^ les coordonnées du troisième corps par rapport à ces axes mobiles, etj^, GtjK2 les projections de la vitesse absolue sur les axes mobiles.

Posons alors

$ = F + coG,

oii F et G désignent la fonction des forces vives et la fonction des aires dans le mouvement absolu, et où co désigne la vitesse angulaire de rotation des deux premiers corps autour de leur centre de gravité commun. Les équations prendront la forme canonique

dxi d^ dyt <:/<?>

dt dyt dt dxi

L'intégrale $ = const. n'est autre chose que « l'intégrale de Jacobi » (c/. Tome I, n° 9, page aS).

Cela posé, notre expression H sera une forme quadratique en

8a7i, 0372, O/l) OJ^25

dont les coefficients seront algébriques en xt ^lyi. Si nous supposons que les quatre variables x &ly sont liées par la relation

$ = const., qui entraîne la suivante

nos quatre variables ùxt^ oyi ne seront plus indépendantes; on pourra éliminer l'une d'entre elles, et II deviendra une forme quadratique ternaire.

Considérons un point de la solution périodique; pour ce point on aura

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES. l33

Toutes les expressions (i) s'annuleront donc à l'exception de

o/iS/i, §9^ ô*5e et 0*2.

Si l'on suppose ôO = o, elles s'annuleront toutes à l'exception de

o/io/i et 002, Soit donc, pour un point de la solution périodique,

n = Bo/irl/;-hCo02,

L'ensemble des termes en t^ se réduira donc, pour ce même point, à

(cf., supra, Tableau lo bis) et, puisqueyi = f\ =o, à

Gf2§a2.

Les termes en t'^ doivent disparaître; celui-ci est le seul qui ne s'annule pas pour le point considéré; tous les autres sont nuls, quand même on ne s'assujettirait pas à la condition o<ï> = o, car S$o0 et 8$^ ne donnent pas de termes en i^.

Or ôao n'est pas identiquement nul. On a, pour un point de la

solution périodique,

driç) cIt-o dxo

W\^ df[^ ~dë "^^^

. dan . ,.,

mais on ne saurait avoir -j— = o ; ce serait supposer qu il y a une

infinité continue de solutions périodiques de même période, ce qui n'a pas lieu.

On peut remarquer toutefois que -~ contient en facteur la

petite quantité, que je désigne par pi, c'est-à-dire la masse du second corps, et par conséquent que Sao s'annule pour pi = o, c'est-à-dire dans le mouvement képlérien.

Les termes en t- ne peuvent donc disparaître que si l'on a

d'où

Mais cette dernière égalité montrerait que II se réduit à une forme quadratique binaire et par conséquent que son discri-

l34 CHAPITRE XXV.

minant est nul. Ainsi le discriminant A de II dei,'rait s'annuler pour tous les points de toutes les solutions périodiques.