Mais une relation algébrique telle que

ne peut pas, à moins de se réduire à une identité, être vraie pour tous les points de toutes les solutions périodiques. En effet, adjoignons à la relation

deux autres relations

(où j3 et Y sont deux constantes arbitraires, F et G les deux fonctions ainsi désignées dans le numéro précédent) et une quatrième relation algébrique quelconque

le nombre des solutions de ces quatre équations algébriques sera limité quelles que soient les constantes [3 et y.

Considérons maintenant une solution périodique, les variables xi &\^yi seront développées suivant les puissances de p., sous la forme

Ou i ' — OC î — r~ \^ Ou i 1 •

De même F sera développable suivant les puissances de [j. et

l'on aura

F = Fo-l-iaFi^....

G et H seront indépendants de [x.

Reste A; je disque cette fonction, qui par hypothèse est algébrique en Xi et j-/, dépend de même algébriquement de a.

En effet, en exprimant que

est un invariant intégral, on sera conduit à certaines relations oij entreront les coefficients de H, leurs dérivées et les coefficients des équations différentielles du mouvement.

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YMPTOT I QUES. l35

Nous avons supposé que H est une fonction algébrique des Xi et àes yi; nous pouvons supposer que cette fonction algébrique entre comme cas particulier dans un type déterminé, ne contenant pas p. explicitement, mais dépendant algébriquement d'un

certain nombre de paramètres arbitraires. Alors / y/ll ne serait

pas un invariant intégral quels que soient ces paramètres, mais seulement quand ces paramètres prendront certaines valeurs particulières, dépendant de [a.

En exprimant que / y/ll est un invariant intégral, on est conduit à certaines équations algébriques entre \x. et ces paramètres; ces équations devront être compatibles et il est clair qu'on en tirera les paramètres en fonctions algébriques de ]x.

Les coefficients de la forme II et A seront donc aussi algébriques en [JL.

L'équation A = o est donc algébrique en a; et nous pouvons supposer qu'on lui a fait subir une transformation telle que le premier membre soit un polynôme entier en a.

Nous écrirons donc

A = Ao + [J-Ai + [Ji2 A2 -I- . . . .

De plus, Ao ne sera pas identiquement nul, à moins que A ne le soit. Si, en effet, Aq s'annulait, A contiendrait un facteur u., que l'on pourrait faire disparaître.

La fonction A doit s'annuler quand on y remplace ^/ et y/ par les développements (5). Elle devient alors développable suivant les puissances de u. et, le terme indépendant de [j. devant s'annuler, on aura

(2 bis) Ao(^°, jK°) = o.

Remarquons maintenant que l'on doit avoir

(3 bis)

G(^?,M) = Tc

Po et Yo étant des constantes. Il suffît, pour s'en assurer, de se souvenir que, pour jj. = 0, le mouvement se réduit au mouvement képlérien.

l36 CII4PITRE XXV.

Prenons maintenant, par exemple,

H =:rf-H^|— I

et écrivons l'équation

{^ bis) (x1Y--^(xiy = i.

Observons ensuite que, si l'on suppose [ji = o, le troisième corps décrira une ellipse képlérienne; soient ^ et v] les coordonnées de ce corps, non par rapport aux axes mobiles, mais par rapport aux axes de symétrie de cette ellipse.

Les équations de l'ellipse képlérienne s'écriront alors

( ? =?„-(?. cOSCp -f- ç--> C0S2 0 -J-. . ■ ,

( V) = -z;! sincf -t- -/js sin2cp -f-. . . .

Les coefficients ^k, 'f]k dépendront de deux constantes qui sont le grand axe et l'excentricité de l'ellipse, et par conséquent de [io et Yo- On aura d'ailleurs

OÙ le moyen mouvement n, dépend de [jq et où fU) est une nouvelle constante d'intégration.

L'intersection de l'ellipse (6) avec le cercle

aura lieu en deux points qui seront donnés par les équations

(7) ^ = cos6, Y] = =t:sinG, to — ± Oq. Ou aura ensuite

( a7"J = $ cos(wf -I- TTîo) + VI sin( wf H- ^2),

I CC^ = ^ ëm(0it -^W^) — ■/] COS((0/^ -H TJTo),

où T^2 est une nouvelle constante d'intégration.

On obtiendra les solutions de l'équation (4 bis) en combinant les équations (7) et (8), ce qui donne

.xi = COS 6 H '- (Oo-t- a/CTT 7TTi)+ CT, ,

^0 = COS 6 H '- ( cpo H- 'iA-K — 7TJi)H- T52

(A' étant un entier quelconque).

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YW PTOT IQU ES. iSy

Pour que k solution soit périodique, il faut et il suffît que le rapport — soit commensurable. Mettons ce rapport sous la forme

d'une fraction réduite à sa plus simple expression et soit D son dénominateur. On voit que l'équation (4 bis) admettra 2D solutions distinctes.

Les équations (2 bis), (3 bis) et (4 bis) ne devraient admettre qu'un nombre limité de solutions quelles que soient les constantes [3o et Yo- Or je puis choisir ^o de telle sorte que — ait

telle valeur que je veux et, par conséquent, que D soit aussi grand que je veux.

Cela ne peut arriver que si Aq et par conséquent si A est identiquement nul.

Par conséquent le discriminant de la forme II est identiquement nul et cette forme doit se réduire à une forme binaire.

On démontrerait de la même manière qu'au sens du n° 257 il ne peut pas arriver que toutes les solutions périodiques soient singulières.

La démonstration n'est ainsi donnée que dans un cas très particulier, mais on peut entrevoir la possibilité d'une extension au cas général.

289. La forme II, regardée comme forme binaire, doit se réduire à

pour un point d'une solution périodique; la forme binaire sera donc définie (c'est-à-dire égale à la somme de deux carrés) si la solution périodique est stable^ c'est-à-dire si les exposants caractéristiques sont imaginaires; elle sera indéfinie (c'est-à-dire égale à la différence de deux carrés) si la solution périodique est instable, c'est-à-dire si les exposants caractéristiques sont réels.

Supposons encore jx très petit et reprenons l'équation (4 bis).

D'après les principes du Chapitre III (n° 42), pour une valeur donnée de ^oj nous aurons au moins deux solutions périodiques

l38 CHAPITRE XXV.

dont une stable et une instable. Soient

Jes valeurs correspondantes des constantes nst et Wo. Soient

/Il

G H (Cf 0 — ôî'i ) + ^2 = '\'",

l'équation (4 bis) nous donnera, pour la première solution périodique ^

x\ = cos ( i\i -\

et pour la seconde

x9 = cos i) -\

Nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer t}>">> «]>' et d'ailleurs (];' et (];" compris entre o et -^^ Alors la forme II sera

définie pour xl = cos ( <]^' H- -fr ) indéfinie pour a?J = cos f (L" ~i — rr ) '

définie pour x^ = cos ( 4'' -+- "W ) ' indéfinie pour x^ = cos ( 4'"-^ -ft ) '

définie pour x°^ = cosC»]^' -+- 2tc), indéfinie pour a^f = cos(4'" -r- stï ) ;

ce qui montre que le discriminant de II considéré comme forme

binaire doit s'annuler au moins 2D fois, d'où l'on conclurait,

comme plus haut, qu'il est identiquement nul.

La forme H se réduit donc à un carré; donc, comme elle doit

être égale à

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS AS YM PTOT I QUES. iSg

pour tous les points d'une solution périodique, elle devrait s'annuler pour tous ces points.

Le même raisonnement montrerait encore qu'elle est identiquement nulle.

En résumé, au moins pour le cas particulier du problème restreint, il n'y a pas d'autre invariant quadratique que celui qui est connu.

l4o CHAPITRE XXVI.

STABILITE A LA POISSON

Diverses définitions de la stabilité.

290. Le mot stabilité di été entendu sous les sens les plus différents, et la difFérence de ces divers sens deviendra manifeste si l'on se rappelle l'histoire de la Science.

Lagrange a démontré qu'en négligeant les carrés des masses, les grands axes des orbites demeurent invariables. Il voulait dire par là qu'avec ce degré d'approximation les grands axes peuvent se développer en séries dont les termes sont de la forme

A sin(aZ -+- P),

A, a et p étant des constantes.

Il en résulte que, si ces séries sont uniformément convergentes, les grands axes demeurent compris entre certaines limites; le système des astres ne peut donc pas passer par toutes les situations compatibles avec les intégrales des forces vives et des aires, et de plus il repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa situation initiale.

C'est la stabilité complète.

Poussant plus loin l'approximation. Poisson a annoncé ensuite que la stabilité subsiste quand on tient compte des carrés des masses et qu'on en néglige les cubes.

Mais cela n'avait pas le même sens.

Il voulait dire que les grands axes peuvent se développer en séries contenant non seulement des termes de la forme

A sin(a^ + p),

STABILITÉ A LA POISSON. l4l

mais des termes de la forme

At s'wÇcct -T- j3).

La valeur du grand axe éprouve alors de continuelles oscillations, mais rien ne prouve que l'amplitude de ces oscillations ne croît pas indéfiniment avec le temps.

JNoiis pouvons affirmer que le système repassera toujours une infinité de fois aussi près qu'on voudra de sa situation initiale; mais non qu'il ne s'en éloignera pas beaucoup.

Le mot de stabilité n'a donc pas le même sens pour Lagrange et pour Poisson,

Encore convient-il d'observer que les théorèmes de Lagrange et de Poisson comportent une importante exception : ils ne sont plus vrais si le rapport des moyens mouvements est commensurable.

Les deux géomètres n'en concluent pas moins à la stabilité parce qu'il est infiniment peu probable que ce rapport soit exactement commensurable.

Il y a donc lieu de définir exactement la stabilité.

Pour qu'il y ait stabilité complète dans le problème des trois corps, il faut trois conditions :

1° Qu'aucun des trois corps ne puisse s'éloigner indéfiniment;

2° Que deux des corps ne puissent se choquer et que la distance de ces deux corps ne puisse descendre au-dessous d'une certaine limite;

3° Que le système vienne repasser une infinité de fois aussi près que l'on veut de sa situation initiale.

Si la troisième condition est seule remplie, sans que l'on sache si les deux premières le sont, je dirai qu'il y a seulement stabilité à la Poisson.

Il y a un cas où, depuis longtemps, on a démontré que la première condition est remplie. Nous allons voir que la troisième l'est également. Quant à la deuxième, je ne puis rien dire.

Ce cas est celui du problème du n° 9, où l'on suppose que les trois corps se meuvent dans un même plan, que la masse du troisième est nulle, que les deux premiers décrivent des circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun. C'est ce que j'appellerai, pour abréger, \e problème restreint.

l42 CHAPITRE XXVI.

Mouvement d'un liquide.

291. Pour mieux faire comprendre le principe de la démonstration je vais d'abord prendre un exemple simple.

Considérons un liquide enfermé dans un vase de forme invariable et qu'il remplit complètement. Soient x^j^ z les coordonnées d'une molécule liquide, u, v, (v les composantes de sa vitesse, de telle façon que les équations du mouvement s'écrivent

dx dy dz ,

Les composantes u^ p, w sont des fonctions que je suppose données de X, y, z et t.

Je supposerai le mouvement permanent de telle façon que u, p, w ne dépendent que de x, y et z.

Comme le liquide est incompressible, on aura

du dv dw dx dy dz

En d'autres termes, le volume

/ dx dy dz

est un invariant intégral.

Étudions la trajectoire d'une molécule quelconque : je dis que cette molécule repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale. Plus exactement, soit U un volume quelconque intérieur au vase et aussi petit que l'on voudra; je dis qu'il j aura des molécules qui traverseront une infinité de fois ce volume.

Soit Uo un volume quelconque intérieur au vase; les molécules liquides qui remplissent ce volume à l'instant o rempliront à l'instant i un certain volume U), à l'instant 2-ï un certain volume Uo, . . . , à l'instant wz un certain volume U/;.

L'incompressibilité du liquide ou, ce qui revient au même, l'existence de l'invariant intégral nous montre que tous les

STABILITÉ A LA POISSON. l4^

volumes

Uo, Ui, U„ ..., Un

sont égaux entre eux.

Soit Vie volume total du vase, si

V<(ft-i-i)LJo, on aura

V<Uo + Ui+U2+...+ U„.

Il est donc impossible que tous ces volumes Uo, Ui, ..., Va soient tous extérieurs les uns aux autres; il faut que deux au moins d'entre eux, U^ et U/t, par exemple, aient une partie commune.

Je dis que, si U/ et U^ ont une partie commune, il en sera de même de Uo et Vk-i (en supposant par exemple k >> i). Soit en effet M un point commun à U, et à U/ti la molécule qui est au point M à l'instant ix est à l'instant o en un point Mo appartenant à Uo, puisque le point M appartient à U/.

De même la molécule qui est au point M à l'instant kx est à l'instant (k — i)x au point Mo, puisque le mouvement est permanent; elle est, d'autre part, à l'instant o, en un point M^ appaitenant à Uo puisque M appartient à U/r et nous devons en conclure en outre que Mo appartient à U^^.^.

Donc U;f/ et Uo ont des points communs. c. q. f. d.

On peut donc choisi/^ le nombre a de telle sorte que Uo et Ua aient une partie commune.

Soit U'j) cette partie commune, et formons U', , Uo, . . . avec Uj, comme nous avons formé U,, Uo, ... avec Uq. Nous pourrons trouver un nombre [3 tel que UJ, et U'h aient une partie commune.

Soit Uq cette partie commune.

Nous pourrons trouver un nombre y tel que U'^ et UÇ aient une partie commune.

Et ainsi de suite.

11 résulte de là que U'^ fait partie de U», U" de U'^, U'^ de U'é,

En général, Ulf^" fera partie de U|/". Quand le nombre/» croît indéfiniment, le volume U'/' devient donc de plus en plus petit.

D'après un théorème bien connu, il y aura au moins un point,

l44 CHAPITRE XXVI.

peut-êlre plusieurs, peut-être une infinité qui appartiendront à la fois à Uo, à U'o, à Uq, . . . , et à Uj/", quelque grand que soit p.

Cet ensemble de points que j'appelle E sera en quelque sorte la limite vers laquelle tend le volume U|/", quand/? croît indéfiniment.

Il pourra se composer de points isolés; mais il pourra en être autrement; il pourra arriver, par exemple, que E soit une région de l'espace de volume fini.

Une molécule qui sera à l'intérieur de U'^,, et, par conséquent, de Ua à l'époque zéro, sera à l'intérieur de Uo à l'époque — a-:.

Une molécule qui sera à l'intérieur de U'^, et, par conséquent, de U';j à l'époque zéro, sera à l'intérieur de U'^ à l'époque — ^t et, par conséquent, à l'intérieur de Uo à l'époque — • (a -+- ^)'t.

Une molécule qui sera à l'intérieur de U™ à l'époque zéro, sera à l'intérieur de U„ à l'époque — y-, à l'intérieur de U,j à l'époque — (^ H- y)^ et à l'intérieur de Uo à l'époque — (a + [i -|- y)T.

Comme U,',', UJj, U'^ font partie de Uo, cette molécule sera à quatre époques différentes (multiples de t) à l'intérieur de Uo-

De même, et plus généralement, une molécule qui se trouvera à l'intérieur de U[j^' à l'époque zéro, se sera trouvée à p époques différentes antérieures (qui seront égales à des multiples négatifs de t) à l'intérieur de Uq.

Et comme E fait partie de U'/', quelque grand que soit /?, il en résulte qu'une molécule, qui, à l'époque zéro, fait partie de E, traverse Uo à une infinité d'époques différentes, toutes égales à un multiple négatif de x.

Il y a donc des molécules qui traversent le volume Uo une infinité de fois, et cela quelque petit que soit ce volume.

Les équations deviennent

dx __ dy <^^ 1