Reprenons les volumes

(r) Uo, Ui, Uo, ..., U„.

Je conviendrai de dire, pour abréger le langage, que chacun d'eux est le conséquent de celui qui est placé avant lui dans la suite (i) et V antécédent de celui qui est placé après lui.

De même, Uo, U3 seront le deuxième, le troisième conséquent

deUo.

Je puis prolonger la suite (i), au delà de l]«, en construisant les conséquents successifs de U,i

Je puis également la prolonger vers la gauche et construire les antécédents successifs de Uo

de telle sorte que les molécules qui sont dans Uo, à l'époque zéro, sont dans U) à l'époque — -ï et dans U o à l'époque — i-z.

Cela posé, si je désigne toujours par V le volume total du vase et par k un entier quelconque; si l'on a

A-V<(7i-M)Uo,

il y aura des points qui feront partie à la fois de k -+- 1 volumes de la série (i).

En effet, la somme des volumes de la série (1) est égale à //^ ( i)Uo; si aucun point ne pouvait faire partie à la fois de plus de k de ces volumes, cette somme devrait être plus petite que AV.

Nous pourrons donc trouver dans la série (i) A" H- i volumes

Ua„, Uap Ua, Ua„

qui auront une partie commune.

STABILITÉ A LA POISSON. l4y

J'en déduis que les k -+- 1 volumes

Uo, Ua,-a„, Ua.-aoi •••, Ua^— a»

ont une partie commune.

Soit, par exemple, A" =: 2,

2V<(n + i)Uo, on pourra trouver trois volumes

U-a, U^, Uy

qui auront une partie commune; les indices a, ,8, y satisfaisant aux conditions

On en déduit que les trois volumes

Uo, Up-a, Uy a

ont une partie commune, et qu'il en est de même des trois volumes

Ua-p, Uo, Uy|5

ou des trois volumes

Ua-Y) Up-y, Uo.

293. Nous avons vu plus haut qu'il y a des molécules qui traversent Uo une infinité de fois avant l'époque zéro, et d'autres qui traversent Uo une infinité de fois après l'époque zéro. Je me propose d'établir qu'il y en a qui traversent Uo une infinité de fois tant avant quUiprès l'époque zéro.

Soit Uo un volume quelconque; d'après le numéro précédent nous pouvons toujours trouver deux nombres a et a, le premier négatif, le second positif et tels que les trois volumes

Ua, Uo, U«

aient une partie commune. Soit U„ cette partie commune.

Toute molécule qui sera dans U'^ à l'époque zéro, sera dans U,, aux trois époques

l48 CHAPITRE XXVI.

De ces trois époques, la première est négative, la dernière positive.

Notre molécule traversera donc Uo au moins une fois avant l'époque zéro et au moins une fois après cette époque.

Opérant ensuite sur U'^ comme sur Uq, nous trouverons deux nombres b et [3, le premier négatif, le second positif et tels que les trois volumes

aient une partie commune. Soit U'^ cette partie commune.

Toute molécule qui sera dans U'^ à l'époque zéro sera dans \]\

aux trois époques

— ax, o, — ai,

et, par conséquent, dans Uq aux cinq époques

— (a + P)-!:, — jEt, o, —bx, — {a-\-b)x.

De ces époques les deux premières sont négatives, les deux dernières positives.

Toute molécule qui sera dans U'^ à l'époque o, traversera Uo au moins deux fois avant l'époque zéro, et au moins deux fois après cette époque.

Et ainsi de suite.

On formerait U'^' avec U'^, U'J' avec Uq, et l'on verrait que toute molécule qui sera dans Ug'"' à l'époque o, traverse Uq au moins p fois avant l'époque zéro et au moins/? fois après cette époque.

Mais U'„ fait partie de Uo, U'^ de U'^,, et ainsi de suite. Il j aura donc un ensemble de points E (comprenant au moins un point) et qui fera partie à la fois de tous les volumes UJf' quel que soit/?.

Toute molécule qui, à l'époque zéro, sera à l'intérieur de E sera donc également à l'intérieur de

Uo, U'o, U'^, ..., U(/", adùif.

puisque E fait partie de tous ces volumes.

Elle traversera donc Uq une infinité de fois avant l'époque o, et une infinité de fois après cette époque.

Il existe donc des molécules qui traversent Uq une infinité de; fois tant avant qu'après l'époque zéro. c. q. f. d.

STABILITÉ A LA POISSON. l49

294. L'ensemble E, tel qu'il a été défini dans le n° 291 (de même que l'ensemble E considéré dans le numéro précédent), peut se composer d'un seul point (quoique, bien entendu, il y ait toujours une infinité de molécules qui traversent Uq nne infinité de fois).

Il peut se comj30ser d'un nombre fini de points ou d'un nombre infini de points discrets.

On pourrait aussi supposer que cet ensemble E possède un volume fini ; voyons quelles seraient les conséquences de cette hypothèse. Raisonnons sur l'ensemble E défini dans le n" 291.

Je considère la suite des nombres entiers

a, P, ..-, définis dans ce numéro et je dis que l'on a

En effet, U» est le premier des conséquents de Uo qui a une partie commune avec Uq.

U'p est le premier des conséquents de U'^, qui a une partie commune avec U(, .

Mais Uy fait partie de Uo, etU'p de Up. Si donc Ug a une partie commune avec Uq, c'est que Up est un des conséquents de Uq qui a une partie commune avec Uq. Cela entraîne l'inégalité

On trouverait de même

Les nombres a, [i, y, 8, . . . vont donc toujours en croissant, ou, du moins, ne décroissent jamais.

D'autre part, nous avons, d'après le n° 291,

On a évidemment

Uo > u; > u'^ > . . . ,

et, si E a un volume fini que j'appelle aussi E, il vient, quel que

soit/>,

puisque E fait partie de U[/".

l5o CHAPITRE XXVI.

Les nombres a, [^, y, ... sont donc tous plus petits que

Ils ne peuvent donc croître au delà de toute limite et nous pouvons conclure que, dans la suite des nombres a, ^, . . ., à partir d'un certain rang, tous les termes sont égaux entre eux.

Supposons qu'à partir dap^ rang, tous ces termes soient égaux kl.

Alors U'/" et Uj^' auront une partie commune qui sera U'/"^", U'/"*"'' et U^^^" auront une partie commune qui seraU'/"^"' et ainsi de suite.

Soit E\ le )v^ conséquent de E.

E est l'ensemble des points qui font partie à la fois de Uq, U„, Up, . . . , ad in/.; Ex sera l'ensemble des points qui font partie à la fois de Ux, Ux, Ux, . . .; je pourrais dire aussi que E est l'ensemble des points qui font partie à la fois de

(I) ur", W-'\ •■•

puisque chacune des régions Uq, U'^,, ... n'est qu'une portion de la précédente. De même Ex est l'ensemble des points qui font partie à la fois de

(1) uf, ur^\ .....

Mais U[/''^" est une partie de U^^', U'/^"' est une partie de U)^"^", . . .; chaque terme de la série (2) est une partie du terme correspondant de la série (i). Donc E est une partie de Ex ou coïncide avec Ex-

Or, nous avons supposé que E était une certaine région de l'espace ayant un volume fini. Le fluide étant incompressible, son \^ conséquent Ex devra être aussi une certaine région de l'espace ayant le même volume. E ne peut donc être une partie de Ex- Donc E et Ex coïncide.

Si donc on suppose que E soit une certaine région de l'espace ayant un volume fini, il faut admettre que E coïncide avec l'un de ses conséquents.