Voici quelques théorèmes qui sont presque évidents et

STABILITÉ A LA POISSON. l5l

que je me borne à énoncer. Soient

Ua,. Ua„, . . . , Uaçj,, • . .,

ceux des conséquents de Uq qui ont une partie commune avecUo',

les nombres a^, sont rangés par ordre de grandeur croissante; on

aura

Soient ensuite

Uyj, Uy^, . . ., Uy^,

a conséquents de Uo, ayant une partie commune entre eux et avec Uq. Je choisis ces nombres y de façon que y^. soit aussi petit que possible 5 on aura

i^cc^ài-i-^^^^ixj.

Si nous reprenons les notations du n° 291, et que nous désignions par Ua le premier conséquent qui ait une partie commune avec Uq, par U'^ cette partie commune, par Ug le premier conséquent de U'o qui ait une partie commune avec U'^ ; je dis que, si [^ n'est pas égal à a, on aura

et, en effet, Up oc aura une partie commune avec Uo-

Probabilités.

296. Nous avons vu au n° 291 qu'il j a des molécules qui traversent Uo une infinité de fois. D'autre part, en général, il j en a d'autres qui ne traversent Uo qu'un nombre fini de fois. Je me propose de montrer que ces dernières doivent être regardées comme exceptionnelles ou, pour préciser davantage, que la pj-obabiiité pour qu'une molécule ne traverse Uo qu'un nombre fini de fois est infiniment petite, si Von admet que cette molécule est à l'intérieur de Uq à l'origine du temps. Mais il faut d'abord que j'explique le sens que j'attache au moi probabilité. Soit cp(.r, y^ z) une fonction quelconque positive des trois coordonnées x^y, z] je conviendrai de dire que la probabilité pour qu'à l'instant t = o

l52 CHAPITRE XXVI.

une molécule se trouve à l'intérieur d'un certain volume est proportionnelle à l'intégrale

J= I o{x, y, z) dx dy dz

étendue à ce volume. Elle est égale, par conséquent, à l'intégrale J divisée par la même intégrale étendue au vase V tout entier.

Nous pouvons choisir arbitrairement la fonction cp, et la probabilité se trouve ainsi complètement définie; comme la trajectoire d'une molécule ne dépend que de sa position initiale, la probabilité pour qu'une molécule se comporte de telle ou telle manière est une quantité entièrement définie dès qu'on a choisi la fonction o.

Cela posé, je prendrai d'abord tout simplement cp ^ i , et je chercherai la probabilité p pour qu'une molécule ne traverse pas plus de k fois la région Uo entre l'époque — ii~ et l'époque zéro.

Soit donc o-Q une région faisant partie de Uq et définie par la propriété suivante. Toute molécule qui à l'origine du temps sera à l'intérieur de o-q ne traversera pas Uq plus de k fois entre les époques — iiy et o.

Si nous admettons que notre molécule est à l'intérieur de Uo à l'époque zéro, la probabilité cherchée sera

Soient

(Tl, (72; ••■) '^n,

les 72 premiers conséquents de c-q. Il ne pourra pas y avoir de région commune à plus de A" des Ji -h i régions

sans quoi, toute molécule qui, à l'époque zéro, se trouverait dans cette région commune traverserait o-q et, par conséquent, Uo plus de k fois entre les époques — nz et o. On a donc

(rt-+-l)(T0</--V,

et, par conséquent,

^< (/i + i)Uo*

STABILITÉ A LA POISSON. l53

Quelque petit que soit Uq, quelque grand que soit A, on pourra toujours prendre n assez grand pour que le second membre de cette inégalité soit aussi petit que l'on veut. Donc, quand n tend vers l'infini, p tend vers zéro.

Donc, la probabilité pour qu'une molécule qui, à l'origine du temps, se trouve dans la région Uo ne traverse pas cette région plus de k fois entre les époques — oo et o, cette probabilité, dis-je, est infiniment petite.

De même, est infiniment petite la probabilité pour que cette molécule ne traverse pas cette région plus de k fois entre les époques o et + oo.

Faisons maintenant n = k^ -+- x. La probabilité pour que notre molécule ne traverse pas Uq plus de A" fois, entre les époques — (A^ -\- x)'z et o, sera plus petite que

(A-3 + a7-i-i)Uo

Elle tend donc vers zéro cjuand k croît indéfiniment.

La probabilité P pour que notre molécule ne traverse pas Uo une infinité de fois, entre les époques — oo et o, est donc infiniment petite.

Et, en effet, cette probabilité P est la somme des probabilités pour que la molécule traverse Uo une fois seulement, pour qu'elle traverse Uo deux fois et deux fois seulement, pour qu'elle traverse Uq trois fois et trois fois seulement, etc.

Or, la probabilité pour que la molécule traverse Uo k fois et k fois seulement, entre les époques -— oo et o, est évidemment plus petite que la probabilité pour qu'elle traverse Uo k fois ou moins de k fois entre les époques — [k^ + x)z et o, plus petite par conséquent que

La probabilité totale P est donc plus petite que V aV kV

e du second membre est uniformément c Chacun des termes tend vers zéro quand x tend vers l'infini. Donc

La série du second membre est uniformément convergente.

l54 CHAPITRE XXVI.

la somme de la série tend vers zéro. Donc P est infiniment petit.

De même, est infiniment petite la probabilité pour que notre molécule ne traverse pas Uo une infinité de fois entre les époques o et + GO.

Les mêmes résultats subsistent quand, au lieu de prendre cp = i , on l'ait tout autre choix pour la fonction cp.

L'égalité (i) doit alors être remplacée par la suivante

où J (o-o) et J(Uo) désignent l'intégrale J étendue respectivement aux régions g-q et Uq.

Je suppose que la fonction cp est continue; par conséquent elle ne devient j)as infinie; et je puis lui assigner une limite supérieure [x; on aura alors

J((7o)< I-lt^O,

et puisque on en déduira

IX k Y

(n-Hi)J(Uo)

Quelque petit que soit J(Uo), quelque grand que soit k, on pourra toujours prendre n assez grand pour que le second membre de cette inégalité soit aussi petit que l'on veut. Nous retombons donc sur les mêmes résultats qui sont ainsi indépendants du choix de la fonction cp.

En résumé, les molécules qui ne traversent Uo qu'un nombre fini de fois sont exceptionnelles au même titre que les nombres commensurables qui ne sont qu'une exception dans la série des nombres, pendant que les nombres incommensurables sont la règle.

Si donc Poisson a cru pouvoir répondre affirmativement à la question de la stabilité telle qu'il l'avait posée, bien qu'il eût exclu les cas où le rapport des moyens mouvements est commensurable, nous aurons de même le droit de regarder comme démontrée la stabilité telle que nous la définissons, bien que nous soyons forcés d'exclure les molécules exceptionnelles dont nous venons de parler.

STABILITÉ A LA POISSON. l55

J'ajouterai que l'existence des solutions asjmptotiques prouve suffisamment que ces molécules exceptionnelles existent réellement.

Extension des résultats précédents. •

297. Jusqu'ici nous nous sommes bornés à un cas très particulier, celui d'un liquide incompressible enfermé dans un vase, c'est-à-dire, pour parler le langage analytique, celui des équations

dx dy dz

lï ^ 'Y ^ ~z'

où X, Y, Z sont trois fonctions liées entre elles par la relation

dX dY dK dx dy dz

et telles qu'en tous les points d'une surface fermée (celle du vase)

on ait

/X-t- mY -i- nZ = 0,

/, m, n étant les cosinus directeurs de la normale à cette surface fermée.

Mais tous les résultats précédents sont encore vrais dans des cas beaucoup plus étendus sans qu'il y ait rien à y changer, non plus qu'aux raisonnements qui y conduisent.

Soient n variables ^i, .ro, . . ., ^«, satisfaisant aux équations différentielles

dx\ dx=) dx,i

où X|, Xo, ..., X„, sont n fonctions uniformes quelconques, satisfaisant à la condition

dxx dxi • ■ • ■ ^^^^ )

de telle façon que les équations (i) admettent l'invariant intégral (2) / M dxi dx=i . . . dx,i.

l56 CHAPITRE XXVI.

Je suppose de plus que M est positif ; nous dirons alors que, les équations (i) admettent un invariant intégral positif.

Je suppose encore que les équations (i) soient telles que si le point (^,, X.2-, . • -, ^n) se trouve à l'origine du temps à l'intérieur d'un certain domaine V (qui joue le même rôle que jouait tout à l'heure le vase où le liquide est enfermé) il restera indéfiniment à l'intérieur de ce domaine.

Je suppose enfin que l'intégrale

M t/j7i dx2 . . . dx„

étendue à ce domaine est finie.

Dans ces conditions, si l'on considère un domaine Uq contenu dans V, on pourra choisir d'une infinité de manières la position initiale du point (^,, ^oi • • -, ^«) de telle sorte que ce point traverse une infinité de fois ce domaine Uo- Si ce choix de la position initiale est fait au hasard à l'intérieur de Uq, la probabilité pour que le point {^x^ i oc-^-, • • ■ , ^n) ne traverse pas une infinité de fois le domaine Uq sera infiniment petite.

En d'autres termes, si les circonstances initiales ne sont pas exceptionnelles, au sens que j'ai donné plus haut à ce mot, le point (Xi, ^21 • • -1 Xii) repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale.

Il n'j a d'ailleurs rien à changer aux démonstrations qui précèdent. Nous retrouverons, par exemple, l'inégalité

V<(7r + i)Uo,

oi!i V et Uo désigneront l'intégrale (2) étendue respectivement aux domaines V et Uq.

Nous pourrons en déduire les mêmes conséquences; en effet, l'intégrale (2) étant par hypothèse essentiellement positive jouira de la même propriété que le volume, à savoir qu'étendue à un domaine tout entier, elle sera plus grande qu'étendue seulement à une partie de ce domaine.

298. Comment verrons-nous maintenant s'il existe un domaine V tel que le point (.^i, ^To, . . ., Xn) reste toujours à l'intérieur de ce domaine s'il y est à l'origine des temps.

STABILITÉ A LA POISSON. l57

Siirjposons qae les équations (i) admettent une intégrale

F(a:'i,a^.2i . . . , a"„) = const.

Considérons le domaine V défini par les inégalités

où h et h' sont deux constantes quelconques, aussi rapprochées qu'on le voudra.

Tl est clair que si ces inégalités sont satisfaites à l'origine des temps, elles le seront toujours. Le domaine V satisfait donc bien aux conditions proposées.

Application au problème restreint.

299. Nous allons appliquer ces principes au problème restreint du n° 9; une masse nulle, mouvement des deux autres masses circulaire, inclinaison nulle. Si nous rapportons la masse nulle dont nous étudions le mouvement à deux axes mobiles tournant, autour du centre de gravité commun des deux autres masses, avec une vitesse angulaire constante ii égale à celle de ces deux autres masses; si nous désignons par ^, 'i\ les coordonnées de la masse nulle par rapport aux deux axes mobiles, et par V la fonction des forces, les équations du mouvement s'écriront

dç, j., df] ,

dr , „, d\

■ ^ dt ' ^ de,

dr/ „ „ dY

dt dr^

et l'on voit tout de suite qu'elles admettent un invariant intégral positif

(2) I dç, dr^ dç dr^' .

D'autre part, elles admettent l'intégrale de Jacobi

(3) • Kl±2ll=y^'J^^l.^r;-)+h, Il étant une constante.

l58 CHAPITRE XX.VI.

Comme ^'- 4- 'r\''- est essentielJement positif, on doit avoir

Nous sommes donc conduits à construire les courbes