V-4- — (^2|yj2)=const

Le premier membre de la relation (4) est essentiellement positif, car nous avons

OÙ jjit et 1712 sont les masses des deux corps principaux, /■) et /'^ leurs distances à la masse nulle. Le premier membre de (4 ) devient infini pour 7',^o, pour ;'o = o ainsi qu'à l'infini; il doit donc avoir au moins un minimum et deux points où ses deux dérivées premières s'annulent sans qu'il y ait ni maximum, ni minimum.

Plus généralement, s'il J a 7i minima ou maxima relatifs il y aura /i + i points où les deux dérivés s'annulent sans qu'il y ait ni maximum ni minimum.

Mais il est évident que ces points où les deux dérivées s'annulent correspondent à ces solutions particulières du problème des trois corps que Laplace a étudiées dans le Chapitre VI du Livre X de sa Mécanique céleste.

Or on obtient deux de ces points, en construisant sur ni^ ni-2 un triangle équilatéral, soit au-dessus, soit au-dessous de la droite m\m.2 que nous prenons pour axe des i. Le troisième sommet de ce triangle est une des solutions de la question.

Tous les autres points satisfaisant à la question sont sur l'axe des \. Or il est aisé de voir que le premier membre de (4), quand i varie de — oc à + oc, présente trois minima et trois seulement, le premier entre l'infini et la masse 7?i,, le second entre les deu\ masses m^ et 7;2o, le troisième entre l'infini et la masse mo.

En effet la dérivée -^ + n-^q ne s'annule (pour 7, = o) qu'une

seule fois dans chacun de ces intervalles, puisqu'elle est la somme de trois termes qui sont tous croissants.

STABILITÉ A LA POISSON. iSg

Les équations

d^ .>. dY ^

«^ clt]

qui expriment que le premier membre de (4) a ses deux dérivées nulles, n'ont donc que cinq solutions, à savoir les points B) et Bo sommets des triangles équilatéraux^ les points Ai, A2 et A3 situés sur l'axe des ^; nous supposerons que ces points s'y rencontrent dans l'ordre suivant

— • co, Al, mi, Aq, mi, A3, -+- co.

Il reste à savoir quels sont ceux de ces points qui correspondent à un minimum, nous savons d'avance qu'il y en a deux.

Remarquons que si nous faisons varier d'une manière continue les deux masses m) et m2, un quelconque des cinq points A et B correspondra toujours à un minimum ou n'y correspondra jamais. On ne pourrait, en effet, passer d'un cas à l'autre que si le hessien du premier membre de (4) s'annulait, c'est-à-dire si deux des points A et B se confondaient, ce qui n'arrivera jamais.

Il suffira donc d'examiner un cas particulier, par exemple celui où nix :=: in.^. Dans ce cas, la symétrie suffît pour nous avertir que les deux solutions Aj et A3 doivent être de même nature, de même que les deux solutions B, et Bo ; ce sont donc A, et A3 seulement, ou bien B, et Bo seulement qui correspondent à un minimum. Donc A2 ne correspond pas à un minimum.

On reconnaîtrait que A, ne correspond pas à un minimum.

Les deux minima correspondent donc à B, et B2.

Supposons maintenant m^ beaucoLip plus petit que m^-, ce qui est le cas de la nature.

Pour des valeurs suffisamment grandes de — /i, la courbe

se composera de trois branchesTermées C| entourant m, , C2 entourant 7«2 et C3 entourant C\ et Go. Pour des valeurs plus petites, elle comprendra deux branches fermées, Cj entourant lUx et /?io, C2 entourant Ci .

Pour des valeurs plus petites encore, nous aurions une seule branche fermée laissant m, et m2 en dehors, et entourant B, etBo.

l6o CHAPITRE XXVI.

Enfin pour des valeurs encore plus petites, nous aurons deux courbes lermées symétriques l'une de l'autre entourant respectivement B, et Bo.

Ce que nous allons dire s'applique seulement aux deux premiers cas; nous laisserons donc de côté les deux derniers.

Dans le premier cas, l'ensemble des points satisfaisant à l'inégalité (4) se décompose en trois ensembles partiels : celui des points intérieurs à G), celui des points intérieurs à Go, celui des points extérieurs à G3.

Dans le deuxième cas, l'ensemble des points satisfaisant à (4) se décompose en deux ensembles partiels : celui des points intérieurs à G,, celui des points extérieurs à Go.

Ge que nous allons dire ne s'applique ni dans le premier cas à l'ensemble des points extérieurs à G3, ni dans le deuxième à celui des points extérieurs à Ga-

Gela s'appliquera au contraire, dans le premier cas, à celui des points intérieurs à G, ou à celui des points intérieurs à Go et, dans le deuxième cas, à celui des points intérieurs à G).

Considérons, pour fixer les idées, le premier cas et l'ensemble des points intérieurs à G2.

Nous prendrons alors comme domaine V le domaine défini par les inégalités

(5) ,A Hs>l!!:^V-^(ï2 + .^2)> + /, e.

Nous supposerons s très petit et que h ait une valeur telle que nous sojons placés dans le premier cas; enfin, pour achever de définir le domaine V, nous assujettirons le point ( ^, r, ) à se trouver à l'intéineur de la courbe Ca-

Il est clair alors que, si le point (ç, y), i', 7\) se trouve dans le domaine V à l'origine du temps, il y restera toujours.

Pour montrer que les résultats des paragraphes précédents sont applicables au cas qui nous occupe, il nous reste à faire voir que l'intégrale

(2) f cr^ dr\ cFc; ch;

étendue au domaine V est finie.

Gomment cette intégrale pourrait-elle devenir infinie? La

STABILITÉ A LA POISSON. l6l

courbe Co étant fermée. ^ et 't\ sont limités; l'intégrale ne peut donc devenir infinie que si ^' et -/]' sont infinis. Mais, à cause des inégalités (5), ^' et -/i' ne peuvent devenir infinis que si

devient infini, ou, puisque ^ et r\ sont limités, si V devient infini.

Or Y devient infini pour r, = 0 et pour 7-2 = 0. Mais, comme

le point fjii est extérieur à Co, nous n'avons qu'à examiner le

cas de

Évaluons donc la portion de l'intégrale qui est voisine du point /«2- Si /'o est très petit, ^- + 7)- est sensiblement égal

à (0/72ï)-, le terme -^ est aussi sensiblement constant; de sorte que, si nous posons

H pourra être regardée comme une constante. Si alors nous posons

(ç — 0/«2) = r-T costo, ï] = r.2sinaj; ^'=pcoscp, 7)'=psiric3,

les inégalités (5) deviendront