TT P" "Î1 TT

{t, bis) H-H£>^ ;^>H — £

et l'intégrale (2) deviendra

' {1 bis) I 9'^i d^ '^^''i (^'^ d'^-

Nous adjoindrons aux inégalités (5 bis) l'inégalité

a étant très petit, puisque c'est la partie de l'intégrale voisine de 771-2 qu'il s'agit d'évaluer et que l'autre partie est certainement finie.

Si nous intégrons d'abord par rapport à w et à cp, l'intégrale (2 bis) deviendra

(2 ter) ^T^- j ?r.2d: clri.

Intégrons d'abord par rapport à p. Il faut calculer l'intégrale

J pdp

prise entre les limites

ce qui donne s.

L'intégrale (2 fer) se réduit donc à

4 îT^ £ 1 r2 dfo = 2 Tt2 ea^ :

elle est donc finie.

Les théorèmes démontrés plus haut s'appliquent donc au cas qui nous occupe. La masse nulle repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale, si l'on n'est pas placé dans certaines conditions initiales exceptionnelles dont la probabilité est infiniment petite.

Si donc, dans le problème restreint, on suppose que les conditions initiales soient telles que le point ^, v] doive restera l'intérieur d'une courbe fermée C| ou Go, la première des conditions de la stabilité telles qu'elles ont été définies au n° 290 se trouve remplie.

Mais de plus la troisième l'est également : il y a donc stabilité à la Poisson.

300. Le résultat serait évidemment le même quelle que soit la loi d'attraction.

Si, en effet, le mouvement d'un point matériel i, ■/) est régi par les équations

dH (^ d^ d^

dt^ d^ df- df]

OU dans le cas du mouvement relatif par les équations

d^l df] dV

di^ di d^

d^ dl d\

dt- dt dt\

STABILITÉ A LA POISSON. l63

de manière que l'intégrale des forces vives s'écrive

i[(ir-Qn-^-

et si la fonction V et la constante h sont telles que les valeurs de i et de r, restent limitées, il y aura stabilité à la Poisson.

Mais ce n'est pas tout, il en est encore de même dans un cas plus étendu.

Soient 57,, ^2, . . ., x,i les coordonnées de ^ points matériels.

Soit V la fonction des forces dépendant de ces ii variables.

Soient m,, m^^ ..., /n„ les niasses correspondantes, de telle façon que nous désignons indifféremment par /?2,, m-2 ou par m^ la masse du point matériel dont les coordonnées sont.ri, ^2 et^Cs-

Les équations s'écriront

dt^ dxi et l'intégrale des forces vives s'écrira

dxi \ -

■^ nxi I dx,- ^~% \dt

Si la fonction V et la constante h sont telles que, en vertu de cette égalité, les coordonnées Xi soient limitées, il y aura stabilité à la Poisson.

En effet, ce qu'il s'agit de démontrer, c'est que l'invariant

intégral

dn

dx\ dx'.^ . . . dx',^ dx\ dx=, . . . dx,i \ x'i =

est fini quand l'intégration est étendue au domaine que j'ai appelé V et qui est défini par les inégalités

Appelons A l'intégrale

étendue au domaine défini par l'inégalité

mi ,, -^, <i.

l64 CHAPITRE XXVI.

La même intégrale étendue au domaine

sera évidemment