Reprenons le système
dxi dx=, dx,i j
Aj A2 A,j
Nous pouvons former les équations aux variations correspondantes telles qu'elles ont été définies au début du Chapitre IV.
Pour former ces équations, on change dans les équations (i) Xi en Xi-^ \i et l'on néglige les carrés des i^-; on trouve ainsi le système d'équations linéaires
d^ dX/c j ^ dXk j^ ^ dX/, ^
clt clcc i ctoc<^ ctx II
Il va, entre les intégrales des équations (2) et les invariants intégraux des équations (i), un lien intime qu'il est aisé d'apercevoir.
Soit
F(^i, b, ••-, ^/0= const.,
une intégrale quelconque des équations (2). Ce sera une fonction homogène par rapport aux ^, et dépendant d'ailleurs des x d'une manière quelconque. Je pourrai toujours supposer que cette fonction F est homogène de degré i par rapport aux \\ car s'il n'en était pas ainsi, je n'aurais qu'à élever F à une puissance convenable pour trouver une fonction homogène du degré i. Considérons maintenant l'expression
(3) / F(f/jPi, dx^, ..., dXft),
je dis que c'est un invariant intégral du système (i).
l6 CHAPITRE XXII.
J'observe d'abord que la quantité sous le signe / F{dxi, dx-i, ..., dx,i)
est un infiniment petit du premier ordre, puisque t/xj, c/jPo? • • • , dxn sont des infiniment petits du premier ordre et que F est homogène du premier ordre par rapport à ces quantités.
L'intégrale simple (3) est donc finie.
Cela posé, supposons d'abord que la figure Fq se réduise à une ligne infiniment petite, dont les extrémités aient pour coordonnées
'^1} ^2) • • • 1 -^ lit
L'intégrale (3) se réduira à un seul élément et sera par conséquent égale à
Cette expression étant une intégrale des équations (2) demeurera constante et aura même valeur pour la ligne Fo et pour la ligne F.
Si maintenant la ligne Fo et par conséquent la ligne F sont finies, nous décomposerons la ligne Fq en parties infiniment petites. L'intégrale (3), étendue à l'une de ces parties infiniment petites de Fq, sera égale à l'intégrale (3), étendue à la partie infiniment petite correspondante de F. L'intégrale étendue à la ligne Fq tout entière sera égale à l'intégrale étendue à la ligne F tout entière.
Donc l'intégrale (3) est un învaiùant intégral.
Réciproquement, supposons que (3) soit un invariant intégral du premier ordre, je dis que
sera une intégrale des équations (2).
En effet, l'intégrale (3) doit être la même pour la ligne Fq et pour la ligne F, quelles que soient ces lignes, et en particulier, si Fq se réduit à un élément infiniment petit dont les extrémités ont pour coordonnées
INVARIANTS INTÉGRAUX. I7
L'intégrale (3) se réduit alors, comme nous l'avons vu, à
(4) F(ï.,b, ■••,ln).
Gomme l'intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être constante.
C'est donc une intégrale des équations (2). c. q. f. d.
Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équations (i) correspond une intégrale des équations (2) et réciproquement.
243. Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants d'ordre supérieur au premier.
Considérons deux solutions particulières quelconques des équations (2); soient
, rx l Çl> b? • • • > Çra»
ces deux solutions.
Il peut exister des fonctions
qui dépendent à la fois des Xt^ des \i et des ^|, et qui, quelles que soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes indépendantes du temps.
En d'autres termes, la fonction F sera une intégrale du système
I Ctt (XJC \ O/OC^ G/OC j-^^
l dt " dXi ^'~^ dXi Ç2-^----+ dx,r"'
auquel satisfont les \i et les ^^.
Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que F soit de la forme
les AfVt étant fonctions des x seulement. Je dis alors que l'intégrale double
-- I ^kikdxi
dx/c
est un invariant intégral des équations (i).
l8 CH.VPITRK XXII.
Supposons, ea effet, que la figure Fq se réduise à un parallélogramme infiniment petit dont les sommets ont pour coordonnées les valeurs pour ^ = o de
Xi, Xi -+- Ç() Xi -\r Çj-, Xi -+- ri -{- ç,-.
La figure F sera aussi assimilable à un parallélogramme infiniment petit dont les sommets auront pour coordonnées les valeurs pour f= i de
oc'i, Xi H- Çi', Xi ■+- qi, Xi -\- qi -+- ç j.
L'intégrale J se réduira à un seul élément qui aura précisément pour valeur
et, comme cette expression est par hypothèse une intégrale du système (6), elle aura même valeur pour les deux figures F et Fq.
Supposons maintenant que F et Fq soient deux surfaces finies; décomposons Fq en parallélogrammes infiniment petits à chacun desquels correspondra un parallélogramme élémentaire de F. La valeur de J est donc la même pour chaque élément de Fo et pour l'élément correspondant de F; elle est donc la même encore pour la surface Fq entière et pour la surface F entière.
L'intégrale J est donc un invariant intégral. c. o. f. d.
La réciproque se démontrerait comme au numéro précédent.
244. Le théorème est évidemment général et s'applique aux invariants d'ordre supérieur à deux. Énonçons-le encore pour ceux d'ordre trois. Considérons trois solutions particulières des équations (2), i/, ^1, ^'j'; ces trois solutions devront satisfaire au système
dt ~ ^ dxi ''"
, , j d'^k ^ dXh „
(7) \ dt - Zà'd^i'''^
dX'k V^ d\k ).,,
dt jZi dxi ^''
Si le système (7) admet une intégrale de la forme
(8) SA/./,./ \k \'k II-
<kl <il Ç/
INVARIANTS INTEGRAUX. IQ
OÙ les A sont fonctions des ^, l'intégrale triple
(9) / ^kihidxidxhdxi
sera un invariant intégral des équations (i) et réciproquement.
Transformation des invariants.
245. Les invariants étant ainsi ramenés aux intégrales de l'équation aux variations, on trouve facilement un très grand nombre de procédés qui permettent de transformer ces invariants.
Si l'on connaît un certain nombre d'invariants intégraux des équations , . dxi
on déduira de chacun d'eux une intégrale des équations aux variations
^''-> 'dJ^Zdiï^i^''
En combinant entre elles ces diverses intégrales, on obtiendra une nouvelle intégrale des équations (2), d'où l'on déduira un nouvel invariant des équations (i).
Commençons par étudier le cas des invariants de premier ordre.
Soient
un certain nombre d'intégrales des équations (i), ces intégrales seront des fonctions des xi seulement.
Soient maintenant
f¥,{dxi), f¥.{dxi), ..., fv^idxi
q invariants intégraux du premier ordre de ces mêmes équations (i)
Les fonctions sous le signe /
Y^{dxi), Y^i^dxi), ..., Yqi^dxi)
dépendront des xi et de leurs différentielles dxi. Elles pourront dépendre des ^^ d'une manière quelconque; mais par rapport aux différentielles
elles devront être homogènes et du premier ordre. Alors
seront des intégrales des équations (2) et seront homogènes et du premier ordre par rapport aux \i.
Soit maintenant
0(<ï>,, ^2, ..., f,.;Fi, F.2, ..., Fy)=0[*/,, F/],
une fonction des <ï> et des F, dépendant des <ï> d'une manière quelconque, mais homogène et du premier ordre par rapport aux F. Alors
sera une nouvelle intégrale des équations (2); de plus ce sera une fonction homogène et du premier ordre par rapport aux \i. Il en résulte que
'0[*A-, ^i{dxi)\
est un invariant intégral du premier ordre des équations (i).
On aurait pu arriver tout aussi facilement au même résultat en transformant les invariants par le changement des variables du n° 237.
Par exemple
'(Fi+F2+...+ F^)
et
v/Ff-i-F| + ...+ F,}
seront des invariants intégraux.
