AR

Etendue au domaine défini par les inégalités (i), elle sera

ou, puisque s est très petit,

Notre invariant intégral est donc égal à r "-1

(2) nKs I (Y -h h)- dx-^dx^. . . dx,ii

l'intégration devant être étendue à tous les points tels que V + A soit positif.

D'après mon hypothèse, le domaine V + A > o est limité.

Il sera alors aisé de reconnaître si l'intégrale (2) est finie ou infinie.

Elle sera toujours finie si n = 2 ; car alors l'exposant de V + A est nul.

Supposons maintenant que n soit >> 2 et que V H- /i devienne infiniment grand d'ordre p quand la distance des deux points .r,, Xo, x-i et ^Tii, ^3, X(, devient infiniment petite du preinier ordre.

Alors la quantité sous le signe / dans l'intégrale (2) est de l'ordre

La variété

a /i — 3 dimensions; l'intégrale est d'ordre n\ la condition jaour que l'intégrale soit finie s'écrit donc

n — {n— ^)>pi~ ~' )'

STABILITÉ A LA POISSON. l65

d'où

C'est là la condition pour qu'il y ait stabilité à la Poisson.

Application au problème des trois corps.

301. Les considérations qui précèdent s'appliquent au cas où l'équation

entraîne comme conséquence que les xine peuvent varier qu'entre des limites finies.

Malheureusement, il n'en est pas ainsi dans le problème des trois corps. J'adopterai les notations du n° 11 ; je désignerai par ^,, jTo, x-i les coordonnées du second corps par rapport au premier; par a?/,, ^5, Xq celles du troisième par rapport avi centre de gravité des deux premiers; par a, b, c les distances des trois corps, par M,, Mo, M3 leurs masses, et enfin par

iiii =: nii = in-i = jj, mi^ = m-i = me = p'

les quantités que j'ai appelées [3 et ^' au n° 11. Nous aurons alors

M, M 3 , MsMi Ml M, abc

L'égalité (i) entraîne l'inégalité ,

La fonction V est essentiellement positive; si donc la constante h est positive, l'inégalité sera toujours satisfaite; mais la question est de savoir si l'on peut donner à h des valeurs négatives assez petites pour que l'inégalité ne puisse être satisfaite que pour des valeurs limitées des coordonnées Xi. Cela revient à

l6G CHAPITRE XXVI.

demander si l'inégalité

abc

jointe à celles qui sont imposées aux trois côtés d'un triangle

ne peut être satisfaite que pour des valeurs finies de «, b^ c. Prenons a=^c et très grand; prenons b très petit; les inégalités (4) seront vérifiées d'elles-mêmes.

Quant à l'inégalité (3), qui devient

elle peut, quel c|ue soit A, être satisfaite par des valeurs aussi grandes que l'on veut de a.

Quelque petit que soit A, quelque grand que soit «, on peut toujours prendre b assez petit pour que le premier membre soit positif.

L'existence des intégrales des aires ne modifie pas cette conclusion; ces intégrales s'écrivent, en effet :

/ '^{X2x'.^ — Xix'^)^ ^'{x^x'^ — x^x'-^)= ai,

(5) < ^{XzX\ — XiX'.^)-+-'^j {X(,X\ — X!,x'^)z= an, \ P ( iPi X'.2 X^x\) -\- p' ( Xi,. X'~ Xs X\ ) = «3 .

En vertu de ces équations, on a

où I est le moment d'inertie qu'aurait un s^'stème formé de deux points matériels dont les masses seraient [^ et ^J et les coordonnées par rapport à trois axes fixes ^,, x-^-, x-i\ x,,^ x-^^ Xq\ le moment d'inertie, dis-je, que ce système aurait par rapport à la droite, qui servirait d'axe instantané de rotation à un solide, qui coïnciderait momentanément avec ce système et tournerait de façon que les constantes des aires soient les mêmes que pour le système. L'inégalité (2) doit alors être remplacée par la suivante

{2 bis) Y -f- A > — !— '

STABILITÉ A LA POISSON. 167

Mais cette inégalité, comme l'inégalité (2) elle-même, peut être satisfaite par des valeurs des Xi aussi grandes que l'on veut; car, pour des valeurs très grandes des xi, le moment d'inertie I est très grand et, le second membre étant très voisin de zéro, on retombe sur l'inégalité (2).

Nous devons donc conclure que les considérations du numéro précédent ne sont pas applicables.

Pour mieux nous en rendre compte, calculons l'invariant intégral

dx\ dx'^ . . . dx\ dxi dx^^ . . . dx^,

en l'étendant à un domaine défini par les inégalités suivantes A — £ < T — V < A + £,

Les £ sont des quantités très petites; les K^- sont les premiers membres des égalités (5), et T est la force vive réduite, c'està-dire le premier membre de (6).

Intégrons d'abord par rapport aux x'^, nous trouverons

b^iz Cl-iî 1 a\-\- a\-^ ar^'V- dx^dx^. . .dxf,

II, lo et I3 représentant les trois moments d'inertie principaux du système.

Je remarque en passant que, si l'on choisit les axes de coordonnées parallèles aux axes principaux d'inertie, on aura, d'après la définition de I :

On voit que l'intégrale, qui est étendue à tous les systèmes de valeurs tels que

est infinie, bien que le dénominateur ^/ijlols devienne infini quand l'un des points x^, ^To, x-> ou ^4, ^5, Xç^ s'éloigne indéfi-

j68 chapitre XXVI.

niment. Et en efTet le champ d'inlégralion est alors triplement infini et le dénominateur ne devient que doublement infini.

302. Mais si les considérations des numéros précédents ne sont plus applicables, on peut néanmoins tirer de l'existence de l'invariant intégral certaines conclusions qui ne sont pas sans intérêt.

Supposons donc que la distance b de deux des corps devienne petite et que le troisième corps s'éloigne indéfiniment. Le troisième corps, à cause de sa grande distance, cessera de troubler le mouvement des deux premiers qui deviendra sensiblement elliptique.

Ce troisième corps décrira d'ailleurs sensiblement une hyperbole autour du centre de gravité des deux premiers.

Pour bien faire comprendre ma pensée, je vais d'abord prendre un exemple simple : je suppose un corps décrivant une hyperbole autour d'un point fixe. L'hvperbole se compose de deux branches; l'une de ces branches est le prolongement analytique de l'autre, bien que pour le mécanicien la trajectoire ne se compose que d'une seule branche.

Nous pouvons alors nous demander si, dans le cas du problème des trois corps, la trajectoire admet un prolongement analytique et comment on peut le définir.

Les coordonnées du second corps par rapport au premier sont ^r,, x^^ x-i] celles du troisième par rapport au centre de gravité des deux premiers sont x.,,^ x^, x^, de sorte que nous sommes ramené à envisager le mouvement de deux points fictifs dont les coordonnées par rapport à trois axes fixes sont Xij X2, Xz pour le premier et ^4, ^3, x^ pour le second.

Le premier de ces points décrira sensiblement une ellipse, le second sensiblement une hyperbole, et il ira en s'éloignant indéfiniment sur l'une des branches de cette hyperbole. Pour avoir le prolongement analytique cherché, construisons la seconde branche de cette hyperbole et associons-la à l'ellipse décrite par le premier point.

Considérons alors deux trajectoires particulières de notre système. Pour la première, les conditions initiales du mouvement seront telles que si t est positif et très grand, le point ^r.,, x^, Xf, se trouve très voisin de la première branche de l'hyperbole et le

STABILITÉ A LA POISSON. 1G9

point ^1, x^t X'i très voisin de l'ellipse, de telle façon que la distance de ces deux points, soit à l'hjperbole, soit à l'ellipse, tende vers zéro quand t croît indéfiniment.

Prenons l'asymptote de l'hyperbole pour axe des x.,^ et soit V la vitesse du point qui décrit cette hyperbole pour une valeur de t positive et très grande. Alors

tendra vers une limite finie et déterminée X quand t croîtra indéfiniment.

Soit de même ii le moyen mouvement sur l'ellipse et / l'anomalie moyenne, la diflerence

l — nt

tendra vers une limite finie et déterminée /o-

Si nous nous donnons l'ellipse et l'hyperbole et par conséquent V et n, si de plus nous nous donnons X et /q? les conditions initiales du mouvement correspondant à la première trajectoire seront entièrement déterminées.

Considérons maintenant la seconde trajectoire et supposons que les conditions initiales du mouvement soient telles que, pour t négatif et très grand, le point X/,, ^5, x^, soit très voisin de la seconde branche de l'hyperbole et le point x,, .To, x-j, très voisin de l'ellipse et que ces deux points se rapprochent indéfiniment de ces deux courbes quand t tend vers — 00.

Les différences

a"t — V/, l—nt

tendent vers des limites finies et déterminées X' et /[, quand t tend vers l'infini.

Les conditions initiales correspondant à la seconde trajectoire sont entièrement définies quand on se donne l'ellipse, l'hyperbole, X' et /|j.

Si l'on a

les deux trajectoires pourront être regardées comme le prolongement analytic^ue l'une de l'autre.

IjO CHAPITRE XXVI.

Considérons maintenant un système d'équations différentielles

(i) -^ = Xi (j = i, 2, ..., n),

où les fonctions X^-, qui dépendent seulement de a^i, ^2, . . ., Xn, satisfont à la relation

^à clXi

ces équations admettront l'invariant intégral

(2) I dxy dx^i . . . dx,i-

Supposons que nous sachions d'une façon quelconque que le point x^, X21 ■•., Xn doive rester à l'intérieur d'un certain domaine V analogue au domaine V envisagé dans les numéros précédents, mais s'étendant indéfiniment de telle sorte que l'intégrale (2) étendue à ce domaine soit infinie. Les conclusions des n°^ 297 et 298 ne seront plus applicables.

Mais remplaçons les équations (i) par les suivantes

/ 7 • \ uXi A; ,

(l Of5) —7-7 = -— - =: X/,

^ ^ dt' Mi "

où M est une fonction donnée quelconque de x^, ^To, . . ., x,i. Le point x^, X2, - • • , Xa-, dont le mouvement est défini par les équations (i his\ décrira les mêmes trajectoires que celui dont le mouvement est défini par les écjuations (i). Les équations différentielles de ces trajectoires sont en effet, dans un cas comme dans

l'autre,

dx\ dx'i dxa

Xi Xo X/j

Mais, si j'appelle P le point dont le mouvement est défini par les équations (i) et P' celui dont le mouvement est défini par les équations (i his)^ nous voyons que ces deux points décrivent la même trajectoire, mais suivant des lois différentes.

Si j'appelle t l'époque où P passe en un point de sa trajectoire et 1! l'époque où P' passe en ce même point, ces deux époques seront reliées par la relation

dt ^ dt' ^ m.'

STABILITÉ A LA POISSON. I7I

On a d'ailleurs

^(MX',-)

dxi ce qui veut dire que les équations

(.Us) ^' = x;.

admettent l'invariant intégral

(2 bis) I M dXi dx^ . . . dxn-

Supposons que la fonction M soit toujours positive et qu'elle tende vers zéro quand le point ^i, ^o? • • • , ^« s'éloigne indéfiniment, et cela assez rapidement pour que U intégrale (2 his') étendue au domaine V soit finie .

Les conclusions des n°^ 297 et suivants sont applicables aux équations (i his^. Ces équations (i his^ jouissent donc de la stabilité à la Poisson. Comme, d'ailleurs, elles définissent les mêmes trajectoires que les équations (i), on peut dire, dans un certain sens, qvie les trajectoires du point P jouissent aussi de la stabilité à la Poisson.

Je précise ma pensée.

Nous avons

Comme M est essentiellement positif, t croîtra avec t' \ mais,

comme M peut s'annuler, il peut arriver que l'intégrale du second

membre de (3) soit infinie.

Supposons, par exemple, que M s'annule pour ^'=T; alors t

sera infini pour

i = T ou pour ï'>T.

Considérons la trajectoire du point P', nous pouvons la diviser en deux parties, la première que P' parcourt depuis l'époque t'=zo jusqu'à l'époque ^'=T, la seconde C que P' parcourt depuis l'époque t' =^ T jusqu'à i'= ao.

Le point P décrii^a la même trajectoire que P', mais il n'en décrira que la partie C, car il ne pourrait atteindre la partie C qu'au bout d'un temps t infini.

Pour le mécanicien, la trajectoire de P ne se composerait donc que de G; pour l'analjsle, elle se composerait non seulement de C, mais de C qui en est \q prolongement analytique.

Envisageons un point Pi dont la position est définie comme il suit : le point P, occupera à l'instant t^ la même position que le point P' à l'instant t' \ quant à ^, , il sera défini par l'égalité

dt' , , , rr.x

-- (où^'„>T).

Le mouvement du point P| se fera encore conformément aux équations (i), et ce point Pj décrira G', de telle façon que les trajectoires des points P et P, pourront être regardées comme le pi'olongement analytique l'une de l'autre.

Supposons maintenant cjue le point P soit, à l'origine des temps, à l'intérieur d'un certain domaine Uq- Si les circonstances initiales du mouvement ne sont pas exceptionnelles, au sens donné à ce mot au n° 296, la trajectoire du point P et ses prolongements analytiques successifs viendront recouper une infinité de fois le domaine Uq c[uelque petit qu'il soit. Mais il peut se faille que le point P ne rentre jamais dans ce domaine, parce que ce domaine est recoupé, non par la trajectoire proprement dite du point P, mais par ses prolongements analytiques.