Gela s'applique au problème des trois corps

Nous avons vu plus haut qu'on devait envisager l'intégrale

/ dxi . . . dxQ d.r\ . . . dx'g, que nous avons d'ailleurs ramenée à l'intégrale sextuple

a\ -^ al -+- af^ \- dx^ dx^ . . . dxç,

2* / V^lilola

Mais nous avons vu que cette intégrale, étendue au domaine V, est infinie et c'est ce qui nous a empêché de conclure à la stabilité à la Poisson.

STABILITÉ A LA POISSON. lyS

Ecrivons les équations du mouvement sous la forme

^- dx'i

dt -^'' dt ~ ^''

les X; et les Y^ étant des fonctions des xi et des Xj^. Soit alors

(a7j ; a;'3-i-iP|j-T-...-f-a?jr-i-i)et écrivons les équations nouvelles

dxi X/ dx'i Y,-

'dt' ~ lÂ' HF ~ W

Les équations nouvelles admettront comme invariant intégral

/ M dxi . . . dxç, dx'^ . . . dx'g

ou bien

a^ -h a^T -h ar.\- dx< dx^ . . . dx^ ,, V + A ! = ■'-] - -M.

sJhUh

Or cette intégrale est finie.

Si donc la situation initiale du système est telle cjue le point P de l'espace à 12 dimensions dont les coordonnées sont

c[ue ce point P, dis-je, soit à l'origine du temps à l'intérieur d'un certain domaine Uo, la trajectoire de ce point et ses prolongements analytiques, tels cpie nous les avons définis à la fin du n° 302, recouperont une infinité de fois ce domaine Uq, à moins que la situation initiale du système ne soit exceptionnelle, au sens donné à ce mot au n° 296.

304.' Il semble d'abord c[ue cette conséquence ne puisse intéresser que l'analyste et n'ait aucune signification physique. Mais cette manière de voir ne serait pas tout à fait justifiée.

On peut conclure, en elTet, C[ue si le système ne repasse pas une infinité de fois aussi près que l'on veut de sa position primitive,