CHAPITRE XXVI. — STABILITÉ A LA POISSON

l'intégrale

dt

sera finie.

Cette proposition est vraie, en laissant de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la probabilité est nulle, au sens donné à ce mot au n° 296.

Si cette intégrale est finie, on conclura que le temps pendant lequel le périmètre du triangle des trois corps reste inférieur à une quantité donnée est toujours fini.

30o. Nous pouvons encore tirer de la théorie des invariants intégraux d'autres conclusions qui nous seront utiles dans la suite, en la présentant sous une forme un peu difFérente.

Commençons par examiner un exemple simple. Soit un point dont les coordonnées dans l'espace soient a:, y et z et dont le mouvement soit défini par les équations

dx^ dy dz

''^ ^-^' ^-^' -dt-^-

X, Y et Z sont des fonctions données et uniformes de x^ y, z; supposons d'abord que X et Y s'annulent tout le long de l'axe des z, de telle façon que

soit une solution des équations (i).

Posons ensuite

X = p cosw, y z= p sinto,

les équations (i) deviendront

, c/p ^^ o dz

où R, 0 et Z sont des fonctions de p, to et z, périodiques de période 2tc par rapport à w.

Nous conviendrons de ne donner à p que des valeurs positives, et nous pourrons le faire sans difficulté puisque a;^=y:=o est une solution.

Je suppose maintenant de plus que ù ne puisse jamais s'annuler et, par exemple, reste toujours positif; alors to sera toujours croissant avec t.

\yb CHAPITRE XXVII.

Imaginons qu'on ait intégré les équations (2) et qu'on en présente la solution sous la forme suivante

r.es lettres a et b représentent des constantes d'intégration.

Soit

Po=/i(o, a,b), z^=fi(o, a, b),

Soient Mo le point dont les coordonnées sont ^ = ?o. y = 0, z = zo, et M, celui dont les coordonnées sont

a? = pi, y = O, z = Zy.

Ces deux points appartiennent tous deux au demi-plan des .r:; situé du côté des x positifs.

Le point M, sera dit le conséquent de Mq.

Ce qui justifie cette dénomination, c'est que, si l'on considère le faisceau des courbes qui satisfont aux écjuations différentielles (i); si, par le point Mq, on fait passer une courbe et qu'on la prolonge jusqu'à ce qu'elle rencontre de nouveau le demi-plan (y =:z o, a: >> o), cette nouvelle rencontre aura lieu en Mi .

Si l'on trace dans ce demi-plan une figure quelconque F^, les conséquents des différents points de Fq formeront une figure F|; que l'on appellera la conséquente de Fo-

Il est clair que p^ et z^ sont des fonctions continues de po et de ;;o-

Donc, la conséquente d'une courbe continue sera une courbe continue, celle d'une courbe fermée sera une courbe fermée, celle d'une aire n fois connexe sera une aire 11 fois connexe.

Supposons maintenant que les trois fonctions X, Y et Z soient liées par la relation

dx dy dz

où ]M est une fonction positive et uniforme de x, y, z. Les équations (i) admettront alors l'invariant intégral

JM dx dy dz

THÉORIE DES CONSEQUENTS. 177

et les équalions (2) admettront

Mp dp diii dz.

Considérons maintenant les équations

dp R

dz Z

doi

diù ~ il*

dui

où co est regardé comme la variable indépendante. Elles admettront évidemment l'invariant intégral

(4) jMQ.^dpdoidz

{Cf. n°253).

Comme M, (î et p ont été supposés plus haut essentiellement positifs, c'est un invariant intégral positif.

Soient Fo une aire quelconque située dans le demi-plan

(7 = 0, x>o), et Fi sa conséquente.

Soient Jo l'intégrale

(5) JMQpdpdz,

étendue à l'aire plane Fo, et J< la même intégrale étendue à l'aire plane Ff .

Soit alors <I>o le volume engendré par l'aire Fo quand on la fait tourner autour de l'axe des z d'un angle infiniment petit e, l'intégrale (4) étendue à $0 sera évidemment JoE.

Soit de même <ï>4 le volume engendré par l'aire F, quand on la fait tourner autour de l'axe des z d'un angle e, l'intégrale (4) étendue à <!>( sera J, e.

L'invariant intégral (4) devant avoir même valeur pour $„ et pour $1, on doit avoir

Jo = Jl.

Ainsi, l'intégrale (5) a même valeur pour une aire quelconque et sa conséquente.

C'est une nouvelle forme de la propriété fondamentale des invariants intégraux.

306. Soit alors une courbe fermée Cq située dans le demi-plan (j)r = o, :r >> o) et enveloppant une aire Fq. Soit C( la conséquente de Co, ce sera aussi une courbe fermée qui enveloppera une aire F,, et cette aire F, sera la conséquente de Fq.

Si l'intégrale (5), étendue à Fq et à F, , a pour valeur Jq et J, ,

on aura

Jo = Ji,

et il suit de là que Fo ne pourra être une partie de F,, et F, une partie de Fo-

Quatre hypothèses peuvent être faites sur la position relative des deux courbes fermées Cq et C,.

1° C, est intérieur à Coî

2° Co est intérieur à C| ;

3° Les deux courbes sont extérieures l'une à l'autre;

4° Les deux courbes se coupent.

L'équation Jq = Jj exclut les deux premières de ces hypothèses.

Si, pour une raison quelconque, la troisième se trouve également exclue, on sera certain que les deux courbes se coupent.

Supposons, par exemple, que X, Y, Z dépendent d'un paramètre arbitraire [i, et que, pour p. = 0, Cq soit sa propre conséquente; alors, pour les valeurs très petites de [x, Cq difFérera très peu de C,; il ne pourra donc pas arriver que les deux courbes Cq et Cl soient extérieures l'une à l'autre, et il faudra qu'elles se coupent.

Courbes invariantes.

307. J'appellerai courbe ùiçariante toute courbe qui sera sa propre conséquente.

Il est aisé de former des courbes invariantes ; soient, en effet, Mo un point quelconque du demi-plan. M, sou conséquent; joignons Mo à M, par un arc de courbe quelconque Co ; soit C, le conséquent de Co, Co celui de Ci, et ainsi de suite. L'ensemble des arcs de courbe Co, C,, C2, ••• constituera évidemment une courbe invariante.

Mais nous serons amenés aussi à envisager des courbes invariantes dont la génération sera plus naturelle.

Supposons que les équations (i) admettent une solution pério-

THÉORIE DES CONSÉQUENTS. I^g

dique. Soient

(6) x = ^i(t), y = cp,(0, z = Os{t)

les équations de cette solution périodique, de telle façon que les fonctions cp/ soient périodiques en i, de période T.

Je suppose que, quand t augmente de T, lo augmente de 2tt.

Les équations (6) représentent une courbe; soit Mo le point où cette courbe coupe le demi-plan; ce point Mq sera évidemment son propre conséquent.

Supposons maintenant qu'il existe des solutions asjmptotiques très voisines de la solution périodique (6). Soient

(7) :r = *i(0, y = <P.2it), ^ = <ï>,(0

les équations de ces solutions.

Les fonctions <ï>, seront développables suivant les puissances de Ae"^, les coefficients étant eux-mêmes des fonctions périodiques de t. Dans celle expression, a est un exposant caractéristique, A est une constante d'intégration.

Dans les équations (7), les trois coordonnées x, y, z se trouvent donc exprimées en fonction de deux paramètres, A et t] ces équations représentent donc une surface que l'on peut appeler la sw^face asymptotiqiie. Cette surface asymptotique va passer par la courbe (6); puisque les équations (7) se réduisent aux équations (6), quand on y fait A = o.

La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une certaine courbe qui passe par le point Mo et qui est manifestement une courbe invariante.

308. Considérons une courbe invariante K. Je suppose que X, Y, Z dépendent du paramètre [x, ainsi d'ailleurs que la courbe K..

Je suppose que pour [x=o, la courbe K soit fermée, mais qu'elle cesse de l'être pour les petites valeurs de [x.

Soit Aq un point de K. La position de ce point dépendra de ]x\ pour pi == o, la courbe K est fermée, de sorte que, après avoir parcouru cette courbe à partir de Aq, on revient au point Ao ; si \t. esl très petit, il n'en sera plus de même, mais on reviendra passer très près de Ao ; il y aura donc sur la courbe K un arc de courbe différent de celui oii se trouve Ao, mais qui viendra passer très

près de Aq. Soit Bq le point de cet arc de courbe qui est le plus voisin de Aq.

Je joins AoBq.

Soient Al et Bf les conséquents de Aq et Bq; ces deux points se trouveront sur K; soit A, B, la courbe conséquente de la petite droite AoBq.

Nous aurons à envisager la courbe fermée Cq qui se compose de l'arc AqMBo de la courbe K compris entre Ao et Bq et de la petite droite AqBq. Quelle sera sa conséquente?

Supposons, pour fixer les idées, que les quatre points A,, Aq, B, , Bo se succèdent sur K dans l'ordre Ai Ao B, Bq.

La conséquente C^ de Co se composera de l'arc A(MB, de la courbe K et du petit arc A, B, , conséquent de la petite droite AqBo.

On peut faire plusieurs hypothèses :

i" Le petit quadrilatère curviligne AoBoAjBj est convexe, je veux dire qu'aucun de ses côtés curvilignes ne présente de point double et que les seuls points communs à deux côtés sont les sommets. Dans cette hypothèse, la courbe se présenterait comme l'indique l'une des deux figures suivantes

Fig. I.

Cette hypothèse doit être rejetée, car il est manifeste que l'intégrale J est plus grande dans le cas de la Jig. i pour C, que pour Co, et plus petite dans le cas de \^ Jig. 2.

a'* L'arc A.qKx oî^BoB, a un point double. — S'il en était ainsi sur la courbe invariante K, il devrait y avoir un point double sur

THÉORIE DES CONSÉQUENTS. l8l

l'arc qui joint un point quelconque de la courbe à son premier conséquentj nous supposerons qu'il n'en est pas ainsi; et, en effet, cette circonstance ne se présentera dans aucune des applications que j'ai en vue ; elle ne s'appliquera pas, en particulier, dans le cas de la courbe invariante engendrée par une surface asymptotique ainsi que je l'ai expliqué à la fin du numéro précédent. Il est aisé de constater, en effet, que la surface asymptotique ne présente pas de ligne double si l'on se borne à la portion de cette surface qui correspond aux petites valeurs des quantités que j'ai appelées plus haut Ae°''.

D'autre part, la droite AoBq n'a pas de point double, et il doit en être de même de sa conséquente A,B,. En résumé, nous supposerons que les quatre côtés de notre quadrilatère n'ont pas de point double.

3° L'arc AqA, coupe l'arc BoB,. — (Ce cas contient comme cas particulier celui où la courbe K serait fermée.) Nos courbes présentent alors l'aspect de \d.fig. 3.

4° L'arc AqBo coupe son conséquent A(B,. — Nos courbes présenteraient alors l'aspect de \d,fig. 4-

Il y a des cas où l'hypothèse doit être rejetée. Supposons, par exemple, queX, Y, Z dépendent d'un paramètre [jl; que pour p. = o la courbe K soit fermée et que chacun de ses points soit son propre conséquent, de telle façon que pour |Ji == o les qualre sommets du quadrilatère se confondent.

Alors les quatre distances AqBo, A^B,, A, Aq, B, Bq seront des infiniment petits si p. est l'infiniment petit principal. Supposons

que A, Ao soit un infiniment petit d'ordre /?, AqBq un infiniment petit d'ordre q^ et que q soit plus grand que/?.

Comme AjB, est le conséquent de AoBq, la longueur de l'arc A,B, devra être d'ordre q. Soit alors C l'un des points d'intersection de AqBo. Dans le triangle mixtiligne dont deux côtés sont les droites A| Ao et AoC et le troisième côté l'arc de courbe A, C

faisant partie de A, B^ ; le côté A^ C est plus grand que la différence des deux autres; il devrait donc être d'ordre/? et nous avons vu qu'il doit être d'ordre q.

L'hypothèse doit donc être rejetée.

5° Deux côtés adjacents du quadrilatère se coupent, par exemple A, Ao et A, B) . — Il faut alors que AqBq, qui est l'antécédent de A, B,, coupe lui-même K; si A'^ est l'intersection de A„Bo avec K et A', celle de A) B, avec l'arc Aq A, , A', sera le conséquent de A'(, et nous tomberons sur la figure suivante

11 est manifeste que A'^ et A', peuvent jouer le même rôle que Ao et A, et que l'on retombe sur le premier cas.

THÉORIE DES CONSÉQUENTS. ï83

Celle nouvelle hypothèse doit donc être rejetée.

En résumé les deux arcs Aq A, et BqB, se couperont toutes les fois que pour une raison ou pour une autre les hypothèses 2° et 4" devront être rejetées.

Il resterait à examiner le cas où les points A,, Aq, B,, Bq se suivraient sur R dans un ordre différent. Les ordres BiBqA, Aq, BoB,AoA,, AqAjBqB, ne diffèrent pas essentiellement de celui que nous venons d'étudier.

Les ordres tels que A,B|BoAo, A, BoB, Ao, A, BqAoB,, ... ne se présenteront pas dans les applications qui vont suivre; nous supposerons toujours en effet que si, u. est très petit, les distances AqA, et BoB, sont très petites par rapport à la longueur des arcs Ao MB» ou A, MB, .

Il reste l'ordre A| AoBqBi ou les ordres équivalents; nous n'en parlerons pas non plus; il est clair que, s'il se présente, il y aura sur l'arc AqMBo un point qui sera son propre conséquent.

309. Supposons par exemple que les équations (i) admettent une solution périodique

(6) x = o,{t), y = o,(th ^ = ^i(t)

et des solutions asymplotiques

(7) ^=^<Pi(i), J=*2(0, -=*3(0-

Supposons que les équations (i) dépendent d'un paramètre très petit p. et que X, Y, Z soient développables suivant les puissances de ce paramètre.

Supposons que, pour ui :^ o, les solutions asymplotiques (7) se réduisent à des solutions périodiques. Voici comment cela pourra se faire. Nous avons dit que les $j sont développables suivant les puissances de Ae°'^, les coefficients étant eux-mêmes des fonctions périodiques de t. Mais l'exposant a dépend de [x; supposons qu'il s'annule pour p. = o ; alors pour p. = o les fonctions <ï>j deviendront des fonctions périodiques de t et les solutions (7) se réduiront à des solutions périodiques.

La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une

l84 CHAPITRE XXVII.

certaine courbe Co qui passe par le point Mq, intersection du demi-plan avec la courbe gauche (6).

La courbe Co est manifestement invariante, comme je l'ai dit à la fin du n° 307; pour [Ji-^o, chacun des points de Cq est son propre conséquent.

Je supposerai de plus que, pour [j. = o, la courbe Cq est fermée.

Reportons-nous au Chapitre VII, tome I; nous avons vu aux n°^ 107 et suivants que, dans le cas de la Dynamique, les exposants caractéristiques sont développables suivant les puissances de y/uL et sont d'ailleurs deux à deux égaux et de signe contraire. Nous supposerons qu'il en est ainsi.

Nous avons alors en réalité deux surfaces asympiotiques correspondant aux deux exposants égaux et de signe contraire a et — a; nous avons donc deux courbes Co qui iront se couper au point Mq.

Nous distinguerons quatre branches de courbe

aboutissant toutes quatre au point Mq ; C^ et C'^ correspondront à l'exposant a, C'^ et C'[ à l'exposant — a.

Figr. 6.

Ces diverses branches de la courbe sont représentées sur la /lg\ 6. La branche C^ est la branche MoPoPi AoA, , la branche C^ est la branche MoEqE, ; la branche C\ est la branche MoQiQo et la branche C'I est la branche MoRiRoBi Bo-

Ces quatre branches de courbe sont évidemment invariantes.

Maintenant, pour |jl = o, C^ se confond avec C'^, C„ avec C'[ et

THÉORIE DES CONSÉQUENTS. l85

(si nous supposons que, pour [jl = o, la courbe Co que nous appellerons alors Cq est fermée) ces quatre branches de courbe iront s'appliquer sur la courbe fermée Cq.

On peut déduire de là que, pour [j. très petit, ces branches de courbe différeront peu les unes des autres; que C^ s'écartera peu de C'^, Cl de C, et que C^ suffisamment prolongé ira passer très près de C^' suffisamment prolongé.

J'ai marqué sur la figure divers points de ces branches de courbe et leurs conséquents. Ainsi A,, Bj, E,, Pi, Q, , R, sont respectivement les conséquents de Aq, Bq, Eq, Pqi Q05 Ro-

Ce que nous remarquerons d'abord, c'est que les points A), Aq, B), Bo se succèdent bien (comme nous l'avons supposé au début du n° 308) dans l'ordre A, AqB, Bq quand on parcourt de A, à Bq la courbe invariante formée des deux branches G'^ et C'[.

Cette courbe invariante n'est pas fermée, mais elle diffère peu de la courbe fermée C°.

Examinons, en ce qui la concerne, les cinq hypothèses du n° 308. La première, comme nous l'avons vu, doit toujours être rejetée. La seconde ne se présentera pas non plus.

Elle ne pourrait se présenter, en effet, que si la surface asymptotique (7) avait une ligne double.

Nous avons dit que les <ï>j sont développables suivant les puissances de Ae^'; soit donc

Si notre surface avait une ligne double, cette ligne double devrait satisfaire aux équations (i); en effet, la surface asymptotique est engendrée par une infinité de lignes satisfaisant à ces équations de telle sorte que, si deux nappes de cette surface venaient à se couper, l'intersection ne pourrait être autre chose qu'une de ces lignes.

Comme <ï>/ dépend à la fois du temps t et du paramètre A, nous mettrons ce fait en évidence en écrivant

S'il y avait une ligne double, nous devrions avoir les trois

identités

l86 CHAPITRE XXVII.

OÙ A et B sont deux constantes et où t' est une fonction de t\ ces trois identités devraient subsister quel que soit t. En difFérentiant, on aura

d^i d^i dt' dt dt' dt

Mais, en vertu des équations (i), on aura

et de même

d'où

d^i d^i dt'

d'où

dt dt' ' dt '

h étant une constante.

On tirerait de là

*? ( t) + Ae"^*! ( 0 + A2 e2a' *? (î) = *? (ï + A) + G e^'^^K ^ ^ A) -i- . . . ,

où

G = Be«/'.

L'identité devant être vraie pour z = — oo, d'où

il vient

^\{t)^^\{t^h), d'où h=^o, d'où

*,?( 0 + Ae«'*l ( 0 -+-••■= *f (0 + Ge«'*/ ( 0 + •• • ou

A*,î(^)+ A2e«f<î>?(i)4-...= G*l(r)^ G2eaï4>2(^)^.. . ou, en faisant encore ^ = — oo,

Les deux valeurs A et B étant égales, il n'y a pas de ligne double.

La troisième hjpolhèse est celle qu'il convient d'adopter.

Passons à la quatrième; pour voir si elle doit être rejetée, il faut chercher à se rendre compte de l'ordre de grandeur des distances A, x\o et AqBo : c'est ce que nous ferons dans les diverses applications qui vont suivre.

Enfin, la cinquième hypothèse se ramène toujours à la première, comme nous l'avons vu.

Extension des résultats précédents.

310. Nous avons fait plus haut sur les équations (i) des hypothèses très particulières; mais toutes ne sont pas également nécessaires.

Considérons, en effet, un domaine D simplement connexe et faisant partie du demi-plan (j/ = o, ;r > o), et supposons que l'on sache d'une manière quelconque que, si le point (.r, y, z') se trouve à l'origine du temps en un point Mq de ce domaine, to va en croissant constamment de o à 271 quand t croît de o à ^0 1 de telle façon que la courbe satisfaisant aux équations (i) et passant par le point Mo, en la supposant prolongée depuis ce point Mo jusqu'à sa nouvelle rencontre avec le demi-plan, n'est jamais tangente à un plan passant par l'axe des z.

Alors on pourra définir, comme au n° 305, le conséquent du point Mo, et il est clair que tout ce qui précède sera encore applicable aux figures qui se trouvent à l'intérieur du domaine D.

Il ne sera pas nécessaire que les courbes qui satisfont aux équations (i) et qui viennent rencontrer le demi-plan en dehors de D soient assujetties à ne jamais être tangentes à un plan passant par l'axe des z. Il ne sera pas nécessaire non plus que X ^=y =iO soit une solution des équations (i).

Alors, si Co est une courbe fermée intérieure à D et si C) est sa conséquente, les deux courbes seront extérieures l'une à l'autre ou se couperont.

Les résultats du n° 308 seront également applicables aux courbes invariantes qui ne sortiront pas du domaine D; et, si même une courbe invariante sort du domaine D quand elle est

l88 CHAPITRE XXVII.

suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.

311. Considérons maintenant, au lieu d'un domaine plan D, une aire courbe S simplement connexe. Par un point Mq de cette aire courbe faisons passer une courbe y satisfaisant aux équations (i) et prolongeons cette courbe jusqu'à ce qu'elle rencontre de nouveau S 5 le nouveau point d'intersection M, pourra encore s'appeler le conséquent de Mq.

Si nous considérons deux points, Mo et M'^, très voisins l'un de l'autre, leurs conséquents seront, en général, très voisins l'un de l'autre; il y aurait exception si le point M, se trouvait sur le bord de S, ou si la courbe y touchait la surface au point M, ou au point Mq. Sauf ces cas d'exception, les coordonnées de Mi sont des fonctions analytiques des coordonnées de Mo-

Pour éviter ces cas d'exception, je considérerai un domaine D faisant partie de S et tel que la courbe y, issue d'un point Mo intérieur à D, vienne recouper S en un point M, qui ne vienne jamais sur le bord de S ; tel aussi que la courbe y ne touche S ni en Mo, ni en Mi. Je supposerai enfin que ce domaine D est simplement connexe.

Adoptons un système particulier de coordonnées que j'appellerai, par exemple, i, t) et Z, et pour lesquelles je supposerai seulement ce qui suit :

1° Quand \l\ et |7i| seront plus petits que i, les coordonnées rectangulaires x, y et z seront des fonctions analytiques et uniformes de i, v] et ^, qui seront périodiques de période 2-n: par rapport à ^.

2° A un point {x,y, z) de l'espace ne pourra correspondre plus d'un système de valeurs de i, vi, (i^ tel que

(A) l^l<i, I^jK', o<Ç<2Tr.

3° Quand on fait ^^ = 0, ou ^ = 27: et qu'on fait varier l et '/] de — I à + I , le point x, j, z décrit la surface S, ou une portion de cette surface comprenant le domaine D.

4° Des conditions (i) et (2) il résulte que le déterminant fonctionnel A de ^, -/i, ^ par rapport k x^y, z n'est jamais infini ni nul quand les inégalités Çk) sont remplies.

5° On peut transformer les équations (i) en les mettant sous la forme , i- \ dl dri dr^

('^") ^=^' dt^^' Tt^^-

Je supposerai que Z* reste positif pour

\\\<l, |-rj<i, Ç=o.

Les équations (i his) admettront l'invariant intégra

^ d\ d-q di^,

et les équations

d^ S dr, U dC

^^^''^ lix^-T*' ~d^-l?' ^

admettront l'invariant intégral

d\di\ dC^

Soit Fo une figure quelconque faisant partie de D et Fi sa conséquente; supposons que les différents points de Fq et de Fi se déplacent de telle façon que \ et Tj restent constants et que X^ croisse de o à s, e étaat très petit; la figure Fo engendrera un volume <ï>o et la figure F, engendrera un volume ^\ ; l'intégrale

/ —^ d\ dq dl = zj —^ d\ dri

aura même valeur pour <ï>o et pour $, ; donc l'intégrale double

•MZ'

^ d'id'^:

analogue à l'intégrale (5) du n° 305, aura même valeur pour Fq et ¥^. Elle est d'ailleurs essentiellement positive.

Il résulte de là que les résultats du n° 306 sont applicables aux courbes fermées Cq situées à l'intérieur de D, et que ceux du n° 308 sont applicables aux courbes invariantes K, ou du moins à la portion de ces courbes qui est à l'intérieur de D.

Même une courbe invariante sort du domaine D quand elle est suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.

igo CHAPITRE XXVII.

Application aux équations de la Dynamique.

312. Soit F une fonction des quatre variables .r,, Xo, j^, , j/-^; formons les équations canoniques

dxi rfF dji c?F

^ ' dt dyi dt dxi

Je supposerai, comme je le fais d'ordinaire :

1° Que F est une fonction périodique de j-, et j^^o ;

2" Que F dépend d'un paramètre [j. et est développable suivant

les puissances de ce paramètre sous la forme

F = Fo+ [JiFi-^-jt^F,^...;

3'^ Que Fo est fonction seulement de x^ et de x^. Cela posé, nous aurons l'intégrale

G étant une constante.

Cela posé, donnons à C une valeur déterminée une fois pour toutes et soit M un point mobile dont les coordonnées rectangulaires sont

[i-hcp(a7j)cos7i]cos72, [i + T(a?i) cosjki] sinj,, cp(a7i) sinji.

La fonction ^(^i) est une fonction de av, que je me réserve de déterminer plus complètement dans la suite.

Supposons d'abord que F, qui dépendra de x<i d'une manière quelconque, soit développable suivant les puissances croissantes de X\ cosj/i et a:< siny, . Il en résultera que, pour x^ = o, la fonction F ne dépendra plus dejKi et, d'autre part, que la fonction F ne changera pas quand on changera x^ en — x^ et jki eny. H- tt. Nous supposerons alors que 9 (.2^1 ) est une fonction impaire de Xx qui croît de o à i quand X\ croît de o à + (x; on pourra prendre par exemple

Cf(a7i)= ,

Si l'on adopte cette hypothèse, le point M sera toujours à l'intérieur d'un tore de rayon i, tangent à l'axe des z.

A chaque point M intérieur à ce tore, correspondront une infinité de systèmes de valeiu's de ^i,jKi etjK2; niais ces systèmes ne seront pas essentiellement distincts les uns des autres, puisqu'on passe de l'un à l'autre en augmentante^, ou y^ d'un multiple de 2tc ou en changeant X\ en — Xi eiy\ enjKi + "•

Si l'on se donne ^i , j^i etyo , X2 s'en déduira à l'aide de l'équation (2). Supposons que les variables .27 etjK varient conformément aux équations (i), le point M correspondant décrira une certaine courbe que j'appellerai trajectoire.

Par chaque point intérieur au tore passe une trajectoire et une seule.

Il est aisé de voir quelle est la forme de ces trajectoires pour u = o.

Pour fA = o, les équations différentielles se réduisent à

dxj dyj^ c?Fo

dt ' dt dxi

Les Xi sont donc des constantes, ce qui montre que nos trajectoires sont situées sur des tores, et les yi sont des fonctions linéaires du temps ; car

dxi

= nt^

ne dépendant que des xi^ est une constante.

Si le rapport ;?, ; n^ est commensurable, les trajectoires sont des courbes fermées; elles ne sont pas fermées, au contraire, si ce rapport est incommensurable.

Soient m,, m^^Pi-, p^. quatre entiers tels que

posons

L'identité

nixpi

) — m^pi = i;

'«iJKi -^ '«272

P^yx ^Pifi^

PtXy —PyX-2,

- in=iXi-{- niiX-2

'.y'-2 = ^iyi'^^

Xi y 2

montre qu'en passant des variables ^/, yt aux variables x-, y), on n'altère pas la forme canonique des équations.

iga CHAPITRE XXVll.

Nous supposerons que n^ ne s'annule pas quand Xf reste inférieur à une cerlaine limite a. Alors -—■ conservera toujours le même signe et l'on aura, par exemple,

Cette inégalité, vraie pour jjc = o, le sera encore pour les petites valeurs de p..

Alors les relations

jK2 = o, \Xi\<:a — z

définiront un certain domaine plan D qui aura d'ailleurs la forme d'un cercle.

Les trajectoires issues d'un point de ce domaine ne seront alors jamais tangentes à un plan passant par l'axe des z, du moins avant d'avoir recoupé de nouveau le demi-plan y.2 = o. Notre domaine pourra donc jouer le rôle du domaine D du n" 310.

Les équations (i) admettent l'invariant intégral

dx 1 dx^ dy i dy<i ,

d'où l'on déduit le suivant à l'aide de l'intégrale F = const.

' dxi dyi dy=i dY

T.»^ . d¥ , 1 , dVi , ' .• c r T • T

Mais -% — est égal a —^ et par conséquent negatir. L invariant J

est alors un invariant positif.

Les résultats des n"* 306 et 308 sont donc applicables aux courbes tracées dans le domaine D.

Cela posé, soit b une valeur de x^ plus petite que a — s et telle

que les valeurs correspondantes de n^ et de /22 satisfassent à la

relation

mini-î- in^iii = o,

où ln^ et m^ sont deux entiers premiers entre eux.

La courbe

Xi,= b,

qui est une circonférence, sera une courbe invariante pour pi = o.

En supposant toujours [j^ = o, les trajectoires issues des divers poinls de cette circonférence auront pour équation générale

ji = rtj i -+- const., ^^2 = '2-2^ -I- const,,

d'où

yi= — y^-^ const.

Pour avoir les conséquents successifs d'un point donné, il suffira de faire successivement

J2=0, j2=2Tr, j2 = 4Tt, ..., 72=2^:11.

Pour passer d'un point à son conséquent il suffît donc d'aug- ' menter y, de

d'où il suit que tous les points de la circonférence invariante Xi=b coïncideront avec leur m'^'^'^ conséquent.

Ce point et ses m, — i premiers consécjuents sont distribués sur cette circonférence dans vm ordre circulaire qu'il est aisé de retrouver quand on connaît les deux entiers mi et /?^2; je l'appellerai l'ordre Q.

Ne supposons plus p. = o ; les écjuations (i), d'après le Chapitre III, admettront encore des solutions périodiques peu différentes des solutions

Xi=^ b, 7i = Tii? + const., y^ = n^t -{- consl.

Elles en admettront au moins deux dont l'une instable et l'autre stable. A chacune de ces solutions périodiques correspondra une trajectoire fermée; je considère une de ces trajectoires que j'appelle T et qui correspondra à une solution instable, afîn que parT passent deux surfaces asjmptotiques.

Soit Mo le point où cette trajectoire perce le demi-plan yo = O7 Ml, Mo, ... ses conséquents successifs {Jig. 7). Le point Mo coïncidera avec son /m^^™® conséquent M^^-

Je joins le point M^ au centre de la circonférence Xi^b; le rayon ainsi mené coupera la circonférence en un point M'^ très voisin de M^. Les divers points M);, se succéderont sur la circonférence dans l'ordre circulaire 0.

H. P. - III. i3

J'ai fait la figure en supposant, pour fixer les idées, m^ = 5, /?2o=2. La trajectoire fermée T coupe le demi-plan aux cinq points Mo, M,, Mo, M3, M4. Par cette trajectoire passent deux surfaces asjmptotiques qui se coupent.

L'intersection de ces surfaces asjmptotiques avec le demi-plan se composera de diverses courbes; nous aurons deux courbes se coupant en Mo, deux en M,, deux en Mo, deux en M3, deux en M/,. Toutes ces courbes sont représentées sur la figure.

Fig. 7.

Considérons en particulier les deux courbes qui passent en Mol nous distinguerons quatre brandies de courbe, à savoir MqAq, MoBo, MoPo, MoQo; les deux premières sont représentées en trait plein, les deux dernières en trait pointillé^ la première et la troisième, comme la deuxième et la quatrième sont dans le prolongement l'une de l'autre.

De même à chacun des points M aboutiront cjuatre branches de courbe dont deux sont représentées en trait plein et deux en trait pointillé et qui sont deux à deux dans le prolongement l'une de l'autre.

Soit Ao un point de la branche MoBo; par Ao menons un rajon allant au centre de la circonférence X\=^b et prolongeons ce rayon jusqu'en Bq à sa rencontre avec la courbe en trait

THÉORIE DES CONSÉQUENTS. IqS

plein M3B0. Comme u. est très petit et que toutes nos courbes diffèrent très peu de la circonférence x^=ib, le segment AqBo sera très petit.

Nous voyons alors que M, A,, MoAo, M3A3, M4A4, M0A5 sont les conséquents successifs de MoAq; que M4B,, MqBo, M,B3, MoB.,, M/^Bg sont ceux de M3B0 et enfin que A,B,, A2B2, . . ., AgBj sont ceux de AqBo.

Les arcs AjB,, AoBo, ..., A3B5 ne sont plus rectllignes en général, mais sont des arcs de courbe très petits.

La partie de la figure en trait plein reproduit alors les Jïg. 1 ou 2 du n° 308; et l'ensemble de nos courbes en trait plein représente une courbe invariante K.

J'ai fait la figure dans la première hypothèse qui, comme nous l'avons vu, doit être rejetée ainsi que la cinquième; d'après ce que j'ai dit au n° 309, il en est de même de la deuxième.

Il faut examiner la quatrième avec plus de détail. Pour cela, cherchons l'équation de nos surfaces asymptotiques. D'après ce que nous avons vu au n° 207, cette équation peut s'obtenir de la façon suivante :

On forme une fonction S qui est développable suivant les puissances de y/ [A, de telle sorte que

v/[J!.Si-i-. . .+ [Ji^ S

Quant à S^, c'est une fonction périodique de période air par rapport à jkI et 4"^ P^i' rapport à y\ . Nous aurons ensuite

, c/S , dS

(4) ^'="''dy;^"''dy::

L'équation (4) est l'équation de la surface asymptotique.

Si la série S était convergente, la périodicité des S^, entraînerait cette conséquence que nos courbes devraient être fermées et que les deux points Aq et Bq coïncideraient. Mais il n'en est pas ainsi (c/. n° 225, et sqq.).

Que signifie alors l'équation (4)? l^i'e ne peut être vraie qu'au point de vue formel j c'est-à-dire que si S^ est la somme des p -\- i

ig6 CHAPITRE XXVII.

premiers termes de la série S de telle façon que

-/; = So -V- /l-^ Si + . . . 4- [a 2 Sp,

l'équation

a bis) ^^^'"'^^"^^^

sera vraie aux quantités près de l'ordre i,». ^ .

Mais l'équation (4 bis) représente une surface fermée et p est aussi grand que l'on veut.

Nous devons donc conclure que la distance AqBo est un infiniment petit d'ordre infini (c/. n"^ 225 et suivants). D'autre part, la distance AqA^ (ou B0B3) est de l'ordre de y/[j. et est par conséquent infiniment petit d'ordre ^.

La distance AoBq est donc infiniment petite par rapport à AqA], ce qui montre que la quatrième hypothèse doit être rejetée.

La seule hypothèse possible est donc la troisième.

Donc les deux arcs Aq A5 et BqB;; se coupent.

Application au problème restreint.

313. Je vais appliquer les principes précédents au problème du n° 9 et j'adopterai les notations de ce numéro; nous aurons par conséquent les équations canoniques

dx'i

dy'i dF'

dt

~ dy'i'

dt dx'i

où l'on a posé

Xy = L,

x'^ = G, 7'2 = ft- - ^

et, d'autre part,

= R-hG

:= Fo-h [JtFi + . .

Fo =

Posons maintenant

(Ti = L — G, X2 = L + G,

THEORIE DES CONSEQUENTS. I97

les équations conserveront la forme canonique et deviendront

on aura d'ailleurs

d'où

ni

clxi d^' dyt d^'

dt dyt dt dxi'

Fn =

Xi Xi

(Xx-^Xi)'^

(.ri -H 373)3 a " (a?i+a72)-^ 2

Si nous supposons l'excentricité très petite, L et G différeront très peu en valeur absolue; donc l'une des deux quantités x^ et x-2 est très petite.

J'observe de plus que les égalités

L = y/a, G = ya{i — e-)

montrent que G est toujours plus petit que L en valeur absolue. Donc X\ et x-i sont essentiellement positifs.

Supposons X\ très petit, la fonction F' sera une fonction de a et de l -\- g — t développable en outre suivant les puissances de ecoso- et de esin^-. Ce sera donc aussi une fonction de x^ et de j'o développable en outre suivant les puissances de

v/a7i cos/i et s/x^ sinjKi.

Elle sera périodique de période 271 tant eny^ qu'en j/o-

Si, au contraire, c'est x^ qui est très petit, la fonction F' sera une fonction de X\ et de j-,, développable en outre suivant les puissances de

yx2 COSJK2 et /■^2 sinjKî-

Mais nous supposons nos quatre variables x ei y liées par

l'équation des forces vives

cette équation se réduit approximativement à

Fo = C.

Construisons la courbe Fq = G en prenant Xi et X2 comme les coordonnées d'un point dans un plan.

L'équation peut s'écrire

{xi-\- x^y^id -\- xi — x^) = 4-

igS CHAPITRE XXVII.

Cette courbe a deux asymptotes

et elle est symétrique par rapport à la première de ces deux asymptotes.

Mais il importe de remarquer que la seule partie de la courbe qui nous soit utile est celle qui est située dans le premier quadrant

Suivant les valeurs de C, la courbe peut présenter une des formes représentées par les deux figures suivantes :

Fis-. 8.

Les axes de coordonnées sont représentés en Irait mixte, les asymptotes et les parties utiles de la courbe en trait plein, les parties inutiles de la courbe en trait pointillé.

Nous supposerons que l'on donne à C une valeur telle que la courbe présente la forme de la /ig. 9 et qu'elle comprenne deux arcs utiles AB et CD. Nous n'envisagerons d'ailleurs que l'arc AB.

Remarquons que quand on parcourt cet arc AB, Xt décroît constamment de OA à zéro, Xo croît constamment de zéro à OB et — croît constamment de zéro à -f- co.

Si nous coDstruisons maintenant la courbe F = C en regardant ji et y2 comme des constantes et ^, et X2 comme les coordon-

nées d'an point dans un plan, la courbe différera peu de Fq = C et pourra encore être représentée par \Q.Jîg. 9; elle aura un arc

utile AB et quand on parcourra cet arc le rapport — croîtra constamment de zéro à + 00.

Fi

On est ainsi conduit au mode de représentation géométrique suivant : on représentera la situation du système par le point

dont les coordonnées rectangulaires sont

X2 C0SJK2

a?2 sinj)^2

v/a72 -1- 4 a?i — 2 s/~xi

Xi cosj-i

a?! cos 7"i \J x%^ ^x^-

2 sj Xx sinjKi sj x=> 4- 4^1 ^ 2 y/rz"! cosjKi

Ces trois fonctions sont développables suivant les puissances de y/^'i cosj/, et sjx^ ûx\y^^ si x^ est très petit, et suivant celles de \J x-i cosjj/o et \/^2 sinj^a? si x^ est très petit. Elles ne dépendent que du rapport — •

A chaque système de valeurs de y, et de/K2 et à chaque point

de l'arc utile AB correspond ainsi un point de l'espace et un seul.

Le déterminant fonctionnel des trois coordonnées par rapport

''^ y^i y-i et au rapport

conserve toujours le même signe.