Considérons un système d'équations

(i) 'di ^^' (f = i, 2, ..., ri),

OÙ les Xi sont des fonctions de .^i, Xo, . . ., x,i, et de t, périodiques de période T par rapport à t.

Soit

(2) Xi=(t:i{t)

une solution périodique de période T des équations (i).

Nous allons chercher si les équations (1) admettent d'autres solutions périodiques, très voisines de (2) et dont la période soit multiple de T.

Ces solutions, si elles existent, s'appelleront solutions périodiques du deuxième genre.

Considérons une solution des équations (i), très voisine de (:>,). Soit

la valeur de xi pour ^ == o et

la valeur de Xi pour t = A^ï (A- étant un entier).

Les ^j et les ^\i dont la définition est ainsi la même qu'au Chapitre ni seront très petits et l'on verrait comme au Chapitre III que les '| sont des fonctions des [3, développables suivant les puissances croissantes des [i.

Pour que la solution soit périodique de période AT, il faut et

H. P. -ni. i4

il suffît que

Les Oi{t) étant des fonctions périodiques, les t|^ s'annulent avec les [3.

Nous supposerons que les fonctions X^- qui figurent dans les équations ( i ) dépendent d'un certain paramètre |jl. Alors, les fonctions ^i{t) dépendront non seulement de t, mais de jjl; par rapport à f, elles seront périodiques de période T, T étant une constante indépendante de |j..

Dans ces conditions, les fonctions <]>, dont la définition reste la même, dépendront non seulement des p, mais de [j.. Si nous regardons

comme les coordonnées d'un point dans Tespace k n -\- i dimensions, les équations (3) représentent une courbe dans cet espace. A chaque point de cette courbe correspondra une solution périodique, de période AT.

Comme les <ii s'annulent tous, quand les [îi s'annulent tous à la fois, cette courbe comprendra la droite

(4) pi= p2 = ...= p„, = o.

Aux différents points de cette droite correspondra la solution (2) qui, étant une solution périodique de période T, est, par cela même, une solution périodique de période kT.

Mais nous devons nous demander s'il existe d'autres solutions périodiques, voisines de la première, ou, en d'autres termes, si la courbe (3) comprend, outre la droite (4), d'autres branches de courbe s'approchant très près de la droite (4)-

En d'autres termes, y a-t-il des points de la droite (4) par où passent des brandies de la courbe (3) autres que cette droite?

Soit

Pi= P2 =•• •= p/J = o, I-i = (J-o

un point P de la droite (4)-

Pour que par le point P passent plusieurs branches de courbe, il faut qu'en ce point P le déterminant fonctionnel, ou jacohien, des d», par rapport aux [3^ s'annule.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE. 2o3

Celte condition n'est d'ailleurs pas suffisante, comme nous le verrons plus loin, pour que par le point P passent plusieurs branches de courbe réelles.

Formons le déterminant des (L par rapport aux [5, ajoutons — S à tous les termes de la diagonale principale et égalons à zéro le déterminant ainsi obtenu. Nous obtiendrons ainsi l'équation connue sous le nom à'' équation en S.

Les racines de cette équation {Cf. n° 60) sont

a étant l'un des exposants caractéristiques des équations (i).

Pour que le déterminant fonctionnel soit nul il faut et il suffit qu'une des racines soit nulle; on doit donc avoir

ce qui veut dire que kaT soit un multiple de 2 i7t.

Donc, pour que par le point P passent plusieurs branches de courbe, il faut que V un des exposants caractéristiques soit

multiple de ^^yy •

315. Cette condition n'est pas suffisante et une discussion plus complète est nécessaire.

Posons

et cherchons à développer les fj suivant les puissances entières ou fractionnaires de \.

Nous supposons que le jacobien des 'i;, par rapport aux j3, est nul ; ce jacobien s'annule pour \ = o, mais ne sera pas en général identiquement nul; il faudrait pour cela que l'un des exposants caractéristiques fût constant, indépendant de [j. et égal à un multiple de --pp--

Nous supposerons donc que le jacobien s'annule pour X = o, mais que sa dérivée, par rapport à X, ne s'annule pas.

De même, nous supposerons d'abord que les mineurs du premier ordre de ce jacobien ne s'annulent pas tous à la fois.

Dans ce cas, en vertu du théorème du n° 30, de n — i des

équations (3) on pourra tirer ii — i des quantités [3 en séries développées suivant les puissances entières de ). et de la /i^*"'""" quantité p, par exemple de [i«.

Dans la /î""™*^ équation (3), substituons les valeurs de

Pi, h, ..-, P,t-i,

ainsi trouvées. Le premier membre de celte /i"^™^ équation se trouvera ainsi développé suivant les puissances de X et de (^„; écrivons-la sous la forme

J'observe d'abord que 0 doit être divisible par ^a-, car la droite (4) doit faire partie de la courbe (3).

D'autre part, la dérivée de 0 par i^apport à ^a doit s'annuler pour X = o, puisque le jacobien s'annule. Pour X = o, % ne contient donc pas de terme du premier degré; supposons qu'il ne contienne pas non plus de termes du deuxième, . . . , du jo — i ""'"" degré, mais qu'il contienne un terme de degré/?.

Enfin, comme la dérivée du jacobien par rapport à X ne s'annule pas, nous aurons un terme en X[3,,.

Je puis donc écrire

0 = AX13„+Bji;:-i-G,

C étant un ensemble de termes contenant en facteur p^"*"*, ^^1^,%

ou y^^ '^n ; et A et B étant des coefficients constants qui ne sont pas

nuls.

On voit qu'on peut tirer de là [3„ en série procédant suivant les

puissances de Tv'" ' et la question est de savoir si cette série est

réelle.

Si/» est pair, ou si,/? étant impair, A et B sont de signes contraires, la série est réelle et il existe des solutions périodiques du deuxième genre.

Si/? est impair et si A et B sont de signes contraires, la série est imaginaire et il n'y a pas de soUition périodique du deuxième genre.

Je suppose maintenant que non seulement le jacobien s'annule pour ). ^o, mais qu'il en soit de même de tous ses mineurs du premier, du second, etc., du p — i ''''"'' ordre. Je suppose

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE. 1o5

toutefois que les mineurs du y;'^'™" ordre ne sont pas tous nuls à la fois.

Dans ces conditions, d'après le n'^ 57, il y aura non pas un,

, . . . 1 . , , 2 iV

mais/» exposants caractéristiques qui seront multiples de -pfi-'

De n — p des équations (3), on pourra alors tirer n — p des quantités ^ sous la forme de séries développées suivant les puissances de "k et des/) dernières quantités [3.

Pour abréger le langage, je dirai les [5' pour désigner les n — p premières quantités (3, et les P" pour désigner les p dernières quantités [3. Nous aurons donc les [5' développées suivant les puissances de 7. et des ^".

Substituons ces développements à la place des [S' dans les p dernières équations (3), nous obtiendrons p équations

dont les premiers membres seront développables suivant les puissances de "k et des (S".

Le jacobien et ses mineurs des p — i premiers ordres étant nuls, ces premiers membres ne contiendront pas de termes du premier degré en [3" indépendants de \. Il faut voir maintenant si les premiers membres des équations (5) contiendront des termes du premier degré par rapport aux [3" et en même temps du premier degré par rapport à À.

Soit ^i l'ensemble des termes de 0/ qui sont du premier degré par rapport aux ^"; il est clair que 9/ pourra se développer suivant les puissances de \', soit

ce développement; les 8[^' seront des polynômes homogènes du premier degré par rapport aux ^" .

D'après ce qui précède, 0" sera identiquement nul; mais il faut voir s'il n'en est pas de même de 9^' .

Le jacobien des '\i par rapport aux |3 est égal à

— fM'T

le produit indiqué par le signe II s'étendant à n facteurs correspondant aux n exposants caractéristiques a.

Soient a, , ao, . . . , o.,i ces n exposants et soit

(p(a) = (,eA-aT).

le jacobien sera égal au produit

o(ai)œ(o:2) .. .cf(a„).

Pour 1 = 0, le jacobien s'annule ainsi que ses mineurs des p — I premiers ordres; il en résulte que /> des exposants sont

multiples de-pp' Donc,yO des facteurs cp(a) s'annulent pour )v = o

et sont, par conséquent, divisibles par ).. Le produit, c'est-à-dire le jacobien sera donc divisible par \p .

Nous supposerons que pour }v = o, aucun des -^ ne s'annule;

c'est ce que nous avions déjà supposé plus haut. Dans ces conditions aucun des ^{^'^•) n'est divisible par 1-. Donc le produit n'est pas divisible par \P'^^ .

Ainsi, le jacobien est divisible par \p ^ mais pas par )v/'+'.

Jl résulte de là que le déterminant des 6j est différent de zéro, et par conséquent qu'aucun des 9j ne s'annule identiquement.

Le cas le plus simple est celui où, pour À = 0, les termes du deuxième degré ne disparaissent pas dans les 0/ et où ces termes du deuxième degré ne peuvent pas s'annuler à la fois, à moins que tous les [5" ne s'annulent à la fois.

Soit alors 't\i l'ensemble des termes du deuxième degré de 0/ pour X = o.

Il suffira alors d'envisager les équations algébriques

T^/ + xe] =0,

dont les premiers membres sont des polynômes homogènes du deuxième degré par rapport à \ et aux [5".

Si ces équations admettent des solutions réelles, nous aurons des solutions périodiques du deuxième genre.

Je ne développerai pas la discussion dans les autres cas, me réservant de la faire complètement en ce qui concerne les équations de la Dynamique.

Cas OÙ le temps n'entre pas explicitement.

316. Supposons que les fonctions Xi qui figurent dans les équations (i) ne dépendent pas du temps t.

Dans ce cas, comme nous l'avons vu au n° 61, l'un des exposants caractéristiques est toujours nul.

D'autre part, si

est une solution périodique de période T, il en est de même de

quelle que soit la constante h.

Dans Je numéro précédent, nous supposions qu'iJ y avait, quel que soit pi, une solution périodique

et la période ne pouvait être que T, puisque les X/ étaient des fonctions périodiques de t, de période T.

La période était donc indépendante de [j..

Il n'en est plus de même ici. Nous supposerons toujours que, quel que soit [t., les équations (i) admettent une solution périodique

Mais la période dépendra de ^ en général. J'appellerai ï la période, et Tq la valeur de T pour u = p-o, c'est-à-dire pour )^ = o.

Nous modifierons alors un peu la définition des quantités (3 et ^î;.

Nous désignerons toujours par <fi{o') + (3^ la valeur de Xi pour ^ = o; mais nous représenterons par cpi;(o) -f- [3/-h (i/^- la valeur de Xi pour t = k (T -h t) (et non pour t = /cT).

Alors, les >\ii seront des fonctions des n -f- 2 variables

Si l'on continue à regarder les [3 et), comme les coordonnées d'un point dans l'espace à /^ + i dimensions, les équations

représenteront alors non plus une courbe, mais une surface

puisque nous pouvons faire varier indépendamment et d'une manière continue les deux paramètres t et )..

Mais il importe de remarquer que sur cette surface sont tracées des courbes dont les divers points correspondent à des solutions périodiques qui ne peuvent pas être regardées comme essentiellement distinctes.

Si, en effet,

est une solution périodique, il en sera de même de

quelle que soit la constante /i, et cette nouvelle solution ne sera pas réellement distincte de la première. A la première correspond le point

?/^//(o)-o/(o), et à la seconde le point

P,=/,(/u-cp,(o).

Quand on fait varier h d'une manière continue, le second point décrit une courbe dont les divers points ne correspondent pas ainsi à des solutions réellement distinctes.

En particulier, envisageons la solution

A cette solution correspondra le point

qui appartient à la droite (4)- A la solution

^i= ^iii-^ h),

qui n'est pas réellement distincte de la première, correspondra le point

(4 f^is) p,-= Oi{h) -cp;(o),

qui appartient à une certaine surface (4 bis) faisant partie de la surface (3).

Il s'agit de savoir si la surface (3) contient des nappes autres que (4 bis) et s'approchant très près de (4 bis); c'est-à-dire s'il

y a sur la surface (4 bis) des points par où passent d'autres nappes (le la surface (3) que la surface (4 bis) elle-même.

JNous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer ^,1=0 (ou nous imposer une autre relation arbitraire entre les ^).

En effet, les solutions

Xi=fi{t), Xi=fi{t-\-h)

ne sont pas réellement distinctes et il suffira d'envisager l'une d'elles.

Nous pouvons donc choisir arbitrairement la constante h\ et nous pouvons le faire, par exemple, de telle façon que

/i(/0 = '-?.(o), d'où

Pi -G.

Si nous nous imposons cette condition [îi,^o, les deux surfaces (3) et (4 bis) se réduisent à des courbes et, en particulier, la surface (4 bis) se réduit à la droite (4).

Nous sommes amenés de nouveau à rechercher si par un point de la droite (4) passe une autre branche de la courbe (3).

Pour cela, combinons l'équation [3, -^ o avec les équations (3); ces équations représenteront la courbe (3) ou une courbe dont la courbe (3) n'est qu'une partie. Pour que cette courbe, dans le domaine considéré, ne se réduise pas à la droite (4); il faiit que le jacobien de -!/,, 'I/o, . . ., 'ij,,-, |^i par rapport à [B,; ^31 ■ ■ • -, '^n-, '^ et celui de J/, , ^21 • ■ ■ ^ 4*" P^'^ rapport à [Bo, [^3. . . . , [3„, t soit nul pour \^o.

Comme rien ne distingue [5, des autres (S, les jacobiens des di par rapport à t et à /^ — i quelconques des [5 devront s'annuler tous. C'est-à-dire que tous les déterminants contenus dans la matrice des n"' 38 et 63 doivent s'annuler à la fois. En raisonnant comme au 11° 63, on verrait que l'équation en S doit avoir deux racines nulles.

Il en résulte que deux des exposants caractéristiques devront

être multiples de ^4^- Cela est déjà vrai de l'un d'entre eux qui est nul. Un second exposant devra être multiple de j-^-

Si cette condition est remplie, nous formerons un système de

71+ I équations comprenant les équations (3) et [i, = o. Nous en tirerons t et les ^ en séries dévelojDpées suivant les puissances entières et fractionnaires de \.

Si les séries sont réelles, il y aura des solutions périodiques du deuxième genre; si les séries sont imaginaires, il n'y en aura pas.

Je ne développerai pas la discussion.