Supposons maintenant que les équations

où le temps entre explicitement, admettent une intégrale uniforme

F = G, de telle façon que l'on ait

.^d dxi

Nous avons vu au n° 64 que dans ce cas le jacobien des h par rapport aux [i s'annule et que l'un des exposants caractéristiques est nul.

Les équations

ne sont pas alors distinctes puisqu'on a identiquement

Elles ne représentent donc pas une courbe, mais une surface.

Mais dans ce cas, d'après les principes du Chapitre III, nous

avons une double infinité de solutions périodiques de période T

Xi = tKO)

puisqu'il y en a une qui correspond à chaque valeur du paramètre [j. = jjioH- ^ et à chaque valeur de la constante C.

Nous conviendrons de donner à la constanle G une valeur déterminée Cq et nous n'aurons plus qu'une simple infinité de solutions périodiques de période T

Xi = T'(0, chacune d'elles correspondant à une valeur de \.

Les équations (3) n'étant pas distinctes peuvent être remplacées par Ti — I d'entre elles, par exemple par

Considérons alors le système {Zbis) .];i = ^2 =-•••= J^«-i = o, F[cp,'(o)+ j3,-] = Co.

Les équations (3 bis) représentent non plus une surface mais une courbe dont fait partie la droite

Pour que par un point de la droite (4) passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien de

par rapport aux [3, s'annule.

Cette condition peut encore se mettre sous une autre forme. Supposons que nous résolvions l'équation

par rapport à Xu et que cette résolution donne

Xn= ^{Xi, X^, . . ., Xn-i).

Substituons Q à la place de Xn dans X/, et soitX^- le résultat de cette substitution.

Les équations (i) se trouveront ainsi remplacées par les suivantes

{ibis) -^=X;- {i=i, 1, ..., ri — i).

Ces équations (i bis) admettront pour solution périodique

Xi= (Ifiit).

Les exposants caractéristiques de cette solution périodique, considérée comme appartenant aux équations (i bis), seront au nombre de n — i . Soient a< , a2, . . . , a«, ces n — i exposants. Ce seront les mêmes que ceux de cette solution périodique .r,- =^ ^i{^)i considérée comme appartenant aux équations (i) en suj)primant celui des n exposants qui est égal à zéro.

Pour que dans le voisinage d'un point de la droite (4), les équations (i) admettent des solutions périodiques du second genre, il faut et il suffît que les équations (i bis) en admettent, c'est-à-dire qu'en un point de la droite (4) l'un des ti — i exposants caractéristiques a,, ao, . . ., a„, soit multiple de -pfr'

Ainsi, la condition énoncée plus haut que le jacobien de 'j*,, 'i/o, . . . , J/«i , F est nul est susceptible d'un énoncé tout différent. Pour qu'elle soit remplie, il faut que deux, des exposants soient

multiples de-p^; cela est toujours vrai d'un d'entre eux qui est

nul; cela doit être vrai d'un second exposant.

Supposons .cette condition remplie. Des équations (3 bis) nous tirerons les [i en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de \. Je ne ferai pas la discussion pour savoir si ces séries sont réelles.