Supposons maintenant que les X/ ne dépendent pas

explicitement du temps, et que les équations (i) admettent une

intégrale

Dans ce cas, d'après le n° 66, deux des exposants caractéristiques sont nuls. Si, pour un système de valeurs de [ji et de C, les équations admettent une solution périodique, elles en admettront encore pour les valeurs voisines de sorte que nous aurons une double infinité de solutions périodiques

dépendant des deux paramètres [i et C. La période T ne sera pas constante, ce sera une fonction de p. et de C.

Donnons alors à C une valeur déterminée Cq et soient encore

les valeurs de xi pour t = o, et pour t = k (T -+- 1) . Aux équations

nous adjoindrons d'abord l'équation F = Co et ensuite une i^elation arbitraire entre les [i, par exemple [3, = o.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE. Ili

Nous pouvons en effet, sans restreindre la généralité, et pour la même liaison qu'au n° 316, supposer p, = o. Nous obtiendrons ainsi le système

(3 ter)

4;, = o, F = Co, 13, = o.

Ces équations représentent une courbe; en effet, le nombre des équations est égal à /z -f- 2; mais les n équations (3) ne sont pas distinctes et peuvent être remplacées par n — 1 d'entre elles et cela pour la même raison qu'au numéro précédent. Le système (3 ter) se réduit ainsi k n -+- \ équations. Le nombre des variables est /i -i- 2, à savoir

Cette courbe (3 ter) comprend la droite

Soit Pi = o, [Ji =: [j-o un point de cette droite. Pour que, par ce point, passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien des premiers membres des équations (3 ter) soit nul, ou, ce qui revient au même, que le jacobien de /i — i des J; et de F par rapport à (âo, [^3, . . ., ^,1 et •t soit nul, ou enfin, puisque rien ne distingue |3i des autres [j, que les jacobiens de F et de n — i quelconques des 'l par rapport à -ï et k n — i quelconques des [i soient tous nuls.

Celte condition est susceptible d'un autre énoncé.

Comme dans le numéro précédent, de l'équation F = Co nous tirerons

et nous obtiendrons les équations

(i bis)

dt

Il faut alors, d'après le n" 316, que des n — i exposants caractéristiques [si la solution périodique est regardée comme appartenant aux équations (i bis)^, un soit nul et un autre multiple

de -t^tft; ou, ce qui revient au même, que des n exposants caractéristiques [si la solution périodique est regardée comme appar-

tenant aux équations (i)], deux soient nuls et un troisième multiple de -TTp •

Supposons cette condition remplie*, on tirera de (3 ter) les [i et T en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires de ). ; je m'abstiendrai encore ici de la discussion.

Application aux équations de la Dynamique.

319. Je voudrais faire une discussion plus complète de ce qui concerne les équations de la Dynamique; mais pour cela, j'ai besoin d'abord de démontrer une importante propriété de ces équations.

Soient ^i et 'r\i les valeurs de Xi et jk/ pour ^ = o; soient X/ et Y/ les valeurs de Xi elyi pour t =-T. Nous savons que

S dxi dyt

est un invariant intégral; on aura donc

■L{d-y^idXi—d\id-r^i)^-o,

l'intégrale double étant étendue à une aire quelconque A. Gela peut s'écrire

J^ÇLidXi - XidY.i~\idr,i -H r,id\i) --= o,

l'intégrale simple étant étendue au contour de l'aire A, c'està-dire à un contour fermé quelconque.

En d'autres termes, l'expression

^{^id\i—\id^i-\ld-c^i-^- -radh)

est une différentielle exacte.

Il en résulte que

est aussi une diflerentielle exacte.

320. Si l'on fait varier T, il est clair que S sera fonction de T.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE. 2l5

Calculons la dérivée de S par rapport à T, à l'aide des équations

11 vient

dS dT

dXi dF dYj dF

dT ~ dT/ lïf ~ ~"dXi

ou bien

OIT, en intégrant par parties,

OU enfin

= aF — Z (X— ^) ^^ -t- (Y — -^) ^ -+- fonction arbitraire de T.

dS^ dT

Nous prendrons la fonction arbitraire de T égale à une constante — aC et nous aurons

dT ^ '

'^. ,^^F ^^ ^^Fl

Pour T = o, on a t/S = o et par conséquent

S — const.

Nous prendrons cette constante nulle de sorte que S s'annulera identiquement pourT"-o; la fonction S est ainsi entièrement déterminée.

321. Cherchons les maxima et les minima de la fonction S. Considérons d'abord T comme une constante. Pour que la fonction S présente un maximum ou un minimum, il faut, à supposer que cette fonction S puisse être regardée comme fonction uniforme des variables X,-}-^j et Y^-h'/ii dans Le domaine considéré, il faut, dis-je, que ses dérivées par rapport à ces

2l6 CHAPITRE XX VI II.

variables soient nulles, c'est-à-dire que l'on ait

La solution correspondante est donc une solution périodique de période T et cette période ï est ici une des données de la question.

Ne regardons plus T comme une donnée; pour que S présente un maximum ou un minimum, il faudra que l'on ait d'abord

Xj = ^/, Y£=r,i, et, de plus,

dS

Mais si X = ^, Y = yi, il reste

g = .(F-GX

d'où

La solution correspondante sera encore une solution périodique de période T.

Mais la période T ne sera plus une donnée de la question ; ce qui sera une donnée, c'est la constante des forces vives C qui n'intervenait pas dans le cas précédent.

Les deux manières de rechercher les maxima de S se rattachent aux deux manières d'entendre le principe de moindre action, celle de Hamilton, et celle de Maupertuis. On le comprendra mieux après avoir lu le Chapitre suivant.

322. On peut aussi modifier de la façon suivante la définition de la fonction S.

Dans un grand nombre d'applications, F est une fonction périodique de période 2 7t par rapport aux yi. Dans ce cas, une solution peut encore être regardée comme périodique, quand Xi= ^/ et que Y/ — ru est multiple de 27c.

Alors il est clair que si nous posons

OÙ nii, mo, . . ., m,i sont des entiers quelconques, l'expression dS sera encore une diflerentielle exacte.

On trouvera d'ailleurs

Nous prendrons

Pour T = o, on a

Nous prendrons

dS = S4'«jTt; d^i

S = ^T.I.mi^i,

ce qui achève de déterminer la fonction S.

Les maxima et minima de S, en supposant T donné, s'obtiendront en égalant à zéro ses dérivées, ce qui donne

X; = ^/, Y,- = Tj j + 2 mi T. .

La solution correspondante est encore une solution périodique puisque Y/ — -ru est un multiple de air. La période T est donnée. Si T n'est pas donné, il faut d'abord que

X/ = ^i, Y/ = y; i -h 1 nii TU et, de plus, que

d'où

323. Il faut maintenant que nous apprenions à discerner les véritables maxima et les véritables minima de S; en effet, nous avons seulement jusqu'ici cherché la condition pour que les dérivées premières de S soient nulles; mais on sait que cette condition n'est pas suffisante pour qu'il y ait un maximum; il faut encore que les dérivées secondes satisfassent à certaines inégalités.

Supposons-nous d'abord placés dans les conditions du n° 319 et regardons T comme donné.

Soit

IL P. - III. x5

2l8 CHAPITRE XX.VI I I.

une solution périodique de période T, de lelle sorte que

cp,(o) = ç.,-(T), cpHo) = cp',(T).

A cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum de la fonction S.

Soient

Xi=Oi{t)-+- x'i, Yi = o'i(t)-+- y'I

deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.

Je supposerai que x\^ y^-, x"-^ y"- soient assez petits pour qu'on puisse en négliger les carrés et qu'on puisse regarder ces quantités comme satisfaisant aux équations aux variations {Cf. Chapitre IV).

Soient ^^- et rj^- les valeurs de x'^^ et y\ pour ^ =o; X^- et Y^- les valeurs de x'^ et y'^ pour t = T.

Pour savoir si S a un maximum ou un minimum, il suffît d'étudier l'ensemble des termes du second degré dans le développement de S suivant les puissances des ^'^ et des V]'^.

Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se réduit à

Etudions l'expression

(i) ^{^"i/i—yi^'i)-

D'après le n° 56, cette expression doit se réduire aune constante.

Quelle est la forme de la solution générale des équations aux variations.

S'il y a ;i degrés de liberté, nous aurons n — i solutions particulières de la forme

x'i= e^kt^;,j{t), j;-= e«^'0),.,-(O-

Les y.k sont les exposants caractéristiques et les 9 sont des fonctions périodiques de période T.

Nous aurons n — i autres solutions de la forme

x'i= e-^ktblj{t), yi=e-'^kt%lj{t)

correspondant aux exposants — a^ qui sont égaux et de signe contraire aux n — i exposants a^.

Nous aurons la solution évidente

' ^Il^i ' — ^1

""^ - dt ' ^'' ~ dt

et enfin la 2/?^*-'™^ solution particulière sera

Donc, la solution générale pourra s'écrire

x'i= SA/,e='^'6/,.,-(0-+-SB/,e-a^'6;;;..,-(0-f-C -^ -^ D (t -^j ^

y,= sA/,e'A^6'/,.,(«)+ ^B;,e-«i^e;;.,-(o+ c ^ + d' (^ ^ ^

les A, B, C, D étant des constantes d'intégration. On aura de même,

x}=^A',,e^i^Q,j{t)-i-^B';,e-^ktr;,j{t)-^C' 'hi ^ n' (f 'Ili ^

avec une formule analogue pour jk,'.

Les A', B', C, D' sont de nouvelles constantes.

Substituons ces valeurs dans l'expression (i); cette expression

deviendra une forme bilinéaire par rapport aux deux séries de

constantes

Cette forme devant s'annuler identiquement pour

sera une forme linéaire par rapport aux déterminants contenus dans la matrice

Al B, A, B, ... A„i B„i C D ||

a; b; A'2 b; ... a;,i b'„^, c d' If

Les coefficients de cette forme linéaire devront être des constantes puisque l'expression (i) doit se réduire à une constante.

En général, aucun des exposants caractéristiques ne sera nul et deux de ces exposants ne seront pas égaux entre eux.

Il résulte de là que nous ne devons pas avoir de terme conte-

liant run des déterminants

kk k'j - A y A )„ A/, Wj - By A ), , B/, B; - By B '/. , A/, C — GA;„ A/, D'— DA'/„ B/,C' — CB;.,, B/, D' - DB'^.,

car le coefficient de ce terme devrait contenir en facteur l'une des

exponentielles

e(ai.+ay);^ e(oik-cij)t^ g-la^+dj) t ^ g±akt

et ne pourrait se réduire à une constante.

Les seuls déterminants qui puissent entrer dans notre forme

sont donc

A/, B'a- — B/, A'/„ CD'— DC,

de sorte que je puis écrire

(2) :^(cc"iy~yix"i) = ::m,o(A/,b),- B/,A;,) +- N(GD'- dc),

les M^ et N étant des constantes.

Je dis que Mk ne peut être nul; sans quoi l'expression (i) ne dépendrait pas des constantes Aa, A)^, B^, B^; si alors nous supposions que toutes les constantes A' et B', C et D' sont nulles à l'exception des deux constantes A^ et B^ auxquelles nous attribuerions des valeurs données, différentes de zéro, on aurait une relation

qui serait linéaire par rapport aux inconnues a:'^ et y'^ et où les coefficients x"- et y"- seraient des fonctions données du temps, différentes de zéro. Une pareille relation ne peut exister puisque les 2/1 variables x'- et y'^ sont indépendantes. Donc Ma ne peut être nul.

Si nous changeons t en t -^ T, nous obtiendrons de nouvelles solutions des équations aux variations et ces solutions nouvelles s'obtiendront en changeant les constantes

A/,, B/,, C, D en

A/,e«^T^ B/,e-'^k-r, G + DT, D.

Pour avoir

il suffira donc de faire dans l'expression (i),

A;^^ A/^-c'-'aT^ b'/,= B/,e-'AT, C'= C -^ DT, D'= D,

d'où

(3) :S(X',-r,;-- Yi^'O = SM/,(e-«iT ea.T)A;,B/,- 1\TD^

324. Pour discuter l'équalion (3), il faut distinguer plusieurs cas :

1° Les exposants riz 'j-h sont réels; les fonctions

sont alors aussi réelles.

2" Les exposants ±: a^ sont purement imaginaires et le carré a'^. est réel négatif.

Alors les fonctions ^h.i et O'^^-, ^,^i et 8^'^- sont imaginaires conjuguées.

3° Les exposants ± a^j sont complexes. Alors nous aurons, parmi les exposants caractéristiques, les exposants dz ay c[ui seront imaginaires conjugués des exposants d= a;;-, et

seront imaginaires conjugués de

^k.i, ^'l:U ôl.n 61/-

Supposons maintenant les x\ et les y\ réels. Pour le calcul des constantes A, B, C, D, nous aurons in équations que l'on obtiendra en faisant dans l'équation qui donne x\^ par exemple,

; = o, i = T, ? = -2T, ..., ^ = (2rt — i)T.

Ces 111 équations sont linéaires par rapport aux m inconnues IS , B, C, D. Les seconds membres sont réels et les coefficients sont réels ou imaginaires conjugués deux à deux.

Quand on change y — i en — \/ — i :

i" Kji et B/f ne changent pas quand a/f est réel;

2" Kk et B/f se permutent quand a/f est purement imaginaire;

3" A/f et B/f se changent en hj et By c[uand a/f est complexe et imaginaire conjugué de ay.

Donc :

1° A/f et B/f sont réels quand a/^ est réel;

2" A/f et Ba sont imaginaires conjugués quand a/f est purement imaginaire ;

222 CHAPITRE XXVIU.

3° Aa- et Ay, B/f et By sont imaginaires conjugués quand a/f est complexe et imaginaire conjugué de aj.

Enfin C et D sont réels.

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes pour que x'- et j''- soient réelles.

Donnons aux constantes A^, B^, C, D, de même qu'aux constantes A/^, B^., G', D' des valeurs satisfaisant à ces conditions. Alors le second membre de (2) devra être réel; et pour qu'il en soit ainsi il faut :

i" Que Ma- soit réel si a^ est réel;

2" Que Ma soit purement imaginaire si a-A est purement imaginaire ;

3° Que Ma et My soient imaginaires conjugués si a^ et ay sont complexes et imaginaires conjugués.

La forme (3) contient un terme

M/,(e-='/.T— e'AT)A/,B/,.

et ne contient pas d'autre terme dépendant de Aa ou Ba- ' Si l'exposant aA est réel, la présence d'un terme en AaBa suffit pour que la forme quadratique (3) ne puisse être définie.

Si donc un seul des exposants aA est réel, la fonction S ne peut présenter ni maximum ni minimum.

Supposons maintenant que deux exposants aA et aj soient complexes et iinaginaires conjugués.

Annulons toutes les constantes sauf

A/,, Ba, Ay, By,

la forme (3) se réduit à

I\I/,(e-aiT gaiT^ X/, B/, -^ Mj ( e-a/T - e«/T) Ay By.

Ces deux termes sont imaginaires conjugués, de sorte que la forme (3) est réelle.

Supposons que Aa ne change pas et que Ba change de signe; Ay qui est imaginaire conjugué de Aa ne changera pas non plus, et By qui est imaginaire conjugué de Ba se changera en — By.

Donc, la forme (3) changera de signe; elle ne peut donc être définie.

Si donc un seul des exposants aA est complexe, la fonction S ne peut avoir ni maximum ni minimum.

SOLUTIONS PERIODIQUES DU DEUXIEME GENRE. 22i

Supposons maintenant que a^v soit purement imaginaire. Alors Aa- et B/t sont imaginaires conjugués et le produit A^B/c est Ja somme de deux carrés.

Pour que S ait un maximum, il faut et il suffit que toutes les

quantités

sin -■■ — NI

soient négatives; pour que S ait un minimum, il faut et il suffit que toutes ces quantités soient positives.

Il importe de remarcpier que toutes ces quantités sont réelles;

car et - sont réels.

32o. Comment ces résultats sont-ils modifiés si l'on suppose que la constante des forces vives est regardée comme une des données de la question. On a alors identiquement

2/d¥ , cl¥ ,\

ou 1 on suppose que dans -j- et -j-i ^i et yi ont ete remplaces par

les fonctions périodiques 0((^) et '^'i{t).

Et, en eff'et, la valeur constante de la fonction F doit être la même pour la solution périodique

et pour la solution infiniment voisine

Cette relation est une équation linéaire entre les constantes

et les coefficients doivent être indépendants de t.

Il résulte de là que A/t et B/^ ne doivent pas figurer dans la relation, puisque ces constantes sont toujours multipliées par 6^"*=^ et que cette exponentielle ne pourrait disparaître.

De plus, C n'y figure [las non plus puisque la solution

OÙ G est une constante très petite, se déduit de la solution périodique en donnant au temps un très petit accroissement C et correspond, par conséquent, à la même valeur de la constante des forces vives que la solution périodique.

Notre relation, qui ne peut se réduire à une identité, se réduit

donc à

Mais, si D est nul, le terme — NTD- disparaît dans la forme (3). Pour que S admette un maximum ou un minimum, il suffit

donc que les quantités

M,;. . a/.T sin-

soient toutes de même signe.

S'il n'y a que deux degrés de liberté, il n'y a qu'une de ces quantités.

Donc, s'il n'y a que deux degrés de liberté et si c/./ç est purement imaginaire, la fonction S présente toujours soit un maximum, soit un minimum.

326. Supposons-nous maintenant placés dans les conditions du n° 322, de sorte que

^S = 2 [(X,- - ^i) d{ Yi + T,i) - (Y, - v),-- -imi-) d{Xi 4- H,)]

et regardons T comme une constante. Pour que S ait un maximum ou un minimum, il faut d'abord que l'on ait une solution périodique

où

Nous envisagerons alors une solution voisine

et la discussion se poursuivra comme plus haut; les résultats sont les mêmes.

Pour qu'il y ait un maximum ou un minimum, il faut d'abord que tous les exposants a^ soient purement imaginaires; il faut

ensuite que toutes les quantités

:Sin-,^=j — INT

soient de même signe.

Si l'on considère la constante des forces vives comme une donnée de la question, D est nul, le terme — NTD- disparaît et il suffît que les cjuantités

Ma- . a/,T

soient toutes de même signe.

327. Qu'arrive-t-il maintenant si les équations admettent d'autres intégrales uniformes que celle des forces vives et si, par conséquent, quelques-uns des exposants caractéristiques sont nuls?

On pourrait néanmoins faire une discussion analogue à celle qui précède.

Supposons, par exemple, que nos équations admettent, outre l'intégrale des forces vives, /> autres intégrales uniformes :

et de telle façon que les crochets deux à deux [F^, F/^] de ces intégrales soient nuls. Nous savons alors par le n° 69 que 2/? + 2 exposants caractéristiques sont nuls. Nous supposerons que tous les autres exposants sont différents de zéro.

Nous aurons alors n — p — i couples de constantes analogues aux constantes A/ç et B;^ et /? + i couples de constantes Ca et D/, analogues aux constantes C et D.

La forme (3) deviendrait alors

où SN^TD^ est une somme de termes analogues au terme NTD-. Si maintenant nous regardons les valeurs de nos p + i intégrales comme des données de la question, les constantes D^j seront toutes nulles, les termes N^TD^. disparaîtront et la condition 2:)0ur que S soit maximum ou minimum sera encore que

toutes les quantités

M/,(e-«^''"— e^iT)

soient de même signe.

Je n'insiste pas d'ailleurs sur ce point, car, dans le cas du problème des trois corps, ou bien nous aurons affaire au problème restreint du n" 9, ou bien nous pourrons diminuer le nombre des degrés de liberté eu employant les procédés des n"^ lo et i6.

Or, dans le cas des problèmes réduits des n°^ 9, 15 et 16, il n'y a plus qu'une seule intégrale uniforme, celle des forces vives, et il n'y a que deux exposants nuls, comme nous l'avons vu au n*^ 78.

Solutions du deuxième genre des équations de la Dynamique.

328. Cliangeons T successivement en 2T, 3Ï, . . ., ;nT, ... ; la fonction S définie plus liant dépend de T, soit

S;n= S(mT).

Cherchons les maxinia et les minima de S,» en regardant T comme une constante.

Si nous envisageons une solution périodique de période T, ce sera également une solution périodique de période inT. Donc, les dérivées premières de S„i sont nulles.

Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut d'abord que tous les exposants a/^ soient purement imaginaires.

Si ensuite toutes les quantités

M/, . mai,,T

(I) — =sjn-— ^

sont négatives, il y aura maximum; si elles sont toutes positives, il j aura minimum.

Voici le premier point sur lequel je voulais attirer l'attention.

Si nous donnons à l'entier m toutes les valeurs entières possibles, les n — I quantités (i) présenteront, en général, toutes les combinaisons de signes possibles.

Posons, en effet, pour abréger,

et soit

z;^ = m co/,. -F- 2 nik TT.

Donnons à m et aux nik toutes les valeurs entières possibles; si nous regardons ^i, ^o, •••5 ~-i)-\ comme les coordonnées d'un point dans l'espace k 11 — ^ i dimensions, nous obtiendrons ainsi une infinité de points. Je dis qu'il j aura une infinité de ces points dans toute portion de l'espace k Ji — ^ i dimensions si petite qu'elle soit.

Je n'aurais, pour le montrer, qu'à avoir recours aux raisonnements par lesquels on établit qu'une fonction uniforme de n val'iables réelles ne peut avoir n -f- i périodes distinctes.

Les quantités inscrites dans le tableau suivant :

(Oi,

joueraient dans ce raisonnement le rôle des périodes.

Il j aurait exception si ces périodes n'étaient pas distinctes, c'est-à-dire si l'une des quantités w était commensurable avec 2:1, ou, plus généralement, s'il existe une combinaison linéaire des z n'admettant qu'une seule période, c'est-à-dire s'il y a une relation de la forme

(2) Z?i Wj-l- 6.2CO2 -h. . . -(- bii-\^n-l -t- 2 71 6/j = o,

les b étant entiers.

Laissons d'abord de côlé ce cas d'exception; les quantités (i)

seront égales à

— ■ sui^/,-.

Dire que l'on peut choisir l'entier m de telle sorte c^ue ces quantités réalisent une combinaison de signe donnée, c'est dire qu'il y a des nombres z^ satisfaisant à des inégalités de la forme

(3) «!< ^i< ai-T-7r, a2 < -32 < «2 -t- "^j ••-, ««-i < -«-1 < ««-i-^ ""^t les «/f étant égaux à o ou à tt.

Or, c'est ce qui résulte immédiatement de ce que nous venons de dire plus haut.

Passons au cas où l'on a une relation de la forme (2). Nous pouvons toujours supposer les entiers h premiers entre eux; dans ce cas, l'expression

admet pour période unique 27t.

Pour qu'il n'existe pas de nombres Zh satisfaisant aux inégalités (3), il faut et il suffit que la différence entre la plus grande et la plus petite valeur que prenne l'expression (4), quand on donne aux Z/^ toutes les valeurs compatibles avec les inégalités (3), que cette différence, dis-je, soit plus petite que a-, c'est-à-dire qu'une période de cette expression (4).

Or, cette différence est manifestement

7r(|6iK|62|+..-+|6,,-i|); on doit donc avoir

(5) \b^\-^\bi\-^.. .^\b,i-i\Çi.

L'inégalité ne peut avoir lieu que si tous les b sont nuls, sauf un d'entre eux qui doit être égal à ± i .

Dans ce cas lùj^ doit être égal à un multiple de 2-; cela reviendrait à dire que a.j^ devrait être nul, puisque a.^ n'est déterminé

qu a un multiple près de =

Or, nous avons précisément exclu le cas où l'un des a/f est nul.

L'égalité ne peut avoir lieu que si tous les b sont nuls, sauf deux d'entre eux qui doivent être égaux à =L i .

A-lors la somme de la différence de deux des w/f sera un multiple de 2 — ; et, si nous remarquons que les a^ ne sont déterminés

qu a un multiple près de — \^ ; nous pouvons énoncer ce

résultat d'une autre manière.

Deux des exposants caractéristiques seront égaux.

C'est le seul cas d'exception qui subsiste et que l'on peut facilement exclure.