Supposons maintenant que les équations de la Dynamique
considérées dépendent d'un paramètre arbitraire [jl, ainsi que cela arrive, comme nous le savons, pour le problème des trois corps. Quand nous ferons varier [x d'une manière continue, la solution périodique
variera aussi d'une manière continue, ainsi que l'on peut s'en rendre compte parla lecture du Cbapitre III.
Les quantités M^- varieront aussi d'une manière continue, mais, ainsi qu'il a été expliqué au n" 323, elles ne pourront jamais s'annuler; elles conserveront donc ioujours le même signe; or, c'est leur signe seul qui nous intéresse.
La constante des forces vives sera regardée comme une des données de la question, mais cette donnée pourra dépendre de u. et nous la choisirons de telle façon que la période T de la solution périodique demeure constante.
Les exposants a/f varieront aussi d'une manière continue quand on fera varier u. d'une manière continue; voyons un peu comment se fait cette variation dans le cas du problème des trois corps. Pour [ji. = o, tous les exposants sont nuls; mais, dès que [a cesse d'être nul, les exposants cessent aussi de l'être; un de ces exposants ne poui-ra s'annuler, ou devenir égal à un multiple de " „ ?
ou devenir égal à un autre exposant caractéristique que pour certaines valeurs particulières de y--
330. Envisageons une solution périodique de période T, telle que tous les exposants a^ soient purement imaginaires; c'est ce que nous avons appelé plus haut une solution stable 5 nous avons démontré aux Chapitres III et IV l'existence de ces solutions.
Considérons l'un des exposants, a, par exemple; quand ]x
variera d'une manière continue, ' ; qui est réel, deviendra une
infinité de fois commensurable avec -r^- Donnons à p. une valeur 1/.0
telle que
a 1 2 /i TT
■l3o OIIAPITUE XXVHI.
k el p étant des entiers premiers entre eux; et qui, de plus, ne
corresponde pas a un maximum ou a un minimum de •
On verra plus loin, au n" 334, pourquoi Je mets au numérateur ikr^ et non pas k-rz.
Dans tout intervalle, si petit qu'il soit, il y a une infinité de pareilles valeurs.
Si m est un entier quelconque, pour cette valeur [Xq, l'expression
M] . nmoLtH rrsni^^ — ,
est nulle; de plus, comme [j-q ne correspond pas à un maximum
ou à un minimum de — :J=j cette expression changera de signe
quand u. passera de ^-o — £ ^ p-o + £•
Supposons, par exemple, qu'elle passe du négatif au positif.
En raisonnant comme au n° 328 nous verrons que l'on peut choisir l'entier m de telle façon c[ue les exj)ressions
M/. . pmci.,,1: /, o \
sin^ — -^^^^ (A- = 2, 3, . . . , « — i)
présentent toutes les combinaisons possibles de signes, et en particulier qu'elles soient toutes négatives.
Cela posé, pour [j. = piQ — £, notre fonction S,„.p présentera un maximum, puisque toutes nos expressions seront négatives; mais pour a := ^.Q + £, notre solution périodique ne correspondra plus à un maximum de S,».^ puisque l'une de ces expressions sera devenue positive.
Théorèmes sur les maxima.
331. Pour aller plus loin, il est nécessaire de démontrer une propriété des maxima; soit V une fonction de trois variables Xi^ X2 et :z, développable suivant les puissances croissantes de ces trois variables. Je suppose :
1° Que, pour X, := œ2= o, V s'annule ainsi que ses déri-
, dY c/V , ,
vees -, — 5 — — j et cela quel que soit ^;
SOLUTIONS PlîRIODIQlES DU DEUXIÈME GENRE. 23l
2" Que pour ^, =: ^0= o, \ présente un maximum pour s >> o et un minimum pour ^ << o.
Je dis que les équations
admettront d'autres solutions réelles que la solution
En effet, développons V suivant les puissances de z et soit
Les fonctions Vq, V,, V^, ... sont elles-mêmes développables suivant les puissances de x^ et de Xoj mais ces développements ne contiendront, ni termes de degré o, ni terme de degré i, car on doit avoir quel que soit z
dxi dx^
pour ^, = ^To = o.
De plus, Vo ne contient pas non plus de termes du second degré, sans quoi en passant de z ^ o à ^ <! o, on ne saurait passer du cas du maximum au cas du minimum.
Au contraire, V^ contiendra des termes du premier degré, du moins nous le supposerons. Envisageons alors les équations
qu'il s'agit de résoudre.
Soient Uo et U, les termes de degré le moins élevé de Vq et deV,; d'après ce que nous avons vu, U, est de second degré et Uo de degré/), p étant plus grand que 2; posons
(/>-2)[jL = i; x, = y,t, x^^y^t, \^\YiP; z ^ ± tP-K
W peut se développer suivant les puissances de t] soit
^Vo dY, , dY^
dXi dxi dxi
dVo , „^Vi ^ , ^V2 dx2 "' dxi " dxz
23'i CH4PITRE XXVIII.
On a évidemment
Wo = ± Ui ^-p -+- Uo ^-/^ = ± u; -^ u; ,
U, = Ui^"-P et l]'^=l]o t~P sont deux polynômes homogènes en j, et j^27 l'un de degré 2, l'autre de degré p. Je prends le signe -H ou — , suivant que j'ai pris jz:= dz tP'-. L'expression
dxi dx^ dx=> dx]^
se trouvera aussi développée suivant les puissances de t quand on y aura remplacé x^ et x-i par j^i t et jo^; elle contiendra en facteur une certaine puissance de t\ divisons par ce facteur et soit H le quotient. Ce quotient développé suivant les puissances de t
s'écrira
H = Ho-4-iHi+^2H2 + ...;
Ho sera la première des expressions
d^^k d\}\ d^Nk f/U;* dy\ dy^ dy^ dyi
qui ne s'annulera pas.
Les équations
dY d\
peuvent être remplacées par les suivantes
„ dW
H = o -j — = o, dyi
et je me propose de démontrer que l'on peut tirer de ces équations les y en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de t, s'annulant avec Z et à coefficients réels.
Pour cela, il suffît d'établir, d'après les n°^ 32 et 33, que, pour t = o, ces équations admettent une solution réelle d'ordre impair.
Or, pour Z = o, ces équations se réduisent à
„ rAVo
OU bien
et
dfx dyi
L'équation (2) exprime que, si l'on suppose ^/j et j^o iiés par la relation U', = const., W/f admet un maximum ou un minimum.
Or, si Ton regarde un instant j»'-, etjj'o comme les coordonnées d'un point dans un plan, la relation U', = const. représentera une ellipse, car la forme quadratique U, (et par conséquent la forme U, ) doit être définie pour que V puisse admettre un maximum ou un minimum. Or, l'ellipse étant une courbe fermée, la fonction Wo devra présenter au moins un maximum et un minimum quand le point y^, y., décrira cette courbe fermée.
Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à U', , l'équation (2) admettra au moins deux racines, et deux racines d^ ordre impair, car nous avons vu au n° 34 qu'un maximum ou un minimum correspond toujours à une racine d'ordre impair. D'ailleurs ici, où nous n'avons plus qu'une variable indépendante, le théorème du n° 34 est presque évident.
Cela posé, deux cas sont à distinguer :
Premier cas. — Uj, n'est pas une puissance de U'^ ; dans ce cas on n'a pas identiquement
^Wq ^U^ tfWo dJ]\ dy\ dy-i dy^ dy^~ '
On aura donc Wa = Wq, et
jj ^ d^ f^j; d^^\
"~ 4/1 dy, dyi dyi " '
L'équation Ho = o est alors homogène en j^i el yo. Quelle que soit la valeur constante attribuée à U, , elle nous donnera pour le
Ji
ict iiiciiic vaiciii .
rapport — la même valeur.
Nous tirerons donc d'abord — de l'équation (2) el, d'après ce
qui précède, nous obtiendrons au moins deux solutions d'ordre impair.
Soit ^ = — l'une de ces solutions ; posons jv"! = ai u^yi= ao?/ et substituons dans l'équation (3), nous aurons
et l'équaliou (3) se réduit à
Si /» — 2 est impair, cette équation nous donnera une valeur réelle pour u.
Si yP — 2 est pair ; deux cas sont à distinguer.
Si A et B sont de même signe, nous prendrons le signe inférieur
AiiP-2 B =0.
Si A et B sont de signes contraires, nous prendrons le signe
supérieur
AiiP-^-i- B = o,
et nous aurons toujours deux valeurs réelles pour u.
Dans tous les cas, ces solutions réelles sont simples.
Ainsi, les équations (2) et (3) admettront toujours des solutions d'ordre impair.
Deuxième cas. — On a
Nous commencerons alors par résoudre l'équation (3) qui
s'écrit
Cette équation nous donne la valeur de U', ; celte valeur est réelle et simple; mais cela ne suffît pas, car IJ', est une forme définie négative; il faut pour que la solution convienne que la valeur trouvée pour U', soit négative; nous choisirons en conséquence le signe ±.
La valeur de U', ainsi déterminée, on attribue à U, cette valeur
constante et l'on n'a plus pour résoudre l'équation (3) qu'à chercher les maxima et minima de W^. Comme nous l'avons vu, on trouvera au moins deux solutions d'ordre impair.
Nous avons donc établi que les équations (a) et (3 ) ont toujours des solutions réelles d'ordre impair. Le théorème énoncé au début de ce numéro est donc démontré.
