Soit maintenant V une fonction de « -h i variables

Je suppose :

1° Que V est développable suivant les puissances de ^ et de ;;;

2° Que pour

Xi = X^ = . . .= X,i, = 0,

on a quel que soit z

dxi dx=i ' ' ' dxn

3" Envisageons l'ensemble des termes de V qui sont du second degré par rapport aux ^. Ils représentent une forme quadratique qui peut être égalée à la somme de n carrés affectés de coeificients positifs ou négatifs.

Je suppose que, quand :; passe du positif au négatif, deux de ces n coefficients passent du positif au négatif et que les n — 2 autres coefficients ne s'annulent pas.

Je dis que, dans ces conditions, les équations

dY dV dV

dxi dx.2 ' ' ' dxn

admettent des solutions réelles différentes de

W\ ^^^ CC<^ ^=^ • . . = ^ (i -— o.

En effet, développons V suivant les puissances de z et soit

Soient Uo et Ui l'ensemble des termes du deuxième degré de Vo et V,.

L'ensemble U( est une forme quadratique décomposable en une somme de n — i carrés; car nous savons que, pour ;; = o.

236 CHAPITRE XXVlir.

deux des coefiîcleQts dont il a été question plus haut s'annulent. Si donc nous considérons le discriminant de Lo, c'est-à-dire le déterminant fonctionnel de

(ZUo f/Uo dVo

dxi dx=i dx,i

par rapport à

ce déterminant s'annule ainsi que tous ses mineurs du premier ordre; mais tous les mineurs du deuxième ordre ne s'annulent pas, sans quoi un troisième coefficient serait nul, ce que nous ne supposons pas.

JNous pouvons aussi supposer qu'on ait fait un changement linéaire de variables tel que Uo soit ramené à la forme

Uo = A3.r| + Ai^|-I-.. .-H An^l

et, par conséquent, que le déterminant fonctionnel de

fZUo ^Uo

dx^ ' dx:^

dx,i

par rapport à

^3) ^kl