X II

ne soit pas nul

Envisageons

alors

les équations

dV d\ dx-i dxi^

qui sont n — a des équations (i). Je dis qu'on pourra en tirer en séries ordonnées suivant les puissances de

Z . Ou \^ , ^2 •

Pour cela, il suffit, en vertu du n° 30, que le déterminant fonctionnel des équations (a) par rapport à

•^'3 ) *^i j • • • ) '^ Il

ne s'annule pas quand on y fait

Z ^= 00 1 ^=^ 00-2 "^^^ 00^ ^^ CC^ ^^ . . , ^^= "^ /l —— 0.

Or, les équations (2), quand on fait ;:: = o et qu'on se restreint aux termes du premier degré par rapport aux x, se réduisent à

6?Uo d\]^ d}^ dx^ dx,^ ' ' ' dxii

et nous venons de voir que le déterminant fonctionnel correspondant n'est pas nul.

Dans V, remplaçons jTo, x.,, . . ., Xu par leurs valeurs tirées ainsi des équations (2); je dis que nous allons nous retrouver dans les conditions du numéro précédent :

1° En effet, nous n'avons plus que trois variables indépendantes ^, x^ et x-i ;

2° La fonction V est développable suivant les puissances de ces variables;

3° Les équations (i) peuvent être remplacées par

dS dY

où les d représentent des dérivées prises en regardant les ^3, X',, . . . , x,i comme des fonctions de x, et de X2 définies par les équations (2).

Nous avons, en effet,

d\ dV dx^ dY dx..

dY dx,i

dxi

dxi dx^ dxx dxi^ dxx

cLx ji dx \

d'où, en vertu des équations (2),

dY àxi

dxi

dY ^

4° Pour ^>>o, V, considéré comme fonction de X\ et de x^, présente un maximum quand ces deux variables sont nulles.

Pour le voir, il nous faut rechercher dans V les termes du deuxième degré par rapport à ^, et à oô^- Soient

Wo + ^Wi + ^nv2-+-...

ces termes. Pour obtenir

qui seuls m'intéressent, je prends les deux termes

et je néglige les autres termes de V qui ne peuvent influer sur Wo +^Wi.

Je tire des équations (2)

en séries ordonnées suivant les puissances de X\ et ^2 5 je conserve seulement dans ces séries, les termes qui sont de degré i par rapport à ^, et x.2 et de degré o ou i par rapport k z; les autres termes peuvent être négligés car ils n'influent pas sur

Wo4-^W,.

Les équations (2) se réduisent alors à

1^.LX,^-^ Z —j = o,

Si, dans Uq, nous substituons à la place de x^^ x,,, . . . , .r„, les valeurs ainsi obtenues, nous voyons que Uo devient divisible par z- ; quant à U, il se réduit à

où U^ n'est autre chose que ce que devient Ui quand on y annule ^3, X4, . , . , .a^^ et où U] et U, sont deux autres formes quadratiques par rapport aux x. On aura donc

Uo-hzU,= 5UO-h^HUg-hU})+^3Uf.

Pour le calcul de Wq + -s W) , je puis négliger les deux derniers termes qui sont divisibles par z- et z^, et j'aurai simplement

Je me propose de démontrer que V présente un maximum

pour ^Ti =a:2 = o et pour z- positif et très petit; or il suffit de le faire voir pour Wo -r ^W,, c'est-à-dire pour sU,.

Il reste donc finalement à démontrer que U" est une forme définie négative.

Pour nous en rendre compte, nous écrirons la forme quadratique Ui de la manière suivante

U', est une somme de deux carrés affectés de coefficients dont je ne préjuge pas le signe; \]'[ dépend seulement des n — 2 variables

Cela est toujours possible d'après les propriétés générales des formes quadratiques.

Considérons la forme

Uo + 5Ui=^u;-i-(Uo+^uï),

où ^ est supposé positif et très petit. La forme Uq + ^U'|, ne dépendant que des ?i — 1 variables X:^, x..^^ . . . , j:„, pourra être égalée à une somme de /i — 2 carrés affectés de coefficients dont les signes devront être les mêmes que ceux de A3, A..,, . . ., A„, puisque, z étant très petit, cette forme diffère très peu de Uq. Ils ne changent donc pas de signe cjuand z passe du positif au négatif.

D'après nos hypothèses, quand z passe du positif au négatif, n — 2 de nos coefficients ne s'annulent pas et deux coefficienls au contraire passent du négatif au positif.

Ces deux derniers ne peuvent être que les coefficients de U,.

Donc U', est la somme de deux carrés affectés de coefficients négatifs.

Pour avoir U", il faut dans Ui faire

Alors U'( s'annule et U| se réduit à U', .

Donc U'i' est une forme définie négative. c. q. f. d.

Donc V, considéré comme fonction de ;r, et x-i, est maximum pour z positif et très petit et pour Xi= X2 = o.

On verrait de même, ou plutôt on voit en même temps, que V est minimum pour 5 négatif et très petit et pour ^, = ^o = o.

Nous sommes donc bien, comme je l'avais annoncé, ramenés aux conditions du numéro précédent et le théorème énoncé au début de ce numéro peut être regardé comme établi.

Existence des solutions du deuxième genre.

333. Revenons aux hypothèses du n° 330; nous avons défini la fonction S,npi qui dépend de [jl, des 2/1 variables

Xi -i- çi, . . • , X„ -I- q,i,

Yl-t-T, ,, "V2-i-''l2, •■•, Y,,

Les ^i et les r^i sont les valeurs de œi elj'i pour ^ = o ; les X/ et les Y/ sont les valeurs de Xi et y/ pour t = mpT. Nous voulons étudier les solutions des équations

d'après les n°^ 321 et 322, ces solutions correspondent aux solutions périodiques de période mpT. Nous en connaissons déjà une, puisqu'une solution périodique de période T est en même temps périodique de période mpT] je me propose de montrer qu'il y en a d'autres.

Mais, auparavant, je veux faire voir par quel artifice on peut regarder Smp comme dépendant seulement de ^ et des in — i variables

0 ( ^l-i-Çlî X2-I-Ç2, ..., X„i-[-ç„],

i Yi + r,i,

Pour

cela, nous

supposerons

Envisageons maintenant les é

quations

à^nip

^J/np

Nous employons les d pour représenter les dérivées de S regardée comme fonction des variables (a) et les d pour repré-

senter les dérivées de cette même fonclion S regardée comme fonction des variables ((3).

Je me propose de démontrer l'équivalence des équations (i) et (i bis).

Le n° 322 nous a donné

dS = S [(X, - 1-) r/( Y,- + T,,-) - ( Y,- - T,, - 2 m,-Tc )d( X, + T),-)]. Les équations (i) peuvent donc s'écrire

— (Y/— T,,— 2/??;-n:) = X/ — i,- = O ( J = I , 2 , . . . , rt ) ,

et les équations (i bis)

Mais, en vertu de l'équation des forces vives, on a identiquement

Or, d'après les équations (i bis), tous les X/ sont égaux aux ^i et tous les Y, (sauf un), à t,/H- 2i7ii7z. L'identité précédente peut donc s'écrire de la manière suivante; j'écris, pour abréger,

iMon identité peut s'écrire sous la forme

F[r,„ -hini„T. -+- ( Y„ — y),, — a/n^T:)] — F(-/]„ H- 2m,iTT) = o, ou, en vertu du théorème des accroissements finis,

(2) (Y,j — rj„ — 2/?î.„TrjF'[-^„ + im^Tz -h 6( Y„ — 7^„— 2/n„7r)] = o,

où 9 est compris entre o et i, et où F' est la dérivée de F par rapport à Y,i.

Soient ç" et r;? les valeurs de ^/ et '^z qui correspondent à la solution périodique de période T; le domaine envisagé ne comprend que le voisinage immédiat du point [a = [Aq, ^i= ^^ ■, i]/ = Tj^^; donc ^i et X,- ne s'écarteront jamais beaucoup de ^", ni Tj/ ou Y/ — 2 7??/7î de Tj" ; donc le second facteur F' de la relation (2) ne s'écarte jamais beaucoup de sa valeur pour ^/i=:^", 7]/=7i^^, et cette valeur ne sera pas nulle en général.

2|i CHAPITRE XXVIII.

Donc, le premier facteur de la relation (9,) doit s'annuler, et l'on a

Y,i r,„ — 2 7«„ TT = o.

En d'autres ternies, les équations (i bis) entraînent les équations (i). Nous pouvons donc regarder S,,,;, comme fonction des variables (^); et, c|uand elle sera maxima, comme fonction des variables ([i), elle sera également maxima comme fonction des variables (a).

J'ai appelé ^" et r,^° les valeurs de ^/ et de ru qui correspondent à la solution périodique de période T; les valeurs correspondantes de X,+ ^i et Yj-f-7ij seront 2^^ et 2.'fi1 -\- imimpr. (si la solution périodique de période T change jj'/ en j)'i+ îm/Ti, conformément aux hypothèses du n" 322). Soit So la valeur corres- ])ondante de S,„^i posons

!-«• = :-io -^ V-'; V = ?>„ip — So ; Xj -+- li = 2 ^^ m- ^ç'i,

Y, -h Tj/ = 2 ■/)? -f- 2 7«,m/) T -^ r,;-

et considérons V comme fonction de p.', des ^' et des /;'; la fonction V se trouvera dans les mêmes conditions que la fonction V du nuinéro précédent.

En effet, quel que soit u.', V et ses dérivées premières ^diV rapport aux ç' et aux 7/ s'annulent quand

Si l'on envisage l'ensemble des termes du second degré de V par rapport aux ç' et aux tj' et qu'on le considère comme une forme quadratique décomposée en une somme de carrés, on voit que deux de ces coefficients de ces cai'rés passent tous deux du négatif au positif, ou tous deux du positif au négatif quand \k change de signe, et que les autres coefficients ne s'annulent pas.

Et en effet l'expression

Ml . pmaiT

change de signe et les autres expressions

sin-

V/-I sj-

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE. ajS

ne s'annulent pas. Le coefficient que j'ai appelé D au n° 323 ne s'annule pas non plus et d'ailleurs il n'j en a pas d'autre puisque nous avons seulement i.n — i variables, les variables (,Q).

Nous sommes donc dans les conditions du numéro précédent et nous pouvons affirmer que les équations

dY dN

admettent d'autres solutions réelles que q'■z=zr^'■=o ou, ce qui revient au même, les équations

admettent d'autres solutions réelles que celles qui correspondent à la solution périodique de période T.

Or, les maxima de la fonction S,„^ ou, plus généralement, les solutions des équations ([) correspondent aux solutions périodiques de période mpT.

Nous devons donc conclure que nos équations diff'érentielles admettent des solutions périodiques de période jnpT, différentes de la solution de période T, se confondant avec celle-ci pour p. ^ ikq, et en différant très peu pour |ji voisin de Uq.

Si l'on fait attention au raisonnement qui précède, on verra qu'il n'exige pas que la solution périodique de période T corresponde à un maximum de Smp'

Nous pourrons donc supposer 7?z = i .

Il n'exige même pas que la solution de période T soit stable; il suffit que l'un des exposants caractéristiques a, soit égal pour

|jL ^ JJ.0 a

lÂTTI y

Nous arrivons donc au résultat suivant :

Si les équations de la Dynamique admettent une solution périodique de période T et telle que l'un des exposants caractéristiques soit voisin de

l/iTZ Y — i

elles admettront également des solutions périodiques de période/)T peu différentes de la solution de période T et se confondant avec celles-ci quand l'exposant caractéristique devient

égal à

ikiz \/ — I

Ce sont les solutions du deuxième genre.