Le même calcul peut s'appliquer aux invariants d'ordre

plus élevé.

Soient encore

INVARIANTS INTEGRAUX. 21

p intégrales des équations (i), et

I ¥i{dxidxi;), j ¥^{dxidx!^), ..., 1 Fç{dxidxh),

q invariants intégraux du second ordre. Les F seront des fonctions des Xi et des produits de différentielles

dxi dxk-

Elles seront homogènes et du premier ordre par rapport à ces produits.

Alors

seront des intégrales du système (6).

Si alors

est une fonction quelconque des $ et des F, homogène du premier ordre par rapport aux F, l'expression

sera une intégrale des équations (6); elle sera de plus homogène et du premier ordre par rapport aux déterminants

Il en résulte que l'intégrale double

y e[<ï'jj,, '¥i{dxidxk)\ sera un invariant intégral du second ordre des équations (i).

247. Nous avons ainsi le moyen, connaissant plusieurs invariants du même ordre, de les combiner de façon à obtenir d'autres invariants du même ordre.

Le même procédé permet, connaissant plusieurs invariants du même ordre, d'obtenir de nouveaux invariants d'ordre différent.

Soient, par exemple,

j¥,{dxi), jF^Xd^i),

deux invariants intégraux du premier ordre; je suppose, ce qui est le cas le plus général, que F, et Fo sont des fonctions linéaires et homogènes des différentielles dxi.

Les expressions

seront homogènes et du premier ordre par rapport aux Ej et ce seront des intégrales des équations (2). De même

seront des intégrales des équations (6). Il en résulte que

(10) Fi(^,)F2(^i.)-Fi(ç/.)F2(r,)

sera une intégrale du système (6).

Comme Fi et Fo sont linéaires par rapport aux Hj, on aura

Fi(^/ + r/)=F,(^0 + Fi(r,); F,(^,+ ^;.)-F,(^,)+F2(r/).

Il en résulte que l'expression (to), qui d'ailleurs change de signe quand on permute les \i et les i'^, ne change pas quand on change li en i/+ i-.

Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction linéaire et homogène des déterminants

les coefficients dépendant des x seulement, mais non des l et des l'.

De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant intégral du deuxième ordre des équations (i).

Soient maintenant

iFi(dxi), I F^{dxidxi),

deux invariants intégraux des équations (i), le premier du premier ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que F, et Fo sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rap-

-frr, • 11 7 1 1 n( n — l)

port aux n dinerentielles ciXi, la seconde par rapport aux

produits

dxi dxii.

Les fonctions

INVARIANTS INTEGRAUX.

Fido, F,(^,ii,-^,r,)

seront des intégrales du système (6).

L'expression