REMARQUE

334. Tous ces raisonnements supposent que '^mp est une fonction uniforme de Xi+i/, Y/H-rj^. C'est à cette condition seulement que l'on peut affirmer que tous les maxima de S„,y, correspondent à une solution périodique {voir n° 321). (]ette circonstance à laquelle il faut faire la plus grande attention, est un obstacle que l'on rencontrera souvent quand on voudra tirer les conséquences du théorème du n° 321.

Vérifions si S/^p est bien fonction uniforme de ces variables. Nous pouvons supposer 7?r = i, d'après ce que nous venons de voir. D'autre part, S^ est évidemment fonction uniforme des \i et des ■/)/; elle sera aussi fonction uniforme desX/H- ^/et des Y/ H- vi/, pourvu que le déterminant fonctionnel des X/H- \i et des Y^ + r,/ par rapport aux \i et aux 'r\i ne s'annule pas dans le domaine envisagé; ce domaine se réduisant aux environs immédiats des valeurs

lJ-=I-io, \i=Vi, -rd^-'xh

il suffira que le déterminant fonctionnel ne soit pas nul en ce point. Or, ce déterminant fonctionnel s'écrit (en supposant/? = 2 pour fixer les idées)

dl^

dX, d\,