TU

dXi dr,i

dYi

dr^i dX, d'il f/Y, dr\i

dXi "^ dYt

dX,

dYj

dXi dr^i dYj dr^i dX.

dy^i

Jl faut donc vérifier que l'équation en S

d\ 1 dr^ 1

d\i dr^i

d\i dXi

d\i. dT^=i

cVU f£U

d^2 dr\^

dX. f^ s f^

drii c/çi df]2

dX, dY,

d\-2 dr^i

n'a pas de racine égale à — i .

Or, les racines de cette équation sont, d'après le n° 60, égales à

les a étant les exposants caractéristiques; il faut donc vérifier que l'on n'a pas

( •?. A" -1- 0 TT \J — r

k étant entier; or, l'exposant a, est égal par hypothèse à

ikr^ V — 1

k étant entier, et les autres exposants ne sont pas en général com-

raensurables avec — t^

La difficulté qui nous occupe ne se présentera donc pas. C^ est pour V éviter que f ai supposé au n° 330

et non pas

aj:

k-K si — I

(/c entier) (/î entier).

Cas particuliers.

335. Disons quelques mots des cas les plus simples; supposons

ulement deux degrés de liberté.

Supposons que la forme analogue à celle que j'ai appelée Uo,

dans l'analjse du n° 331, soit homogène du troisième degré seulement en ;r, et ,«•:..

L'équation

dUo dVi dUo dUj dxi dx^ dx-i dxi

admet toujours, comme nous l'avons vu, des racines réelles. Le théorème est ici d'ailleurs évident, puisque cette équation

est du troisième deeré en — • Elle peut avoir une ou trois racines

réelles; supposons d'abord qu'elle n'en ait qu'une pour fixer les idées.

Si alors nous posons

a^i = ai p cos cp -4- 6i p sin o 072 = «2 p cos cp -+- ^2 p sin cp,

en choisissant les coefficients a et Z> de telle sorte que Ui se réduise à — p-, le rapport

— ^ considéré au n° 331

admettra seulement un maximum et un minimum, quand cp variera de o à 271; ce maximum et ce minimum d'ailleurs égaux et de signes contraires correspondront à des valeurs de o distantes de?:. On aura alors

Uo + .ôU, = pV(?)-^p^-

La fonction y"(o) présente un maximum et un minimum égaux et de signes contraires; la fonction Uo-t- ^Ui présente alors :

Pour ^ >> o, un maximum pour p = o, et deux minimax.

Pour :: << o, un minimum pour p ^ o, et deux maxima.

J'appelle minimax, à l'exemple des Anglais, un point pour lequel les dérivées premières s'annulent et où il n'j a ni maximum, ni minimum.

Lafonction V se comportera de la même manière, puisque, si z est très petit, les termes Uo + ^U, auront seuls de l'influence.

Les équations différentielles admettront donc quel que soit z :

Une solution de période T, du premier genre, stable;

Une solution de période pT, du deuxième genre, stable pour :; -< o et instable pour ^ >> o.

Supposons maintenant que l'équation (i) ait trois racines réelles.

La fonction /('-s) aura trois maxima et trois minima deux à deux égaux et de signes contraires.

Dans ce cas Uo -h ^U, et, par conséquent, V présentent :

Pour 5 >> o, un maximum pour p =^ o, et six minimax ;

Pour jz <Zo, un minimum pour p -n;^ o, six maxima.

Les équations différentielles admettront donc, quel que soit s :

Une solution de période T, du premier genre, stable;

Trois solutions de période yoT, du deuxième genre. Nous verrons plus loin qu'à un certain point de vue toutes ces solutions ne sont pas distinctes.

Passons à un cas un peu plus compliqué et supposons que Uo soit du quatrième degré.

Dans ce cas, l'équation (i) est du quatrième degré, et comme elle a toujours au moins deux racines réelles d'après le n" 331, elle en aura deux ou quatre. On n'a plus alors

/(?) = —/(?-+- ^) mais bien

Supposons d'abord qu'il n'y ait que deux racines réelles.

Alors, la fonction y('^) présentera un maximum et un minimum quand o variera de o à -, et autant quand cp variera de tî à 2 7ï.

Trois cas sont à distinguer suivant les signes de ce maximum et de ce minimum.

Premier cas. — Le maximum et le minimum sont positifs.

Les fonctions Uo-\- z\J^ et V présentent :

Pour ;; > o, un maximum pour ^ = o, deux minima et deux minimax.

Pour ^ << o, un minimum pour p ^ o.

Les équations différentielles admettent, outre la solution du premier genre qui existe toujours, deux solutions du deuxième

248 CHAPITRE XKVnr. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

genre pour ; >o et n'en admettent aucune pour ^ << o ; de ces deux solutions, une est stable et une instable.

Deuxième cas. — Le maximum est positif et le minimum négatif.

Les fonctions Uq + cU, et V présentent :

Pour ^ >> o, un maximum pour p = o, deux minimax ;

Pour ^ << o, un minimum, pour p = o, deux minimax.

Les équations dilïerentielles admettent toujours, outre la solution du premier genre qui est stable, une solution instable du deuxième genre.

Troisième cas. — Le maximum lui-même est négatif.

Les équations différentielles ont alors :

Pour s >> o, une solution du premier genre stable ;

Pour ;:<<o, une solution du premier genre stable et deux solutions du deuxième genre dont une stable et instable.

Il resterait à examiner le cas où l'équation (i) a quatre racines réelles.

Les équations admettent alors :

Pour ^ > o, une solution du premier genre stable, h solutions du deuxième genre instables, k solutions du second genre stable;

Pour z <io, une solution du premier genre stable, 2 — h solutions du second genre stables, 2 — A' solutions du deuxième genre instables.

Les nombres entiers h et k peuvent, suivant les signes des maxima et des minima dey('-o), prendre les valeurs suivantes

h = k = i\ Il = 1, A- = I ; A = 2, k — o\ Il — i. A- = o;

A = /i = 0 ; Il =z k = i .