Soient

ru Yi, ■■■, yn

une double série de variables et F une fonction quelconque de ces variables. Considérons l'intégrale

La variation de cette intégrale peut s'écrire

clr, ^dox,\^^^

dt

Pour que cette variation s'annule, il faut d'abord que l'on ail

dxj ^F dyt d¥

^ dt dyt' dt dxi*

ce qui nous donne les équations canoniques, mais cette condition n'est pas suffisante. Si elle est remplie, on a

et il faut encore que le second membre de celte égalité soit nul. C'est ce qui arrive si l'on suppose que les oxi sont nuls aux deux limites, c'est-à-dire que les valeurs initiales et finales des Xi sont données. Dans ces conditions, l'intégrale J qu'on appelle l'action est minimum.

Changeons de variables; soient x\^ y\ les nouvelles variables et imaginons qu'elles aient été choisies de telle sorte que

( 2 ) ^y'i dx\ — ILyi dxi = dS