H. P. — UT

CHAPITBE XXIX.

soit une différentielle exacte. Dans ce cas nous avons vu que le changement de variables n'altère pas la forme canonique des équations et ce résultat est d'ailleurs une conséquence immédiate des diverses propositions qui vont suivre; soit alors

On a

J J = I — y— Ctt :==^ O \ '^O 5

So et S, étant les valeurs de la fonction S pour t =^ Iq el t=^ t^. On a donc

Si les équations canoniques (i) sont satisfaites, on a

(4) , 8J = H-[S^.-5^,-]g;, et. par conséquent, en vertu de {'j.) et de (3),

Mais, de même c[ue la relation (4) est équivalente aux équations (i), la relation (4 bis) est équivalente aux équations

(^ ^'^) 'dt ~ dfi' ~dt ~ dx'i'

Or, nous venons de voir que (4) équivaut à (4 his)\ les équations (i) sont équivalentes aux équations (i bis), ce qvii veut dire, comme nous le savions déjà, que le changement de variables n'altère pas la forme canonique des équations.

Alors l'action J' sera minimum quand on supposera que les valeurs initiales et finales des variables x^ sont données. A chaque système de variables canoniques correspond donc une forme nouvelle du principe de moindre action.

Les équations (i) entraînent l'intégrale des forces vives

où h est une constante.

Nous avons supposé jusqu'à présent que les deux limites Iq et t^

DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION. l5l

sont données; qu'arrive-t-il si les limites sont regardées comme variables. Comme F ne dépend pas explicitement du temps, nous ne restreindrons pas la généralité en supposant que ^o est constant et en donnant seulement à ti un accroissement ott. Supposons, par exemple, ^o = o et imaginons qu'après la variation les

variables xi et yi aient à l'époque — (t^ + ùt^ ) les mêmes valeurs

qu'elles avaient à l'époque t avant la variation. On aura, avant la variation,

J = — /i«] + S jyi -^ cit.

Mais

ne dépend pas du temps; sa variation est donc nulle. On a donc

simplement

8J = — h oti.

La dérivée de l'action J par rapport à la limite supérieure d'intégration t\ est donc égale à la constante de l'énergie h changée de signe.

Si cette constante est nulle, l'action J est encore minimum, si l'on regarde les valeurs initiales et finales des variables Xi comme données et quand même on ne regarderait pas comme données les valeurs initiale et finale du temps, tç, et tf.

Si l'on change F en F — h, J se change en

comme les équations (i) ne changent pas, cette expression (6) est encore minimum.

Mais, si l'on change F en F — /i, la constante des forces vives, qui était égale à h, devient nulle 5 par conséquent, l'expression (6) est minimum, même si l'on ne regarde pas t^ et to comme donnés.

L'action J est minimum quelles que soient les variables .2:;/ et^/; elle sera donc minimum a fortiori si nous lui imposons une condition nouvelle compatible avec les équations (i).

Imposons-lui, par exemple, la condition de satisfaire à la pre-

mière série des équations (i), c'est-à-dire à

dxi d¥ dt dy i d'où

en posant

dyi

L'action J, ainsi définie, est minimum.

C'est le principe de moindre action mis sous sa forme liamiU tonienne.

Supposons maintenant

Ne regardons donc plus les variables xi et yi comme indépendantes, mais imposons-leur la condition

Cette restriction, compatible avec les équations (i), n'empêchera pas l'action J d'être minimum.

Alors

dxi

-Jzy,

J dt dt

et, comme A est nul, cette intégrale est minimum quand même ou ne regarde pas ^i et ^o comme donnés.

Imposons-nous alors les conditions

dxi dF dt dyi

d'où nous tirons \e?' yi en fonction des -— j

/ dx\ dx.-, dx„ \

ou encore

/ dxi dxi dx\ dx^ dx^ dx,i dxy \

{-)yi = oi[x„x.2, ..., xn,-^, d^, ~dt ' d^, ~dt ' "■•' Z^ ~dt)'

Substituons, à la place des yi^ leurs valeurs (7) dans J et dans

l'équation

De cette équation, nous tirerons —j^ en fonction des Xk et

des -^- Nous substituerons ensuite cette valeur de —r^ dans les axi cil

expressions (7) et dans J; cette dernière intégrale prendra la forme

où $ est fonction des ^T/tetdes dérivées -y-^- Cette intégrale, mise

ainsi sous une forme indépendante du temps, est encore minimum. C'est là le principe de moindre action sous sa forme maupertuisienne.

Si A n'était pas nul, on n'aurait qu'à changer F en F — 1i.