Examinons d'abord le cas particulier le plus important
Supposons que l'on ait
T étant homogène du second degré par rapport aux variables y/,
f tandis que U est indépendant de ces variables.
Il vient alors
'-Ji
dfi
D'après le principe de Hamilton, l'intégrale
(doit être minimum.
Voyons ce que devient le principe de Maupertuis; l'équation
kles forces vives s'écrit
Alors, l'action maupertuisienne a pour expression
f{T-^\J + h)dt.
iLes équations
dxi dF dT dt ~ dyi dyt
ont leurs seconds membres linéaires et homogènes par rapport aux yi; donc T est homogène du second degré par rapport
aux —T^; soit alors ch- ce que devient T quand on j remplace —r^
par dxi^ on aura
dt'-
el d'z- sera une forme linéaire et homogène par rapport aux n différentielles dxi', on déduit de là
dz dz
dt= -— —
s/1 sj\]^h L'action maupertuisienne aura alors pour expression
2 / dx /U -t- h.
338. Pour pouvoir étudier d'autres cas particuliers, posons, pour abréger,
tirons lesy^ des équations
, dxi
'" dt'
de façon à prendre pour variables nouvelles les xt et les x^\ désignons par des d ordinaires les dérivées prises par rapport aux xi et aux yi et par des d ronds les dérivées prises par rapport aux^/ et aux x\.
On trouverait facilement les relations bien connues
dx'i dxi dxi
àx'i
et l'on verrait que les équations (i) sont équivalentes aux équations de Lagrange,
dt dx'i dxi
Cela posé, examinons le cas où H est de la forme suivante
Ho, H<, H2 étant homogènes, respectivement de degré o, i, 2 par rapport aux variables x\.
On a alors
^.X'i—y =2H2+Hi,
dxi
F = H2 — Hq
et les
•^' "" dx'i ~ dx'i
sont des fonctions linéaires, mais non homogènes par rapport aux x'j^.
L'action hamil Ionienne conserve la même forme
ndt.
Vojons ce que devient l'action maupertuisienne.
Soit h la constante des forces vives; l'action maupertuisienne aura pour expression
\Yi.^h)dt:
mais il faut la mettre sous une forme indépendante du temps. Pour cela, posons
et
Ho n'est autre chose que la force vive, et di- est ce que devient cette force vive quand on y remplace x\ par dxi. De même d<j est ce que devient H, quand on y remplace x'- par dxi; c'est donc une forme linéaire homogène par rapport aux différentielles dXi. Si l'on tient compte de l'équation des forces vives
H2=Ho+A, d'où
, dx
dt= .
.256 CUAPIÏRK XXIX.
l'action mauperluisienne deviendra
Le principe de Maupertuis est donc applicable au cas qui nous occupe, comme à celui du mouvement absolu; mais il y a une différence essentielle au point de vue de ce qui va suivre.
Dans tous les problèmes que l'on rencontrera, la force vive T ou Ho est essentiellement positive; c'est une forme quadratique définie positive. Dans le cas du mouvement absolu (n° 337) l'action
f:i ck /U — h
est essentiellement positive; elle ne change pas quaiid on permute les limites. Au contraire, dans le cas actuel, l'action se compose de deux termes; le premier
est toujours positif et ne change pas quand on permute les limites.
Le second, / c/cr, change de signe quand on permute les limites;
il peut donc être j^ositif ou négatif.
Si l'on observe de plus que, dans certains cas, le preiuier terme s'annule sans que le second s'annule, on verra que l'action n'est pas toujours positive et cette circonstance nous occasionnera dans la suite beaucoup de difficultés.
339. Pour montrer comment les considérations qui précèdent s'appliquent au mouvement relatif, considérons d'abord le mouvement absolu du système; soit donc
et imaginons que la position du système soit définie par /i --f- i
variables
0^1, oe-î, .... x„, w,
f)ù Xi, x-2i . . .^x,i suffisent pour définir la position relalwe des différents points du système, et ^^i l'orientation du système dans l'espace.
Si le système est isolé, U dépendra seulement de ^,, 0C2, • • -, Xn ; T sera une forme quadratique homogène par rapport à x\ , .r',, ..., x\^^ co' dont les coefficients dépendent seulement de
On aura alors l'équation
cIm'
où p est une constante; c'est l'intégrale des aires. Cela posé, soit J l'action hamiltonienne
3 = f Hdt;
on aura, si les équations du mouvement sont satisfaites,
clT . ^T
oJ =
^^ ax; d(x>
L'action sera minimum (ou plutôt sa première variation sera nulle) si les valeurs initiales et finales des Xi et de 00 sont regardées comme données, c'est-à-dire si hxi= o(o=o pour t^ t^ et pour t = ti.
Supposons maintenant que nous regardions comme données les valeurs initiales et finales des xi^ mais pas celles de to; nous aurons
0 J = [p OW ]i^fl = p ['^^h^l,-
Soit alors et
il viendra évidemment
H'=H— pw' y= fli'dt,
oJ' ^= G.
dT De l'équation -y-, ^/?, on tire w' qui est une fonction linéaire
non homogène des x'^; on voit ainsi que H' est une fonction quadratique non homogène par rapport aux x].
H' est donc de la forme Ho+ Hi -h Ho? étudiée au n° 338.
Ainsi l'intégrale J' sera minimum, alors même que les valeurs initiale et finale de oj ne sont pas regardées comme données.
On a d'ailleurs
J'= J —p((Jii — lùo),
cOq et lOi étant les valeurs de to pour t ^= t^ et t ^ t^.
340. Supposons maintenant un système rapporté à des axes mobiles, et soumis à des forces qui ne dépendent que de la situation relative du système par rapport aux axes mobiles. Supposons de plus que les axes soient animés d'un mou.vement de rotation uniforme de vitesse angulaire constante co'.
Ce problème se ramène immédiatement au précédent; nous n'avons qu'à attribuer aux axes mobiles un moment d'inertie très grand de telle façon que sa vitesse angulaire demeure constante.
On a alors pour le mouvement absolu
H = T + U = TiH-T2+U.
La fonction des forces U ne dépend que des variables Xi qui définissent la position du sj'stème par rapport aux axes mobiles; T< , force vive du système, dépend des Xi et est une forme quadratique par rapport aux x'^ et à o)'; T2, force vive des axes mobiles, est égal à
et le moment d'inertie I est très grand. 11 vient alors
et
ou
Oi
H'=H — OW'=:(Ti-r-T2-4-U)- ^ w'— Iw'2
Comme 1 et /? sont très grands par rapport a -^ ■> cette equa-
DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION. 9.5g
lion nous donne approximativement
et plus exactement
, p I ^Ti " = 1 ï du.''
De plus
rfTi
Ia)'2
jo2 p dià' I / dTi
il J -iiydiù'
On trouve ainsi
il ilxdis) J
Dans le second membre, l'avant-dernier terme est une constante; le dernier est négligeable parce que I est très grand.
Comme on peut, sans rien changer au principe de Hamilton, ajouter à H' une constante quelconque, nous pourrons poser
H" = Ti -+- U
et nous saurons que l'intégrale
J"= Cwdt
doit être minimum (alors même que les valeurs initiale et finale de to ne sont pas données).
Dans l'expression de H", w' doit être regardée comme une constante donnée; H" est alors une fonction quadratique, non homogène par rapport aux x^-, de la forme Ho+ H, + H2.
Soit, par exemple, un point matériel de masse i se mouvan t dans un plan et dont les coordonnées par rapport aux axes mobiles sont \ et "0. On aura
■2 11 viendra donc
L'intégrale
J= r '(H2+Hi-f-Ho)^« "
•>.Go CHAPITRE XXIX.
est alors minimum, quand on regarde comme données les limites ^0 et ti ainsi que les valeurs initiales et finales de ^ et de r^. L'intégrale des forces vives s^écrit alors
H, = Ho H- A
et nous avons vu que l'intégrale
J'z= / (H2-+- HjH- Uo-h h)dt = J -I- h{ti— to)
est minimum lors même qu'on ne regarde pas t^ et tf comme donnés.
On trouve alors
J'= f (2ii. -h Ui)dt= f[ds^Uo-^h^(sj'Cç dr^—r^d';)] en posant
C'est le principe de Maupertuis généralisé.
Dans les problèmes que nous traiterons, U sera toujours positif, et, par conséquent, J sera essentiellement positif.
11 n'en sera pas toujours de même de J'. En effet, si h est négatif, nous devrons supposer que le point ^, Tj reste cantonné dans le domaine défini par l'inégalité
Ho+ h > o.
Le premier terme de la quantité sous le signe / qui est
ds ^/Hq-^ h est essentiellement positif; il n'en sera pas ainsi du second qui change de signe quand on renverse le sens dans lequel la trajectoire est supposée parcourue.
Si le point ^, rj est très voisin du bord du domaine où il est confiné, si, par conséquent, Ho + /i est très petit, le premier terme sera très petit et ce sera le second qui donnera son signe.
J' n'est donc pas essentiellement positif. On s'en rend compte aussi à l'aide de l'équation
J' = J -f-/i(fi— ^o).
Si h est négatif, le premier terme J est positif et le second négatif.
Foyers cinétiques.
341. Jusqu'ici quand j'ai dit, telle intégrale est minimum, je me suis servi d'une façon de parler abrégée, mais incorrecte, qui ne pouvait d'ailleurs tromper personne; je voulais dire, la variation première de cette intégrale est nulle; cette condition est nécessaire pour qu'il y ait minimum, mais elle n'est pas suffisante.
Nous allons maintenant rechercher quelle est la condition pour que les intégrales J et J', que nous avons étudiées dans les numéros précédents, et dont les variations premières sont nulles, soient effectivement minimum. Cette recherche se rattache à la difficile question des variations secondes et à la belle théorie des foyers cinétiques.
Rappelons les principes de ces théories.
Soient x^^ X'x^ • • .-, Xa des fonctions de t\ soient x\^ ^'.>, . . ., x\^ leurs dérivées; considérons l'intégrale
I f{Xi, x'i
)dt,
dont la variation première oj est nulle, en regardant concilie données les valeurs initiales et finales des Xf.
Pour que cette intégrale soit minimum, il faut d'abord une condition, nécessaire, mais non suffisante, que j'appellerai la condition (A).
C'est que
considéré comme fonction des s/, soit minimum.
La condition (A) n'est pas suffisante, à moins Cjue les limiles
d'intégration ne soient très rapprochées. Sauf ce cas, il faut y
joindre une autre condition que j'appellerai la condition (B).
Pour l'exposer, il faut d'abord que je rappelle la définition des
foyers cinétiques.
Pour que
ôJ = 0,
il faut et il suffît que les xi satisfassent à n équations différentielles du deuxième ordre que j'appellerai les équations (C). Soit
une solution de ces équations.
Posons, pour une solution infiniment voisine
et formons les équations aux variations, équations linéaires auxquelles satisfont les ^i et que j'appellerai (D).
La solution générale de ces équations (D) sera de la forme
Les A/c sont 2n constantes d'intégration, les ^i^ sont in'^ fonctions de t, parfaitement déterminées et correspondant k 2n solutions particulières des équations linéaires (D).
Cela posé, écrivons que les ^i s'annulent tous pour deux époques données i = ^', et ^ = t"; nous aurons 2/1 équations linéaires entre lesquelles nous pourrons éliminer les 2/1 inconnues A^f.
Nous obtiendrons ainsi l'équation
où A est le déterminant
Ç « . 1 s rt . 2 Sl.l Çl.2
Çi.2/1
'in .2 71 Çl.2W
ç|-^et ^}^. sont ce que devient la fonction ^i/( quand on y remplace t par t' et par t".
Si les époques l' et t" satisfont à l'équation A = o, nous dirons que ce sont deux époques conjuguées et que les deux points M' et M" de l'espace à n dimensions, qui ont respectivement pour coor-
données
-fi(i'), a>2(«')) •■•> ?«(^').
?l(^"), ?2(«"), •••- ^nit"),
sont deuxy?om^5 conjugués.
Si de plus ^' est celle des époques conjuguées de t', et postérieure à i', qui est la plus voisine de t', nous dirons que M" est le foye/^ de M'.
Nous pouvons maintenant énoncer la condition (B) : c'est qu'entre ^o et ti ne se trouve aucune époque conjuguée de ^o-
Pour que J soit un minimum, il faut et il suffît que les condiditions (A) et (B) soient remplies.
On peut tirer de là une conséquence immédiate.
Soient ^O) ^o ^25 h quatre époques.
Soient Mo, M,, Mo, M3 les points correspondants de la courbe
Supposons que M, soit le foyer de Mq et M3 celui de M^. Si la condition (A) est remplie on pourra avoir
to<ti<h< h ou
to<h<ti< h OU
h<h<to<ty.
Mais on ne pourra pas avoir sans quoi l'intégrale
devrait être minimum puisque la condition (B) est remplie, et l'intégrale
ne serait pas minimum puisque la condition (B) ne serait pas remplie en ce qui la concerne.
Cela est impossible puisqu'on peut faire varier les fonctions Xi entre t^ et ^j — s, sans les faire varier entre Iq et t^.
Il est aisé de voir quelle est la signification géométrique de ce qui précède.
La courbe de l'espace à n dimensions
Xi = Ç/ ( t )
représentant une solution des équations (c) poun-a s'appeler une trajectoire, que j'appelle (T).
La courbe
Xi — C2,- -i- li
représentera une trajectoire infiniment voisine.
Si par le point M' on mène une de ces trajectoires ('J'') infiniment voisines de (ï) et que cette trajectoire vienne de nouveau couper la trajectoire (T) en M" (plus exactement, la distance de M" à cette trajectoire sera un infiniment petit d'ordre supérieur); les points M' et M" seront conjugués si, de plus, le point qui décrit (T') passe en M' et infiniment près de M" aux époques t' et t" .
342. Dans le cas du principe de Hamilton, la condition (A) esl toujours remplie; en effet, on a
et Ho est une forme quadratique homogène par rapport aux x).
Dans tous les problèmes de Dynamique, cette forme quadratique est définie et positive.
Si nous changeons x'^ en x'--^ £/, H, se change en
et Ho se change en
d'ailleurs
„ clUç
Donc
H ( x'i-\- Zi) = Ho -f- Hi -H Ho -h Se,- -^ — -^^^ h H, ( s/ ).
d'où enfin
Le premier membre correspond à la fonction
comme la forme quadratique Ho(£/) est définie positive, nous voyons que l'expression est minimum pour £/=o, c'est-à-dire qiie la condition (A) est remplie.
343. Passons au cas du principe de Maupertuis dans le mouvement absolu. L'intégrale à examiner s'écrit alors
où cl-'- est une forme quadratique définie positive par rapport aux différentielles dxi.
Prenons pour un instante, pour variable indépendante; l'inté-
grale devient
■ J dxi
OÙ ( ;t— ) est un polynôme du second degré P non bomogène (mais essentiellement positif), par rapport aux -^^ Soit donc
V, V \d.rj
Il s'agit de savoir si
d^ dx\
v/KS:-^')-^^'^^'^'
est minimum pour £/ ^ o ; on, en d'autres termes, si la dérivée seconde, par rapport à ?, du radical
\axx est positive.
