II. P. — m

dx dx

Mais, quels que soient les -j-^ et les s/, on aura

rt, 6, c étant indépendants de f ; la dérivée seconde du radical est

ac — 62

alors égale à

Comme le poljnome.P est essentiellement positif, cette expression est aussi toujours positive et la condition (A) est toujours remplie.

34i. Passons au principe de Maupertuis dans le mouvement relatif. Nous avons alors à envisager l'intégrale

/ [ds /Ho -+- a -t- o/(ç t/rj — -r) f/^)],

ou, en prenant ^ pour variable indépendante,

fdl [ v/(Ho + /i)(i + t/^ + co' ( ïr/ - T; )]. Il faut donc rechercher si la dérivée seconde par rapport à t\ de

v/( Ho + A)(H- r/2; — (../(ïr/— -^ ) est positive; or, cette dérivée est

\/Ho + h

La condition (A) est donc toujours remplie.

Ainsi la condition (A) est remplie d'elle-même dans tous les cas que nous aurons à examiner.

Foyers maupertuisiens.

345. Les fojers cinétiques ne sont pas tout à fait les mêmes suivant qu'on envisage l'action hamiltonienne ou l'action maupertuisienne. Pour mieux nous en rendre compte, supposons deux

degrés de liberté seulement et soient x ety les deux variables qui définissent la position du système et que nous pourrons regarder comme les coordonnées d'un point dans un plan. Soient

les équations d'une trajectoire (T) qui sera une courbe plane. Posons

et, négligeant les carrés de ^ et de r, , formons les équations aux variations. Comme elles sont linéaires et du quatrième ordre, on aura donc

Ç = «Kl -H «2Ç2 -+- «3?3 -t- «4?i,

'r, = «i'/)! -4- «2 ■'ia -+- «3 '03 ■^- «i ■'ii,

les ai étant des constantes d'intégration, les ç/ et les 't]i des fonctions de /.

L'équation du n° 341,

s'écrit alors

'li

'cl

ri

'ni

'ol

C'est cette équation qui définit les foyers liainilloniens.

Elle exprime que le point ^, y qui décrit la trajectoire (T) et le point ^ + ç, y-\~'r\ qui décrit la trajectoire infiniment voisine (T') se trouvent à deux époques différentes, à savoir aux époques t' et t" ^ séparés par une distance infiniment petite d'ordre supérieur.

Mais ce ne sont pas là les conditions que doivent remplir les foyers maupertuisiens. Deux des points de la trajectoire (T), à savoir les deux points M' et M" qui correspondent aux époques t' et l!' , doivent être à une distance infiniment petite d'ordre supérieur de la trajectoire (T'). Mais il n'est pas nécessaire que le point mobile qui parcourt (T') passe précisément à l'époque z", par exemple, infiniment près de M". En revanche, la constante H. des forces vives doit avoir la même valeur pour (T) et pour (T');

cette dernière condition n'est pas imposée aux fojers hamiltoniens. L'une des solutions des équations aux variations est

Nous pouvons donc supposer

Ainsi sont définies les deux fonctions ^^ et r, ,.

D'autre part, la différence entre la constante des forces vives relative à (T) et la constante des forces vives relative à (T') est infiniment petite; c'est évidemment une fonction linéaire des quatre constantes infiniment petites «i, a ■2-, «3, «, •

Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que cette différence est précisément égale à a^.

Alors, la condition pour que la valeur de la constante des forces vives soit la même pour T et (T'), c'est que a,, = o, ou bien

Maintenant, pour t = t',t, et r\ doivent être nuls, d'où les équations

«1 Cl -r- «2 ;

«j r,\ -h ct-i-f/

D'autre part, la valeur de ^ + ^, jk + '^ pour t ^^ l" -j- e doit être la même (à des infiniment petits près d'ordre supérieur) que celle de a: el de y pour l = i", ce qui s'écrit

«1; Çi

ao-r,.

a-iT,., = o.

d'où, par élimination,

'fri

En développant le déterminant, on trouve

= ; 'M "îi '13 ■

^3 'il ï"v"

et, en posant

l'équation (2) devient

Application aux solutions périodiques.

3i6. Si nous avons affaire à une solution périodique de période 211, les fonctions f\{t) et /^{t) du numéro précédent seront périodiques de période 271; il en est de même de

De plus, les équations aux variations admettront, d'après le Chapitre IV, d'autres solutions particulières qui seront de la forme

^ = cp,(0+P^/;(0, ■ri = ^dt)^^tf,{t).

Dans ces équations, ^ est une constante, a et — a sont les exposants caractéristiques, les cp et les t|> sont des fonctions périodiques.

Soit

^ / dx dv\

^r'-^''-^'TZ7J = ^'^"^'l'équation des forces vives; on devra avoir

d¥ ^ ^ d¥ d¥ d\ dF d-t]

dx dy , dx dt , dv dt ' '

dt dt

A étant une constante. Si, dans cette équation, nous remplaçons ^ et •r\ par e^'^cso, e^^(|>2j 1^ premier membre devient une fonction périodique de t multipliée par 6=*^ et, comme il doit être constant, il faut qu'il soit nul.

On aura donc

Gela veut dire que les deux trajectoires infiniment voisines qui

ont pour équations et

correspondent à une même valeur de la constante des forces vives.

On A'eri-ait de même qu'il en est encore ainsi de la trajectoire r qui a pour équation

Rien n'empêche donc de poser

Alors Ç(f) est de la forme suivante

G[t) étant une fonction périodique.

Cas des solutions stables.