Nous devons maintenant distinguer deux cas

1° La solution est stable et a- est négatif. Dans ce cas ^;> et ^3. 7]2 et Tjs sont imaginaires conjugués; î^ et G ont pour module l'unité. Nous allons faire trois hypothèses que nous justifierons plus loin.

1° Supposons d'abord que G(^)'ne devienne jamais ni nul ni infini;

2° Que la fonction

qui est essentiellement réelle soit aussi constammenl croissante;

3° Supposons de plus que logG(^) soit une fonction périodique.

Alors, l'équation (3) pourra s'écrire, en appelant t' et x" les deux valeurs de t qui correspondent à i' et à t" ^

X — -: = ik étant entier).

A chaque valeur de t correspond une seule valeur de t et à chaque valeur de t une seule valeur de t; nous ne pouvons donc avoir k=o sans avoir t' = t" ; et si nous voulons i" >> l' , il faut que k soit positif.

En faisant /i = i on donnera à t" — t' la plus petite valeur; il vient

et le point M" est alors le foyer de M'.

Mais il importe de remarquer une chose.

Pour que le raisonnement qui précède s'applique, il faut que logG(^) soit une fonction périodique; mais, en général, tout ce que nous savons, c'est que G(;) est une fonction périodique, et il en résulte simplement que

logG(0

augmente d'un multiple de 2 ^'tî, par exemple de 2/xiTz quand t

augmente de 27t. Alors

logG{t) — ikt,

est une fonction périodique.

Posons alors

ik

il viendra

On posera alors, non plus

■z = i-h — logG(0, mais

x==t+~ logG'cO;

comme logG(^) sera périodique, les conclusions qui précèdent subsistent,, l'équation (3) s'écrira

z — T = — r- {ni étant entier)

272 CllAPlTUE XXIX.

et, de plus, M" sera le fojer de M' si

348. Ainsi se trouve justifiée l'une de nos trois hypothèses, que logG(f) doit être périodique. Je dis maintenant que la fonction T doit, comme nous l'avons supposé, être constamment croissante.

Supposons en effet que cette fonction admette un maximum Tq pour i = ^0 ; nous pourrions alors trouver deux époques t\ ei t\ telles que les valeurs correspondantes t', et 1"^ de la fonction x soient égales, et deux autres époques, t'.^ et t".^ telles que x'., ^ x!^ ; telles enfin que les cinq époques d'ailleurs très voisines l'une de l'autre, satisfassent aux inégalités

t'.,< i\< i,< t'[< tl.

Alors t"^ serait le fojer de t\, t"., celui de t'.^\ or, nous avons vu plus haut que de pareilles inégalités sont impossibles quand la condition (A) est remplie.

Je dis maintenant que G(^) ne peut s'annuler; en effet, on a

Le numérateur et le dénominateur de ^(;) sont imaginaires conjugués; si l'un d'eux s'annule, l'autre s'annule également, de sorte que la fonction ^(^) ne peut devenir ni nulle ni infinie.

Ainsi se trouvent justifiées toutes nos hypothèses.

Solutions instables.

349. Supposons maintenant la solution instable et of- positif; dans ce cas ^oj ''^-i, \^^^ '^is, Ç, ^-5 G sont réels.

Pour la même raison que plus haut, la fonction x sera constamment croissante; mais deux hypothèses sont possibles :

1° Ou bien Ç(^) ne peut s' an aider ni devenir infini et croît constamment de o à -t- 00 quand t croît de — 00 à + co.

Il arrive alors q^ aucun point de notre solution périodique n'a de foyer mauperluisien.

2" Ou bien 'C,[t) peut s^ annuler pour f = ;„ ; il s'annulera alors aussi pour f ^ ?o + ^tc, et comme il ne peut avoir ni maximum, ni minimum, il faut qu'il devienne infini dans l'intervalle. De même, si '^{t) peut devenir infini, il faut aussi qu'il puisse s'annuler.

Supposons donc, pour fixer les idées, que ^(^) devienne infini pour

et pour les valeurs qui en diffèrent d'un multiple de 27îet s'annule pour

Je suppose d'ailleurs

D'ailleurs, quand t croît de ^o à /|, ou de t^ à ^o, ou de t.y à ?o -t- 2 71, Ç(^) croît constamment de — oo à -j- oo.

La trajectoire fermée (T) qui représente notre solution périodique sera donc partagée en deux arcs dont les extrémités correspondront aux valeurs de t

ta, ti, ^0 -4-271.

Chacun des points de l'un des arcs aura son premier {oyer sur l'arc suivant.

J'ajoute que les points qui correspondent aux valeurs de t

coïncident avec leurs deuxièmes foyers.

Soient t" une valeur de t correspondant à un point quelccnque de (T) et t'^^ la valeur de t qui correspond à son n^""^"^ foyer, on

aura

,. i'.'. — i" 2TI

lim =

Mais ce n'est pas tout; on aura

Si n est très grand et si G{l") n'est pas infini, comme t^ — t" est très grand et que nous supposons a positif, G(^J^) sera très petit,

de sorte que si t!' est, par exemple, compris entre ^o et ^i ■, 1^ difTérence

tendra vers t'^^ quand /i croîtra indéfiniment.

Si n tend vers — co, cette différence tendra vers ^o o" vers ^, selon que f sera compris entre t^ et t'^ ou entre t'^ et ^|. J'ajouterai que la différence i.',^^ — iniz est, ou constamment croissante, ou constamment décroissante avec n.

Les valeurs t'^, t\ correspondent aux points où

mais ^,r|o — ço'Oi est une fonction périodique multipliée par e'^^ \ or, une fonction périodique doit dans une période s'annuler un nombre pair de fois.

Par conséquent, la trajectoire fermée (T) sera partagée par les points ^05 ^15 ^0+ 271 en un certain nombre d'arcs et ce nombre sera toujours pair.

330. Au point de vue qui nous occupe, les solutions périodiques instables peuvent donc se répartir en deux catégories. Mais on pourrait se demander si ces deux catégories existent réellement. Il convient donc d'en citer des exemples.

Soient p et to les coordonnées polaires d'un point mobile dans un plan; les équations du mouvement s'écriront

Supposons que, pour p = i, on ait

d\] d\] dn) , ,

aoj dp dp^

les équations (i) admettront pour solutions

et cette solution correspondra à une trajectoire fermée qui sera une circonférence.

dr^

/doiY dU

d'iM dp dto

[dt P-^ do'

P' dt^ -^^^ dl dt '-

dd)

DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION. lyS

Posons

et formons les équations aux, variations 5 elles s'écriront

dt^ ^ dt - . ^ ^' df^ dt

La seconde s'intègre immédiatement

dv

-T--t- 2C = const. ;

dt

mais cette constante doit être nulle si nous voulons c[ue la constante des forces vives ait même valeur pour la trajectoire (T) et pour la trajectoire infiniment voisine.

Si donc on remplace ~j- par — at^, la première éc{uation aux variations deviendra

L'équation (2) qu'il nous reste à intégrer est une équation linéaire à coefficient périodique.

Ces équations ont été traitées dans les n"^ 29 et 189 (^voir en outre Chapitre IV, passim).

On saitqu'elles admettent deux solutions de la forme suivante :

G et G) étant des fonctions périodiques.

Nous allons trouver des exemples de tous les cas distingués plus haut. Supposons d'abord cjue o se réduise à une constante A (cas des forces centrales).

Si A <! 3, on aura une solution périodicjue stable.

Si A>>3, il n'y aura pas sur (T) de fojer maupertuisien et nous aurons une solution périodique instable de la première catégorie.

Il me reste à faire voir qu'il peut aussi y avoir des solutions périodiques instables de la deuxième catégorie.

La solution sera instable et de la deuxième catégorie si G s'annule de telle façon que le rapport

qui correspond à la fonction ^{i) des numéros précédents puisse s'annuler et par conséquent devenir infini.

Or, on peut évidemment construire une fonction périodique G satisfaisant aux conditions suivantes :

1" Elle admettra deux zéros simples et deux seulement;

2" Ces zéros annuleront également

d-^G dCr

df^ dt

Il en résulte que toutes les fois que

s'annulera, sa dérivée seconde s'annulera également de telle façon que le rapport

restera fini.

On peut évidemment construire une Ibnction G qui satisfasse à ces conditions; la fonction périodique cp construite à l'aide de cette fonction G correspondra à une solution périodique instable de la deuxième catégorie.

Comme exemple de fonction G satisfaisant à cette condition, nous pouvons prendre

oc

G = sin < (cos ^ — cos3 O-

Cette fonction s'annule pour ^ = 0 et ^ = -; et elle n'a pas

d'autre zéro si

D'ailleurs, pour ; ^ o et pour f = 71, on a d''- G dQ,

df- dt

Pour que le rapport ^ s'annule, il ne suffit pas que G s'annule,

il faut encore que Gi ne s'annule pas.

Or, c'est ce qui arrive, car si G et Gi s'annulaient à la fois, les

deux solutions

ne pourraient difFérer que par un facteur constant (puisqu'elles satisfont à une même équation différentielle du second ordre) et cela est absurde.

351. Un point sur lequel je veux attirer l'attention, c'est que les solutions instables de la première et de la deuxième catégorie forment deux ensembles séparés de telle façon qu'on ne peut passer de l'une à l'autre d'une manière continue sans passer par l'intermédiaire des solutions stables.

Bornons-nous d'abord au cas particulier du numéro précédent et reprenons l'équation

Faisons varier la fonction co d'une manière continue et voyons si l'on pourra passer immédiatement d'une solution instable de la première catégorie à une solution instable de la deuxième catégorie. Pour cela, il faut que la fonction G qui est réelle soit d'a])ord incapable de s'annuler et ensuite susceptible de s'annuler. On passerait donc du cas où l'équation G == o a toutes ses racines imaginaires au cas où elle a des racines réelles. Au moment du passage, elle aurait une racine double ou plus généralement multiple d'ordre 2 7?/.

Ce zéro, qui serait d'ordre im pour G, serait d'ordre im — i

clQt -, , , cl- (j -, I ,

pour -j-, d ordre im — 2 pour -7— 5 de sorte que i expression

cl^-G dG ,„

—7—- -t- aa — ; h- x^Lr

«V/2 dt

deviendrait infinie, ce qui est impossible, puisqu'elle est égale à o — 3.

Au contraire, on peut passer d'une solution stable à une solution instable de l'une ou de l'autre catégorie.

Pour une solution stable, en effet, G est imaginaire. Au moment où la solution deviendra instable, la partie imaginaire de G

deviendra identiquement nulle; si, à ce moment, la partie réelle de G a des zéros, on passera à une solution instable de la deuxième catégorie; si cette partie réelle ne s'annule jamais, on passera à une solution instable de la première catégorie.

11 n'j a d'ailleurs aucune difficulté à passer du cas où l'équa-

lion