partie réelle de G
a toutes ses racines imaginaires à celui où cette équation a des racines réelles, pourvu qu'au moment du passage la partie imaginaire de G ne soit pas nulle.
352. Pour mieux faire comprendre ce qui précède, je vais revenir à un exemple qui nous est déjà familier.
Revenons à l'équation de Gyldén, c'est-à-dire à l'équation (1) du n° 178 (t. II). Nous donnerons à cette équation le numéro (3) et nous l'écrirons
(3) -^ =.r(— 5r2+^lCOS20-
On voit qu'elle est de même forme que l'équation (2).
Nous avons vu que cette équation a, comme l'équation (2), deux
intégrales de la forme
e^^'G, e-"^«Gi,
que nous avons écrites dans la notation du n° 178, sous la forme
Le cas de h réel correspond alors au cas des solutions stables et le cas de h imaginaire à celui des solutions instables.
Nous avons envisagé aussi deux intégrales remarquables; la première paire
la seconde impaire
et nous avons trouvé les conditions
¥(T.)f\^)-f{7:)¥'in) = i, F(7r) = /'(Tî)= cos/m.
Je renvoie maintenant à la figure de la page 243 (Tome II) où, regardant q et ^, comme les coordonnées rectangulaires d'un point, nous avons séparé les régions correspondant aux solutions stables de celles qui correspondent aux solutions instables. Ces dernières sont représentées couvertes de hachures.
Ces diverses régions sont séparées les unes des autres par quatre courbes analytiques dont j'ai donné les équations page 241 (Tome II).
Voici ces équations
(P) F(7r)= .1, /(tt) =0,
(8) F(7r) = -., /(tt) =0.
A quelle catégorie appartiennent les solutions instables qui correspondent à nos régions couvertes de hachures? Il est clair d'abord que les solutions instables qui correspondent à l'une de ces régions sont toutes de la même catégorie. Cela résulte immédiatement de ce qui précède.
Or, en un point de l'une des courbes (P) et (5), la fonction G se réduit à f(t) et cette fonction peut s'annuler puisqu'elle est impaire. Donc, si une région est limitée par un arc de l'une des courbes ([S) et (0), les solutions correspondantes seront de la seconde catégorie.
Mais il en est ainsi de toutes nos régions. Donc toutes nos solutions instables sont de la seconde catégorie.
Il est aisé de transformer notre exemple de telle façon que l'on ait des solutions des deux catégories. 11 suffît de remplacer qpar q de façon que ce coefficient puisse devenir négatif.
Notre équation (3) s'écrit alors
cl- OC (3 hh) —j—^ r=z x{ — ^-T-^'i C0S2/).
îSo CHAPITRE XXIX.
Prenons toujours q et qs pour coordonnées rectangulaires et construisons une figure analogue à celle de la page 24 1- f-'^ partie de la figure située à droite de l'axe des ^, du côté des q positifs sera analogue à la figure de la page 241. Mais nous aurons à gauche de l'axe des ^,, du côté des q négatifs, une région couverte de hachures, limitée par une espèce de parabole tangente à l'axe des q\ .
Les régions hachées de droite correspondront, nous venons de le voir, à des solutions de la seconde catégorie; mais il n'en sera pas de même de la région hachée de gauche.
Il suffît pour s'en convaincre de faire ^, -- o, d'où
— pfJ-
353. Je n'ai encore fait la discussion que dans un cas particulier. Pour l'étendre au cas général, je vais montrer qu'on est toujours amené à une équation de même forme que l'équation (2) du numéro précédent.
Considérons d'abord le cas du mouvement absoki; si U est la fonction des forces et si x el y sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans un pkn, les équations du mouvement s'écriront
„ cm „ du
et les équations aux variations
\^ ~ 'dx-^ ^ dxdf "
il) I
' dxr/y^ dy-i ''
Je représente pour plus de brièveté par des accents les dériva-
tions par rapport à t. Ainsi ç" représente ici -^ et non plus,
comme dans le n° 341, la valeur de ç pour / = l" . L'intégrale des forces vives s'écrira
et l'inlégrale correspondante de (2)
X i -{- y i\ = -y- ç M r- '1 ■+ û/( (o/i étant une constante).
dx dy '
Pour l'application du principe de Maupertuis, il faut supposer
oA = o, de sorte cjue nous aurons
ou bien
(3) •^'?'-Hy-^/'='Z-"ç-i-y'-'-,-
Nos équations (2) et (3) admettront alors trois solutions linéairement indépendantes c[ue nous avons appelées au n" 345
TQi =y
Posons
(5) %='çy-r,x'.
Si alors nous appelons ô,, 80, 83 les trois valeurs de 9 qui correspondent aux trois solutions (4), nous aurons 9, = o et la fonction que nous avons appelée ^(t) au n° 345 ne sera autre chose que
De l'équation (5) on tire
(6) ^' = î'y^ ''^1'^' -^ ^j" — "Tix"
et
6"= ?/"- v^"'-t- ry- v'^'+ ^ay"--q'T").
Mais x' et y' satisfont aux équations (2), de sorte que l'on a
,„ d'-V , -d-^\J , dx^ dx dy *^
"^ dx dy dy- ■^
Remplaçons dans l'expression de 9", les dérivées x" et y'" par les
202 CHAPITRI': XXIX.
valeurs ainsi trouvées et les dérivées ^' et ri" par leurs valeurs (2), il viendra
(7) e"-eAU = 2(ry'-r/.^.").
Je désigne par AU (ou plus brièvement par A) la somme des deux dérivées secondes -y—r -A — r— -•
Il est aisé de vérifier l'identilé suivante
= i{y"oc'-yx")a'x'+ ■r{y-U'- r^y),
ou, en tenant compte de (5), (6), (7) et (3),
(8) (^'2+/2)(0"— 0A) — 2(^'y'+jy')0'-f-2(a7"2-4-y2)e = 0.
Telle est l'équation différentielle qui définit la fonction inconnue 9. Nous poserons
et notre équation deviendra
équation de même forme que l'équation (2) du numéro précédent. Les conclusions du numéro précédent subsistent donc; une solution périodique instable est de la seconde ou de la première catégorie selon que la fonction cp peut ou non s'annuler. On ne peut passer directement d'une solution instable de la première catégorie aune solution instable de la seconde, mais seulement en passant par des solutions stables.
354. Les mêmes résultats subsistent-ils encore dans le cas du mouvement relatif?
Les équations du mouvement deviennent alors
(l OIS) X i'J->y = -J— ' y -i-2Cl).Z; =: —y--,
(0 désignant la vitesse de relation des axes mobiles.
Les équations des variations seront
clx''- dx dy
(■2 bls^ \
L'équation des forces vives étant encore vraie, il en sera de même de
Posons encore
les équations (5) et (6) subsisteront.
D'autre part, comme x' et y' doivent satisfaire aux équations (2 his\ on aura
„ d^\} , rf2U ,
X — 2 w k" = —^—- X -h - — -— y , •^ dx^ dx dy -^
•^ dx dv dy^- ■^
En tenant compte de ces équations ainsi que des équations ( 2 bis)^ et en tenant compte également de V équation (3), on peut simplifier l'expression de 0" et l'on retrouve l'équation
(7) 6"-0AU = 2(i'j"--V^").
Comme l'identité du numéro précédent est toujours vraie, on retrouvera les équations (8) et (g); il n'j a donc rien à changer aux conclusions du numéro précédent.
