Mais une nouvelle question se pose
La trajectoire (T) est une courbe fermée; nous avons jusqu'à présent cherché à déterminer si un arcABde cette courbe correspondait à une action plus petite que tout arc infiniment voisin ayant mêmes extrémités.
Mais nous pouvons également nous demander si cette courbe fermée tout entière correspond à une action plus petite que toute courbe fermée infiniment petite.
Supposons d'abord qu'un poiut A de la courbe (T) ait son
premier foyer B sur la courbe (T), de telle façon que l'arc AB soit plus petit que la courbe fermée tout entière.
C'est ce qui arrive pour les solutions instables de la première catégorie, nous avons vu que pour ces solutions la courbe (T) se divise en un certain nombre pair d'arcs et que tout point d'un de ces arcs a son jDremier foyer sur l'arc suivant; de telle façon qu'en partant d'un point quelconque on rencontrera son premier foyer avant d'avoir fait le tour complet de la courbe (T).
C'est ce qui arrive également pour certaines solutions stables. Dans le cas des solutions stables, nous avons posé (n° 347)
t-^ — logG(0= "'
et nous avons vu que le t d'un point et celui de son premier foyer diffèrent de — • Si donc - est plus grand que -> on rencontrera le foyer d'un point avant d'avoir fait le tour complet de (T).
S'il en est ainsi, l'action ne peut pas être moindre pour la courbe (T) que pour toute courbe fermée voisine.
Soit, en effet, ABCDEA la courbe (T) et supposons que D soit le foyer de C. Comme E est au delà du foyer de C, nous pourrons joindre C à E par un arc CME très voisin de CDE et correspondant à une action moindre.
Si je représente par (CME) l'action correspondant à l'arc CME,
on aura
(GME)<(GDE)
et, par conséquent,
(ABGMEAX (ABCDEA).
Considérons maintenant une solution stable telle que
je dis que l'action ne sera pas non plus moindre pour (T) que pour toute courbe fermée infiniment voisine.
Je fais la figure, pour fixer les idées, en supposant - compris
entre -7 et ^r? de telle façon que l'on rencontre le foyer d'un point 40 ^1 „ r
avant d'avoir fait trois fois et après avoir fait deux fois le tour c]e(T).
Soit ABCDA la courbe (T); le foyer F se trouvera entre AB et on le rencontrera après avoir fait deux fois le tour de (T).
Comme B se trouve au delà de ce foyer, nous pouvons joindre A à B par un arc AEHNKHMEB tel que
(AEHNKHMEB)<(ABGABGAB).
Comme on ne rencontre pas le foyer de A en décrivant l'arc AB
Fi{
sans faire le tour de (T), on aura d'autre part
(AE + EB)>(AB), d'où, en retranchant,
(EHNKHME)<(ABCABGA)
ou
(EHME) + (HNKH)<2(ABGA).
On doit donc avoir ou bien
(EHME)<(ABGA) (HNKH)<(ABGA).
ou bien
Il y a, en tout cas, une courbe fermée peu différente de (T) et correspondant à une action moindre.
Donc, pour qu'une courbe fermée corresponde à une action moindre que toute courbe fermée infiniment voisine, il faut
que cette courbe fermée corresponde à une solution périodique instable de la première catégorie.
356. Cette condition est-elle suffisante? Pour nous en rendre compte, étudions les solutions asymptoliques correspondant à une pareille solution périodique instable.
Soient
les équations de la solution périodique et
a; r= c3o(«)-i- Ae«'cpi(i)-i- A^eSa^rp^CO +• • ■>
celles des solutions asymptotiqaes. Les fonctions 'f/(^) et ^/(^) seront des fonctions périodiques de t. Nous pourrons aussi écrire, en posant Ae='^= ;/,
Si u est suffisamment petit, x et j^ seront des fonctions uniformes de ^ et de w, périodiques par rapport à i de période 2 tu. De plus, le déterminant fonctionnel
d(x.y) d^ dW dW d^ d{i, u) dt du clt du
ne s'annulera pas. En effet, pour u = o, ce déterminant se réduit à
?;(0'^(o-'I^'o(oti(o-
Or cette expression n'est autre chose c[ue l'expression
du n° 34-5 divisée par e'^^. Elle ne s'annulera donc pas si la solution instable est de la première catégorie.
Donc, le déterminant fonctionnel, ne s'annulant pas pour u = o, ne s'annulera pas non plus pour u suffisamment petit.
Donc, si u est suffisamment petit, u, cost et sin^ seront des fonctions uniformes de x et dey.
Les équations des solutions asymptoliques s'écrivent
( cr = *(^, Ae^t) ^'^ \y = W{t,Ae^-^')
et l'on voit que le déterminant fonctionnel
ne peut s'annuler, ce qui veut dire que les coux'bes (i) ne présentent pas de point double, ne se coupent pas entre elles et ne coupent pas la trajectoire (T) [ tout cela, bien entendu, si l'on suppose u suffisamment petit; cela ne serait plus vrai si l'on prolon-
geait indéfiniment les courbes (i) de façon que u devienne très gra n d ] .
Les courbes (i) correspondant aux solutions asymptotiques auront donc l'aspect de spirales s'enroulant autour de (T). Cet aspect est représenté sur la figure (2). La trajectoire fermée (T) y est représentée en trait plein, mais je dois avertir qu'il j a sur la figure deux courbes fermées marquées en trait plein; de ces deux courbes, celle qui est intérieure à l'autre est celle qui représente (T).
Les courbes spirales (i) sont représentées en trait pointillé
J'observe qu'il j a deux systèmes de solutions asymptotiques correspondant aux deux exposants caractéristiques égaux et de signe contraire.
a88 CHAPITRE XXIX.
Ces solutions asjmptotiques du second système seraient des courbes spirales analogues aux coui-bes (i), mais s'enroulant en sens contraire. Elles ne sont pas représentées sur la figure.
Dans le cas d'une solution instable de la deuxième catégorie, les courbes (i) présenteraient un aspect tout différent; elles viendraient recouper une infinité de fois la trajectoire fermée (T) et les points d'intersection formeraient un ensemble infini présentant un nombre fini, d'ailleurs pair, de points limites. Ces points limites correspondi^aient aux valeurs t^^ tf envisagées dans le n° 349.
3o7. Revenons aux solutions instables de la première catégorie et aux solutions asymptoticjues du premier système représentées sur la figure (2). Je me propose d'établir que l'action est moindre pour (T) que pour toute courbe fermée infiniment voisine.
Je considère une courbe fermée quelconque infiniment peu différente de (T). Cette courbe, que j'appellerai (T'), est représentée sur la figure (2) par une courbe fermée en trait plein extérieure à (T) et passant par les points C et B3.
Bornons-nous d'abord au cas du mouvement absolu. Dans ce cas nous avons le théorème suivant bien connu :
Soient A,B,, AoBo, ..., A^B^ une série continue d'arcs de trajectoires.
Les extrémités de ces arcs se trouvent sur deux courbes
AiA-,...A„, B1B0...B,,.
Si ces deux courbes coupent orthogonalement les trajectoires A| Bi, A3B0, . . . , A/,B„, on aura
(AiBi) = (A2B,) = ... = (A„B„),
en désignant toujours par (A,Bi) l'action correspondant à l'arc A, B,.
Construisons donc les trajectoires orthogonales des courbes (1). Ces trajectoires que j'appellerai les courbes (2) auront pour équation différentielle
dt du dt du/^ ' \da^ du^ J
Pour chaque point du plan, pourvu que u soit assez petit, passe une courbe (2) et une seule. Il ne pourrait en êlre autrement que si les coefficients de clt et de du s'annulaient à la fois, ce qui ne pourrait avoir lieu que si le déterminant fonctionnel de O et de W par rapport k t el k u s'annulait; nous avons vu qu'il n'en était pas ainsi.
Les courbes (2) sont représentées sur la figure (2) en trait mixte .. ..
Soient A, A2, . . . , A5, B, Bo, . . . , B5 deux de ces courbes infiniment voisines; elles interceptent sur (T) l'arc AoBo, sur les courbes (i) les arcs A, B,, A3B3, AiB^, A5B3, sur (T') l'arc CB3.
Il me suffit, pour mon objet, d'établir que l'action de (CB3) est plus grande que pour l'arc correspondant AoBo de (T).
Nous avons, en effet,
(A,B2) = (A3B3) et, dans le triangle rectangle curviligne infiniment petit A3CB3,
