GB3)>(A3B

On a donc

(CB3)>(A2B2), et, par conséquent,

action de (T') > action de (T).

358. Il reste à voir si le même résultat subsiste encore pour le mouvement relatif.

L'irréversibilité des équations constitue évidemment une différence considérable avec le cas précédent. L'action pour un arc AB quelconque n'est plus la même C[ue pour le même arc parcouru en sens contraire. D'ailleurs, si une courbe cjuelconque satisfait aux équations différentielles, il n'en sera pas de même de la même courbe parcourue en sens contraire.

Enfin, les trajectoires orthogonales des courbes (i) ne jouiront plus de la propriété fondamentale que j'ai énoncée dans le numéro précédent. Mais il j a d'autres courbes que je vais définir et qui jouissent de cette propriété. Cela suffit pour que le résultat du numéro précédent subsiste.

Nous avons, au n° 340, trouvé pour l'expression de Taclion

]'= f[ds^H,

Pour simplifier, je poserai sJHq + /i = F ; je désignerai les coordonnées non plus par ^ et v), mais par ^r et jk pour me rapprocher des notations employées dans les numéros précédents et la vitesse angulaire non plus par oj', mais par w en supprimant l'accent devenu inutile. J'aurai alors

d'où

J'= I [F \/dx' -^ dy''- -i- o:>(.r df — y dx)],

•NT, /T'nt^ 7 ^ dx odx -\- dy ^dy cJ = / oFds^F -^ — ^

-t- oj ( o:r dy — oy dx ) -i- a> ( a? ody — y odx)

OU, en intégrant par parties,

0 J ' = / \oFds-\-2io{ox dy — Zy dx ) — ^xd[ — j— \ — oj' d

ds

dx 037-1- dy oy ds

w(x oy — JK or

FdvY ds )

L'expression définitive de oJ' comprend donc deux parties : une intégrale définie qui doit être prise entre les mêmes limites que l'intégrale J' et une partie toute connue que j'ai placée suivant l'usage entre deux crochets avec les indices o et i, cette notation signifiant qu'on doit calculer l'expression entre crochets pour les deux limites d'intégration et faire ensuite la différence.

Supposons maintenant que l'on égale à zéro l'expression qui

figure sous le signe / dans le second membre de (4)- On obtiendra

des équations différentielles qui seront précisément les équations du mouvement et auxquelles satisferont toutes nos trajectoires et en particulier les courbes (i).

Ces équations peuvent s'obtenir d'une infinité de manières parce que ox et ùy sont deux fonctions entièrement arbitraires.

Nous pouvons d'abord supposer o.r = o d'où oF = 7- ^J"; et notre équation s'écrira, en divisant par oyds,

dF

dy

ds

dF dy ds ds

Si l'on avait au contraire supposé o) ==o, on aurait trouvé

dF dy __ dF dx y^ d-x

dx ds ds ds ds-

Ces deux équations sont équivalentes, comme il était aisé de le prévoir, et, en effet, si on les ajoute après les avoir respectivement

multipliées par -7- et -^, et si l'on tient compte des relations

dx\- / dy\- dx d-x dy d-y

ds

ds

ds ds' ds ds^

on arrive à une identité.

Si donc nous envisageons les courbes (i), elles satisferont à l'équation (6). Si l'on tient compte de cette équation, la relation (4) devient

dx 03^-1- dy 0)'

ds

oi{xùf —yox)

Soient A,B,, A0B2, . . ., A«B„, une suite continue d'arcs appartenant aux courbes (i) et dont les extrémités A i Ao ... A„, B, Bo ...B^ forment deux courbes continues C et C.

Soient A,B/, A/.,., B/+, deux de ces arcs infiniment peu différents l'un de l'autre. Soient ce, y les coordonnées du point A/, x + ox, y --h ùy celles du point infiniment voisin A/^i .

Soient J' l'action relative à l'arc A/B/ et J'+ 0]' l'action relative à l'arc A;,,B/^.,.

Si a est l'angle que fait avec l'axe des x, la tangente à la courbe A/B^ qui est une courbe (i), et si les deux courbes C et C satisfont à l'équation différentielle

F(cosa ox + sina 0/) -^ iii{xQy — j- oa?) = o,

on aura

et, par conséquent.

SJ' = o

(AiBj) = (A2B2)=... = (A„B„).

Les courbes définies par l'équation ('y) peuvent donc jouer le rôle que jouaient dans le numéro précédent, les trajectoires orthogonales des courbes (1).

aga chapitre xxix.

Nous pouvons donc reprendre la figure (a) et supposer que les courbes en trait mixte représentent, non plus ces trajectoires orthogonales, mais les courbes définies par l'équation (^j). Nous n'aurons rien à changer à la démonstration.

Un point cependant n'est plus évident. Dans le triangle rectangle infiniment petit A3CB3, j'avais