II

sera une intégrale du système (7).

Il est aisé, d'autre part, de vérifier qii'elle sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants

>■ v f Qi Ci Qi

U ^k îk

'çi ^'i r;

On pourra donc en déduire un invariant intégral du troisième ordre.

Soient maintenant

/ ¥i{dxidxk), I F^idxidx/e),

deux invariants de deuxième ordre des équations (i).

Nous en déduirons deux intégrales des équations (6), à savoir

ce que je pourrai écrire, pour abréger,

Alors l'expression (12)

Fi(ir)F2(rr)+Fi(r'r)F,(^a') + F, (^r) F^crr) + Fi(rr) F^cr ) + Fi(^r")F2(^'r) + Fi(rr) F2(r)

sera une intégrale du système obtenu en adjoignant aux équations (7) les équations

dçl ^ dXf, .,,,

dt ^ dxi ^'*

De plus, ce sera une fonction linéaire et homogène par rapport

aux déterminants formés avec quatre des quantités li et les quantités ij, i}, ij correspondantes.

Je continue, bien entendu, à supposer que Fi et Fo sont homogènes et linéaires par rapport aux produits dxidxh.

On pourra donc déduire de l'expression (12) un invariant intégral du quatrième ordre.

Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identiquement nul quand on suppose

L'expression (12), divisée par 2, se réduit alors à

Fi(er)Fi(rr)+Fi(r)Fi(rr)+Fi(r)Fi(m-

D'un invariant du deuxième ordre on peut donc toujours en déduire un du quatrième ordre; par le même procédé, on en obtiendrait un du sixième ordre; et, plus généralement, on en obtiendrait un d'ordre ip{ip étant un nombre pair quelconque).