GB3)>(A3B

Le triangle n'est plus rectangle et, d'autre part, j'ai changé la définition de l'action. L'inégalité subsiste-t-elle encore?

11 serait aisé de voir que cette inégalité équivaut aux conditions (A) du n° 341 et nous avons vu au n° 3M qu'elles sont remplies. L'inégalité a donc lieu et notre démonstration subsiste.

En résumé, pour qu'une courbe fermée corresponde à une action moindre cjue toutes les courbes fermées infiniment voisines, il faut et il suffit que cette courbe fermée corresponde à une solution périodique instable de la première catégorie.

359. Ce que nous avons dit au sujet de la classification des solutions instables en deux catégories nécessite une remarque.

A un autre point de vue les solutions périodiques instables peuvent se répartir en deux classes. Celles de la première classe sont celles pour lesquelles l'exposant caractéristique a est réel, de telle sorte que e°'^ soit réel et positif, T étant la période.

Celles de la seconde classe sont celles pour lesquelles cet exposant a a pour partie imaginaire ~ de telle sorte que e*^ soit réel

et négatif.

Dans ce qui précède, nous nous sommes uniquement attachés aux solutions instables de la première classe. Voyons si celles de la deuxième classe peuvent également se répartir en deux catégories.

Nous pourrons poser

a! étant réel; et nous poserons ensuite comme au n° 346 :

OÙ cDo, ^o, 03 et ^3 sont des fonctions de t qui changent de signe quand t se change en ^ + T et qui seront réelles. Il vient alors

Le numérateur et le dénominateur de G sont des fonctions de t qui changent de signe quand t se change en ï -f- T.

On est donc certain que ces deux fonctions s'annulent, et par conséquent qu'il e'n est de même de

Ces deux dernières fonctions satisfont à une même équation différentielle linéaire du second ordre dont les coefficients sont des fonctions périodiques de t ne devenant pas infinies, le coefficient de la dérivée seconde se réduisant à une constante. Ces deux fonctions ne peuvent s'annuler à la fois; car si deux intégrales d'une pareille équation linéaire s'annulaient à la fois, elles ne pourraient différer que par un facteur constant. Or ^(^) n'est pas une constante.

Le numérateur et le dénominateur de ^{t) s'annulent donc tous deux et ne s'annulent pas à la fois; donc ^(^) [et par conséquent G(^)] peut s'annuler et devenir infini.

Toutes les solutions instables en question sont donc de la deuxième catégorie; à part cela, il n'y a rien à changer à ce qui précède.

FOlRMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIEME GENRE.

360. Nous allons voir maintenant comment on peut former effectivement les solutions périodiques du deuxième genre.

Soient

dxi f/F (Ivi dF

dt dyi dt dxi

un sjstème d'équations canoniques; et supposons qu'elles admettent une solution périodique du premier genre

(2) Xi='^i{t), y,-=^i{t).

Nous nous proposons d'étudier les solutions périodiques du deuxième genre qui dérivent de la solution du premier genre (2).

L'analyse peut être simplifiée, au moins pour l'exposition, si l'on amène les équations (i) à une forme convenable par une série de changements de variables.

Nous supposerons deux degrés de liberté seulement. Quand / augmentera d'une période, y\ et y.2 augmenteront respectivement de

h'i et ^"2 étant des entiers.

Je puis d'abord supposer A-, = o; car, s'il n'en était pas ainsi, j'amènerais A"i à s'annuler par le changement de variables du n° 202.

Je puis ensuite supposer que la solution périodique (2) se réduit à

car, s'il n'en était pas ainsi, je ferais le changement de variables du n° 208.

Cela posé, nous allons voir comment on peut ratlachei^ la recherche des solutions périodiques du second genre, soit à l'analyse du n° 274-, soit à l'analyse du n° 44.

361. Rappelons les résultats obtenus aux n°= 273 à 277. Soient des équations canoniques

dxf dF dvi dF , . .

^ ' dt dfi dt dxi » î 7 /

contenant un paramètre \ et supposons qu'elles admettent une solution périodique

de période Tq, correspondant à la valeur Co de la constante des forces vives, et à ). = o. On satisfera formellement aux équations (i) par des séries de la forme suivante; ces séries procédelonl suivant les puissances des quantités

Les coefficients seront des fonctions périodiques de t-^li, dépendant en outre de la constante des forces vives G. La période T dépendra aussi de C et des produits A^A^i;.; elle se réduira à Tq pour

G = Co, A/,A/^. = 0, X = o.

Les exposants a/c sont des constantes développables suivant les puissances de X et des produits Aa-A^ et dépendent en outre de C; ils se réduisent aux exposants caractéristiques de la solution (2)

pour

G = Co, A/,.Â/^. = 0, X = 0.

Les k-h, les A^ et h sont des constantes d'intégration.

Dans l'étude des solutions asjmptotiques, nous avons supposé

que les a^ étaient réels et nous avons annulé une des constantes A

sur deux.

Pour appliquer ces mêmes résultats à l'étude des solutions

périodiques du second genre, nous supposerons au contraire que

les exposants a^ sont purement imaginaires.

Je supposerai deux degrés de liberté seulement, ce qui me permettra de supprimer l'indice A" devenu inutile.

Pour que nous obtenions des solutions périodiques, il faut que

l'exposant a soit commensurable avec -=r* Si nos séries étaient

convergentes, cette condition serait suffisante; mais elles sont divergentes et ne satisfont aux équations (2) qu'au point de vue formel. Une discussion plus approfondie est donc nécessaire; on pourrait appliquer un artifice analogue à celui qui a été employé aux n°^ 211 et 218. On obtiendrait ainsi des séries qui seraient à celles des n°' 273 et 277 ce que les séries de M. Bohlin sont à celles des n°^ 125 et 127. On retomberait ainsi par une voie indirecte sur les solutions périodiques du deuxième genre. Mais j'aime mieux opérer autrement.

Formation effective des solutions.

362. Par les changements de variables des n°^ 209, 210, 273, 274, toujours applicables quand on a un système d'équations canoniques admettant une solution périodique, nous pouvons amener nos équations à la forme des équations du n° 274. Dans ce numéro nous avons formé les équations suivantes (p. C)3)

(3) dx^^^dT^ <^^f^',

dt dy'i dt dx'i

f'=f;-hsf; + £2f;+...,

où F' est un polynôme entier en x\^ y\, x'.,, qui sera homogène de degré p -+- 2 si l'on considère a;\ ely\ comme du premier ordre et x'^ comme du second ordre. Les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques dey'.^ dont la période est 211.

Nous allons, comme au n° 274, supprimer les accents devenus inutiles et écrire F^ F^,, .r/, yi au lieu de F', F' , x'^, y\.

Nous pouvons alors supposer {Cf. p. 94, 9^, 96)

Fo = H 372+ aBa^iji,

où H et B sont des constantes; je pourrais aussi supposer H = i, mais je ne le ferai pas.

Posons ensuite, comme à la page 96,

les équations conserveront la forme canonique et il viendra

Fq = lîx-2-h iBu;

les autres termes F|, Fo, . . ., seront périodiques de période 271, tant par rapport à iç que par rapport ày^-

Nos équations ont alors une forme analogue à celle que nous avons étudiée tant de fois et en particulier aux n°^ 13, 42, 125, etc., le paramètre e jouant le rôle du paramètre p.. Nous pouvons donc nous proposer de leur appliquer le procédé du n° 44.

Un obstacle se présente toutefois : le hessien de Fq par rapport à ^2 et à u est nul, et c'est justement un des cas d'exception du n° 44.

Cette circonstance m'obligera à supposer que F dépend d'un certain paramètre \ et nous développerons à la fois suivant les puissances de ). et celles de e. Du reste nous avons vu au Chapitre XXVJII que dans l'étude des solutions périodiques du second genre, il convient toujours d'introduire un semblable paramètre, puisque ce qui caractérise les solutions du second genre, c'est de se réduire à une solution du premier geni^e pour X =: o, et d'en différer pour X^o.

Seulement, pour plus de facilité dans l'exposition, au lieu d'un paramètre arbitraire j'en introduirai deux que j'appellerai X et [j..

Nous supposerons donc que les difFérents coefficients de F sont développables suivant les puissances de deux paramètres X et ^, et que pour ij. :^X = o, H et 2B se réduisent à — i et à — in, n étant un nombre réel commensurable.

Je supposerai que X et [i. peuvent se développer suivant les puissances croissantes de e, sous la forme

A = X 1 £ -r- X.2 £- -f- . . . ; [;l = [Jli £ H- [J.2 £2 + . . . ,

OÙ X,, Xo, . . ., sont des constantes que je laisse provisoirement indéterminées, mais que je me réserve de déterminer dans la suite du calcul.

Cela posé, suivons pas à pas le calcul du n° 44. Nous poserons

u = iio H- S f< I + e- z/ 0 + . . . , V = l'o 4- £ ('1 -T- £- ('2 -H . - . .

Ces formules sont analogues aux formules (2) du n° 4i. Les \ki les r,A, les ^^a, les C/t sont donc des fonctions périodiques de i; io et «0 sont des constantes, et l'on a

ra étant une constante d'intégration c[ue je me réserve de déterminer plus complètement dans la suite.

Substituons aloi^s dans F, à la place de )., de [j., de ^o, y-ii " et p, leurs développements suivant les puissances de s; alors F sera également développable suivant les puissances de s, et nous aurons

Je remarquerai d'abord que $/, est homogène de degré k -h 2, si l'on regarde ^^ et Up comme de degré p + 2, r^p et Vp comme de degré/», \p et [Xp comme de degi-é p.

C'est d'ailleurs un poljnome entier par rapport à

Ip, tip, r,p, Vp, Xp, [Xp (p>o), et, par rapport à

Ces deux dernières quantités sont regardées comme d'ordre 1. Enfin les coefficients de ce poljnome sont des fonctions périodiques de Tio dont la période est 271.

Nous trouverons d'autre part

<î>/^. = Q^. — ^/,- — inu/c -+- Ai- IIo ;o -+- '^ ^0 [M- "0 ,

où Ho et Bo sont les valeurs de -ry et -^ pour X = jx = o. (Nous

. ' ' dll clB

pouvons supposer que pour k=<^ = o on a -^ = -rc- = o

D'autre part, 6^ dépend seulement de

li>, -rip, Up, ^p, ^/>, P-p ip^f^ — i)-

Nos équations différealielles s'écrivent alors

d\k d^k drj. d/, diik d^i, dvh d^k

^ dt ~ d-q^ ' dt d^Q dt dvQ dt du^

Pour k = o^ elles se réduisent à

dci, duo d-r\o dvo

dt dt dt dt

Elles montrent que ^o ^t ^^o sont des constantes, et que

7)Q — t, v^= int + 7^7,

TU élant une constante à déterminer.

Nous pouvons avec avantage adjoindre aux équations (4) et (5) d'autres équations d'une forme analogue et qui n'en sont que des transformations.

Développons X\ etjKi suivant les puissances de s et soient

(4 hls)

Les développements (4 bis) se déduisent d'ailleurs immédiatement des deux derniers développements (4).

Nous voyons alors que <Ï>a est un polynôme entier, par rapport aux quantités

(6) ^P' ^p. \'in iQp> ^v^ l^p (en menant à part rio),

et que ce poljnome est homogène de degré A" + 2, si l'on regarde

^p comme de degré p-¥--2, k'py '^'p comme de degié p-\-i, T,p, Xp, [Jip comme de degré p.

Nous aurons alors les équations

d^'k d<^k drJk d^k

^ ^ dt d-f]'(, dt c/f^

équivalentes aux deux dernières équations (5).

ivT T. dft^ d^/c dk d't'k 1 ,

Nous observerons que —, — > — r^.- » -titt? -7-7- sont des polynômes

1 rfrjo <^ço «^0 "^0 ^ -^

de même forme que <ï>/^, par rapport aux quantités (6), et qu'avec les conventions faites plus haut au sujet des degrés, ils sont homo-

gènes, le premier d'ordre k 4- 2, le second d'ordre A' et les deux derniers d'ordre A H- i.

Nous avons d'ailleurs

Remplaçons ^q, yj',, par ces valeurs, et en même temps -^o par ^j dans les équations (5) et (5 bis) où l'on doit supposer que l'on a fait k=^i, et servons-nous-en pour déterminer ^1, -^i, ?^,, p,,

Nous avons ainsi les six équations suivantes

df]i d'i>i d&i . d^i dQi

dt d^o d^o ' dt d-(]o

dui d&i rfc) dQi

— , — = — ; — > — j— = — — i 2 IJ-i Dn,

dt avo dt duQ '

di\ d&i dux „ duç^ d&i r> y,

dt dr\Q driQ dr/^ dq'^ ' ' ^"

di)', dQi . dui „ duo dQ^ ■ , ^

. -dl=-Wo^"'Wr"^'^'Wo^''Wo'^"''''~'''''''^''-

Considérons d'abord la seconde de ces équations; le second membre est un poljnonie entier homogène et du troisième degré par rapport à

dont les coefficients sont des fonctions périodiques de r\o= ^, de période 271. Gomme n est commensurable, notre second membre sera aussi une fonction périodique de t dont il dépend de deux manières, par yio qui est égal à t, par ij, et ti^, qui sont des fonctions de nt -f- TO.

La période sera multiple de 271, c'est-à-dire égale à autant de fois 2 7T qu'il y a d'unités dans le dénominateur de n.

Notre second membre pourra donc se développer en série de Fourier sous la forme (8) 2 Ae'''/^'+î''''+'^>l,

OÙ p et q sont des entiers. Mais q ne peut dépasser 3 en valeur absolue puisque notre second membre est un polynôme du troisième degré.

Il résulte de là qu'en général la valeur moyenne du second

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. 3oi

membre est nulle. En effet, cette valeur moyenne s'obtiendra en conservant dans la série (8) les termes indépendants de ^, c'està-dire tels que

p -f- qn = o.

J'ai dit que [^| ne pouvait surpasser 3; j'aurais pu ajouter que

notre second membre étant un polynôme entier et homogène de

degré 3 en \q, ^^ et -/i|,, si Ton considère ^o comme de degré 2, ne

peut contenir ^j, et 7]'^ qu'à un degré impair, c'est-à-dire que q doit

être impair et ne peut prendre que l'une des valeurs d= i ou ± 3.

On ne peut donc avoir

p + qn z= o

que si le dénominateur de n est égal à i ou à 3.

Nous exclurons la première hypothèse qui ferait de n un nombre entier, mais il nous reste deux cas à considérer :

1° Le dénominateur de n n'est pas égal à 3. Dans ce cas, le second membre ayant sa valeur moyenne nulle, l'équation nous donnera immédiatement ^, par une simple quadrature; alors \\ est déterminé à une constante près que j'appelle yi? et cette constante reste indéterminée jusqu'à nouvel ordre; il est à remarquer qu'il en est de même de tn.

2° Le dénominateur de n est égal à 3. Alors, pour que l'équation soit intégrable, il faut rendre la valeur du second membre nulle; nous disposerons pour cela de la constante ro.

Soit [€)|] la valeur moyenne de 6,; remarquons que l'on a

dw ' nous déterminerons donc ttî par l'équation

et une quadrature nous donnera ensuite ^,, à une constante près y, ,

Prenons maintenant la première équation (7); nous pourrons

raisonner sur elle de la même manière. Seulement comme —rr- n'est . ... ^"

y plus un polynôme du troisième, mais du premier ordre, et que n

3o-2 CHAPITRE XXX.

n'est pas un entier, nous serons certains que là valeur moyenne de -jv^ est nulle.

Il nous suffira donc de prendre ).| = o, pour que le second membre ait sa valeur moyenne nulle et pour que Tj, soit déterminé à une constante près o,.

Passons maintenant aux deux dernières équations {j); elles peuvent s'écrire

dr,\ . , d&,

Les seconds membres sont des fojictioiis périodiques connues de t; pour que l'intégration soit possible, il suffit donc que le second membre de la première ne contienne pas de terme en e'"^, ni celui de la seconde de terme en e~'"^.

La discussion de cette double condition se fera plus aisément en considérant les Iroisième et quatrième équations (7) qui sont équivalentes aux deux dernières et qui s'écrivent

du, dQ, dvx dQi ^

— rr = -7— ' --77 = / ^ !^i ^0-

dt dvo dt duQ

Il faut que les valeurs moyennes des seconds membres soient nulles.

En ce qui concerne la première de ces équations, la condilion est remplie d'elle-même, et en effet

d[Q,] djj5

Cette dernière expression est nulle à cause de l'équation (9) si le dénominateur de n est égal à 3, et dans le cas contraire parce que [0|] est identiquement nul.

La seconde condilion s'écrit

—7 — - = — 2[^iBo.

Si le dénominateur de n est égal à 3, elle nous donnera [x,. Si au contraire le dénominateur n'est pas égal à 3, elle donnera [x, := o parce que [0|] est identiquement nul.

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. 3o3

Ainsi, nous voyons que ^i, t],, ^', , r,', sont des fonctions périodiques de t et de ro. Ils seront donc développables en séries de Fourier de la forme

V ^ gi(pt+qn t+qzj)

Mais on peut ajouter quelque chose de plus; nous avons à traiter des équations de la forme suivante

dt dt ^

nous en tirerons

î =^ ^ . '. giipt+qnt-^-qTT!) | Y

X ; ^II gi(pt+qnt + qôy) ^ y' g-

iXyj -H ^'/i -f- n)

où y et y' sont des constantes d'intégration.

Si donc X et Y sont des polynômes entiers et homogènes par rapport à

il en sera de même de ^ et de 7], au moins si l'on suppose nulles les constantes y et y'. Si l'on ne suppose pas ces constantes nulles, ^ et Tj seront encore des polynômes entiers, mais non homogènes. Appliquons ces principes aux quantités que nous venons de calculer; nous voyons que

dQi d&i dQi d&i d^o '^■')o (^l'o driQ

étant des polynômes, qui, d'après les conventions que nous avons faites sur les degrés, sont respectivement de degrés

il en sera donc de même de

Quand on aura substitué dans ©2 à la place de ces quantités leurs valeurs qui sont respectivement des degrés i, 3, 2, 2, on

3o4 CHAPITRE XXX.

voit que ©2 deviendra un polynôme du 4^ degré et que

d&i dQ.2 dQ.2 dQ., dU' dr^^' ^;o' ^^0

seront respectivement des polynômes de degrés

Nous pouvons généraliser ce résultat.

Les équations (5) et (5 his^ nous permettent de calculer de proche en proche les inconnues \ki '>]/<■, ^a, 'fi^', on ne serait arrêté que si la valeur moyenne du second membre de l'une des équations (5) était différente de zéro.

Supposons que cette circonstance ne se présente pas; je dis que

bn 'I/o l/c, 'r/fc

seront des polynômes de degrés

k-ha, /:, /c + i, /i+i par rapport à

(10) \/1'q, v/«ôe''<"^+^', \/w^e-''<'''+^',

les coefficients de ces polynômes étant eux-mêmes des fonctions périodiques de t de période air.

Supposons, en effet, que cela soit vrai pour toutes les valeurs de l'indice inférieures à k.

Nous savons que 0^ est un polynôme entier de degré k -{- 2, par rapport à

(11) ^q- -Tlq, ^q, ^/<7 ( 3' < ^0

en supposant ces quantités respectivement de degré q -\- i, q, q-\-\^ ^ + 1. Si donc nous substituons à la place des quantités (il) des polynômes dont le degré par rapport aux quantités (lo) soit précisément ^ H- 2, ^, 7 H- i, ^ + i, il est évident que le résultat de la substitution sera un polynôme de degré A" -|- 2 par rapport aux quantités (10).

Donc 6^ est un polynôme de degré k + i par rapport aux quantités (10) et pour la même raison

dQk clQk d&k d&jk

FORMATION BES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. 3o5

seront des polynômes de degrés

par rapport à ces mêmes quantités.

Il en est donc de même des seconds membres des première, deuxième, cinquième et sixième équations (7); et, par conséquent, en répétant le raisonnement qui précède, nous verrions aisément qu'il en est encore de même de

'fik, h-^ 'f\ln ^k- C. Q. F. D.

L'intégration des éqviations (7) a introduit quatre nouvelles constantes d'intégration. En effet, elles nous font connaître ^1, Tli, ^', , -/)', à des termes près

contenant les quatre constantes arbitraires

Ti, oi, Yn 3;.

Nous ne conserverons qu'une de ces constantes et nous poserons Yi=Oi = o, o'i = — y;.

Cela posé, cherchons à déterminer

à l'aide des équations (5) et (5 bis) et en j faisant A" = 2.

11 faut d'abord que le second membre de la première équation (5) ait sa valeur moyenne nulle; cette valeur moyenne est

égale à

rrf0-2l

en employant toujours les crochets pour représenter la valeur moyenne d'une fonction. On devra donc avoir

Supposons ©2 développé en série de Fourier sous la forme Comme ©a est un polynôme du quatrième degré, q ne pourra

3o6 CHAPITRE XXX.

dépasser 4 en valeur absolue et, par conséquent, si Je dénominateur de n est plus grand que 4, [©2] sera identiquement nul et la condition (9 bis) sera remplie d'elle-même-, la constante m demeurera indéterminée.

Si le dénominateur de n est égal à 2 ou à 4, la condition (9 bis) déterminera nr.

Si le dénominateur de n est égal à 3, la constante to a déjà été déterminée par la condition (9) et la condition (9 bis) nous servira à déterminer la constante y,.

Calculons dans ©2 les termes qui dépendent de cette constante y', .

Mous trouverons évidemment

'(ra^+tïï)

t-à-dire

ja valeur moyenne en sera

(/nj

La condition (9 bis) peut donc s'écrire si l'on observe que

H dépendant de ro, mais pas de y', .

Si le dénominateur de n n'est pas égal à 3, [©(] est nul et la condition (9 bis) est indépendante de y', . Si donc ce dénominateur est égal à 2 ou à 4, l'équation (9 bis) dépendra de to et non de y', et déterminera to.

Si le dénominateur est égal à 3, la condition (9 bis) dépend de y', et déterminera y', (elle donnerait d'ailleurs y', = o).

En tout cas, ayant ainsi déterminé ^2, cherchons à calculer ïja à l'aide de la seconde équation (5). Nous disposerons de A2 de façon que le second membre ait sa valeur moyenne nulle.

Remarquons que ).2 ne sera pas nul en général et, en effet,

ne sera pas nul en général. Car 00, étant un polynôme de degré 4, contiendra un ternie en \'l^ indépendant des ^^. et des y,^.. Le coefficient de ce terme sera une fonction périodique de t de période 271 et la valeur moyenne n'en sera pas nulle en général.

Passons aux équations (5 bis) ou, ce qui revient au même, aux deux dernières équations (5). Les seconds membres de ces deux dernières équations devront avoir leurs valeurs moyennes nulles.

On devra donc avoir

du a

ce qui détermine [j.o. Or

dQi

dUn

,, de.

est un polynôme du quatrième ordre. Fo contient donc des termes en X'^J'''^ et, par conséquent, 1(2 -j^ contient un terme en

ul = (v/^e''"*+cj)-(v/'â^e-'("'-t-îJ')'\

Le coefficient de ce terme est une fonction périodique de t dont la valeur moyenne n'est pas nulle en général, Donc, en général,

\ de.y'\ , 1 r^' I ^ •

-j-^ et, par conséquent, Uo ne sont pas nuls. L- est le même raisonnement que pour Xo. On doit avoir ensuite

Mais je dis que cette condition est remplie d'elle-même.

Nous avons, en effet, l'intégrale des forces vives, F = const.. d'où nous déduisons la série d'équations

<i)o = const., <î>i = const., 452=const., ....

Considérons la troisième de ces équations

2 = ©2 — Ç2 — inUi -V- XoHqço -t- 2Bo(J-2«o = const.

3o8 CHAPITRE XXX.

Cette équation peut remplacer la quatrième équation (5) et, quand on aura déterminé "ko-, ^-25 ^2 '/I2 et Po à l'aide des trois premières équations (5), elle déterminera iio sans aucune intégration. On peut donc être assuré que la détermination de ï/o est possible et, par conséquent, que la condition (12) est remplie.

Nous aurons ainsi déterminé ^21 '^12, ^'.i '1'. à des termes près

dépendant de quatre constantes arbitraires. Nous ne conserverons qu'une seule de ces constantes et nous ferons

Y2= 82 = 0, 82 = — Ya-

363. Le calcul se poursuivrait de la même façon. L'intégrabilité des équations (5) exige les conditions

[dQki [de,,-] [den , „ [den „

Les deux dernières de ces conditions détermineront y.h et [j.;f; la seconde sera une conséquence de la première, d'après ce que nous avons vu à propos de la condition (12)- H nous reste donc à étudier la première.

L'expression -~- est un polynôme d'ordre A' + 2 ; si on le développe en série de Fourier

l'entier q ne peut dépasser /: + 2 en valeur absolue. Si donc A- -{- 1 est plus petit que le dénominateur de /r, on ne pourra avoir

p -h qn = o et la valeur moyenne de notre expression sera nulle. La condition

sera donc remplie d'elle-même.

Nous avons introduit les constantes arbitraires suivantes :

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. Sog

Voyons de quelle manière. Supposons que l'on considère le développement

et que dans ce développement on remplace les ^, les tj, les |' et les 'f\' par leurs valeurs; les divers termes du développement dépendront alors des constantes (i4)- Dans ce développement (i5), annulons toutes les constantes y' en conservant seulement m; nous obtiendrons ainsi un nouveau développement

Dans le développement (i6), remplaçons maintenant la constante rn par le développement

OÙ TSi, THo sont de nouvelles constantes. Chacun des termes du développement (i6) peut à son tour se développer suivant les puissances de e; ordonnant de nouveau suivant les puissances de £, nous obtenons un développement nouveau

Ce développement doit être identique au développement (i5) à la condition de remplacer les constantes ra/f par des fonctions convenablement choisies des constantes y'^.

Il est aisé de voir que <ï>^ dépend seulement de

et que <Ï>a dépend seulement de

Nous en conclurons que xn/s dépend seulement de

ï'n 72! •••' Vc et Y/j de

TT7i, TTS.2, ..., W/f.

Il est aisé de voir que

où A est un coefficient numérique et où D^^j est une dérivée de <ï>'„^ par rapport à nr; l'ordre de cette dérivée est égal à

ai -I- «2 +• • ■ -T~ ^-/c et l'on a d'ailleurs

/c = m -H Kl 4- 2 Ka + . . . -i- /: ^a--

Comme m est au moins égal à i, puisque $0 ne dépend pas de w, on voit d'abord que a/j est nul, ce que d'ailleurs nous savions déjà. Considérons un terme quelconque où a/,, a/;i, . • ., a/;^, soient nuls, mais où c/./i ne soit pas nul; on devra avoir

Si le dénominateur de n est plus grand que /c — h -\- 2, la valeur moyenne de D„i sera nulle; ce qui veut dire que ceux des termes de <ï>'^ qui dépendent de m/i ont leur valeur moyenne nulle.

Nous pouvons déduire de là un résultat important en ce qui concerne la valeur moyenne de <ï>^. et par conséquent celle de 0;;.

Si le dénominateur de n est égal à A + 2, [0a] dépendra seulement de TO.

Si le dénominateur de n est égal à /r H- i , [0/,] dépendra de m et TO , .

Si le dénominateur de n est égal à A", [0a] dépendra de m, ro,, et Wo.

Si'le dénominateur de n est égal à k — i, [0a] dépendra de tît, Toi , w> et TO3, . - . .

Ce que je viens de dire de [0a] s'applique d'ailleurs à -y—^ •

Donc, si le dénominateur de n est égal à A' + 2, la relation (1 3), où n'entrera que m, déterminera to.

Si le dénominateur est égal à A + i , la relation (i3) contiendrai et m, ; mais m aura été préalablement déterminé par la relation

L '^'^'io J

La relation (i3) déterminera donc ra, et par conséquent y',.

Si le dénominateur est égal à k, la relation (i3) contiendra ro,

mi et tlJo ; mais tb et ^i auront été préalablement déterminés par des relations de même forme que (i3). Donc (i3) déterminera m., et par conséquent y',. Et ainsi de suite.

Discussion.

361. Dans la solution à laquelle nous sommes parvenus figurent encore les constantes arbitraires suivantes .

Quant aux paramètres X et [j., ils nous sont donnés par leurs développements suivant les puissances croissantes de e, développements dont nous avons calculé successivement les coefficients. Ces coefficients ).a- et [^-k dépendent des deux constantes Çq et Uq; ces coefficients ont été calculés à l'aide des équations

[fi-^'-"»-

duo

de A- dQk

■I ;j./,Bo

^ki —nr- et «0 -:; — sont des polynômes entiers en

Soit

^k ' "^ Ço '/o su — -'V)

OÙ P est un poljnome entier par rapport à

(i8) ^1, li, ■■■, ç'n ^2' •••> -Vi, ^2> •••

dont les coefficients sont des fonctions périodiques de Tjo. Il vient alors

liemplaçons ensuite les quantités (18) par leurs développements et soit

B étant une fonction périodique de t de période 2tc; d'où ^0 -TF- = -/'sK, «0 -r- = 1 R.

3l2 . CHAPITRE XXX.

On obtiendra

en conservant dans ces développements les termes indépendants de t. Or, les divers termes de R contiennent en facteurs les exponentielles

Pour que ce terme soit indépendant de f, il faut que

/? -H /l ( 6 1 + /i 1 — 62 — Ao ) = O ,

ce qui montre que Z?, + A) — b-2 — /«2 doit être divisible par le dénominateur de n. Donc

^1 -+- hi -h 62 -t- /?2 > ^1 + /^i — ^2 — hi > dénominateur de n ^ 2,

ce qui signifie que R est divisible par Uq, puisque Uo J figure avec

l'exposant - (6) H- /i, + 62+ ^'u)-

Il n'y aurait d'exception que si l'on avait

l)i -+- hi = 62 + /12 ;

mais on aurait alors ou bien

^1 -+- /^i-H b^-h- /i2= 2, de telle façon que R serait encore divisible par Uq] ou bien

bi = Al = 62 = /«2 = o,

d'où

/il -+- A.,

mais alors le terme correspondant ne figurerait pas dans Uo -7—^ • De même R sera toujours divisible par ^0 à moins que h^ = o,

auquel cas, le terme ne figurerait pas dans Ço -^ ' Donc, en résumé,

[den \d&n

\da,y IdU] et, par conséquent, X/t et ^^ sont des polynômes entiers en ^0 ety///o-

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. 3lD

Donc ). et a sont des séries développées suivant les puissances de

mais ces trois constantes n'y entrent pas d'une façon quelconque. Rappelons-nous par cjuel artifice nous avons introduit la constante auxiliaire s qui n'a servi qu'à simplifier l'exposition; et pour cela, reprenons pour un instant les notations du n° 274 et de la page gS ; nous avons posé

Donc nos équations ne cessent pas d'être satisfaites quand on change

zk~'^, x\k, y'ik, x'^k'^

et que les paramètres }. et u, conservent leurs valeurs primitives. Nous avons ensuite supprimé les accents devenus inutiles et nous avons développé x\, y\, x\, y'.-,, que nous désignions désormais par les lettres ^,, yi, x-2-, y^i suivant les jouissances de s. Nous avons ainsi trouvé les développements

1 ■'■/O -t- £'^; 1 -r- -' 'z;' -î- • - • , J U -^-Çl ^---^2 -^•••,

Nous ne cesserons pas de satisfaire aux équations si nous changeons s en ^, et que nous multipliions les quatre développements (19) respectivement par

k\ I, k, k, ou, ce qui revient au même, si nous changeons

Zpi '^ti'i Ç/j' Op

IpJ^'--", -ripk-", c;,k'--'', r/„k^-P.

On doit, par ce changement, retomber sur des développements identiques aux développements (19), mais avec des valeurs diffé- H. P. - III. 21

3l4 CHAPITRE XXX.

rentes des constanles Çq et '^o- Mais on voit que par ce cbanoement ^o et Uq se sont changés en A-^o et /î'-Uq. Donc

Ç/Jj 'Op; S/)) '')p

se changent en

Qp/^--'\ -npk-P, l'pk^-J\ -ri'pk^-P

quand ^o et «o se changent en A-^o et A'-Uq.

En d'autres termes, si l'on multiplie respectivement les quatre développements (19) par e-, i, s, s, les quatre produits ainsi obtenus seront développables suivant les puissances de

et il en devra être de même de ). et de p., qui n'ont pas dû changer quand £, ^05 ^^0 se changeaient en j, k-^o, k- Uq.

Supposons donc A et ]x exprimés en fonctions de e-^o et e y^Wo! il est clair que nous aurons ainsi des relations d'où nous pourrons inversement tirer s-^o et ts/uç^ en fonctions de \ et p..

365. Soit k -i- 2 le dénominateur de n; la constante ro sera alors déterminée par l'équation

Il n'y a d'exception que dans le cas de A" + 2 = 2, où m est déterminée par

Idrioj ~

L'expression -^-^ est un polynôme entier de degré A' -h 2 par rapport à

Chacun de ces termes contient donc des facteurs de la forme Dans la valeur moyenne -^ il ne restera que les termes indé-

pendants de ?, et nous avons vu que q doit être divisible par le dénominateur de «, c'est-à-dire par A' + 2.

Donc notre expression est de la forme suivante

(^erà{/.-+2;.

QQ—ixnVk+'i.) ^

Je vais montrer maintenant que le coefficient h est nul. Pour cela, j'emploierai l'artifice suivant : calculons

Ço,

Çi>