ÇA

• ■ , Vl/,i

''ÎO '

par le procédé exposé plus haut; mais, dans le calcul de ^a, au lieu d'attribuer à tu une valeur qui annule —r^ 1 je conserverai à Ts une valeur arbitraire. Alors l'équation

dt dxiQ

me permettra tout de même de calculer Ha; seulement ^a? a^^ lieu d'être une fonction périodique de t, sera une fonction périodique de t plus un terme non périodique

Vden

Or, nous avons un autre moyen de calculer

; c'est de refaire le calcul du

et, par conséquent, ce terme t n" 274.

Nous déterminerons So, S,, .... à l'aide des équations (2) de la page 97.

Le calcul de Sq, S,, . . ., Sa i se fera sans aucune difficulté; mais nous serons arrêtés au moment du calcul de Sa par l'équation

dS/,- ... dSr,

dy2 dv

3l6 CHAPITRE XXX.

Le second membre est, en effet, un ensemble de termes de la forme

nii et 7^2 étant entiers; et l'intégration se fait sans obstacle, pourvu que l'on n'ait pas

i?ni -t- -zm^B = o.

Or, comme 2B est égal à ùi^ n étant un nombre commensurable dont le dénominateur est égal à A' -i- 2, le second membre de notre équation contiendra des termes satisfaisant à cette condition. Il en résulte que S;^ ne sera pas une fonction périodique de ^2 et V, mais pourra être égalé à

T^f et Ua étant périodiques.

Ayant ainsi déterminé la fonction S et poussé l'approximation aux quantités près de l'ordre de z^+^ , on peut employer le procédé du n° 273 et déterminer ainsi x^, y, , ^2, jk2-

Ces deux modes de calcul doivent conduire au même résultat.

Soit donc

E = So -4- £ Si + . . . -4- î''^ S/^.

Construisons les équations {Cf. p. 99)

fZS d^ , d^ d^

dC dC

n\= j — } 112 — — -jTr

doLQ apo

et tirons-en x^ en fonction de t ; la valeur de X2 ainsi trouvée devra être égale à

;o-i- "Çi-

-^^Hk

aux quantités près de l'ordre de £^+' .

Ce qui nous intéresse, c'est le calcul de ça- et, en particulier, celui du terme séculaire

Ce terme séculaire ne peut provenir que du terme séculaire de Sa, qui est égal à/oUA-

Nous avons donc, à des quantités près de l'ordre de 8^^+' (en

éealant les termes séculaires dans l'écruation ^o = -r—

^ i - dj2

En première approximation, c'est-à-dire aux quantités près de l'ordre de s, on a {Cf. p. 99)

.T2 = «0 = ;o, ?i = [Bo = îio, «1 ^ + ^1 = JK2 = '/lo = /)

nj = I ; 71, = m ; «, ^ -f- Ti^a = «^ = (^o = i(^^ + ^)-

Nous commettrons donc une erreur de l'ordre de e'^+'j si, dans le second membre de (20), nous remplaçons

=«0, Po, J2, t^

par

^0, i'o, t-, i{nt-^-m).

Nous obtiendrons donc -^-

\dr^

dQk

en faisant cette même substitu-

tion dans -7-^- Mais U^ ne contient que des termes en

dy^

ou

On a donc

iniiyi -!- 772.2 'S

imi-î- amjB = 0.

dV,, ^ dV,,

dy-i dv

Or, Ua est une fonction périodique de y.j et iv; donc -^— ne contient pas de terme indépendant de v. Donc -r— ^ ne contient

pas de terme indépendant de m. c. q. y. n.

Pour faciliter l'intelligence du calcul qui précède, je ferai encore une remarque. Les moyens mouvements /îi et n^ sont

donnés par

dC dC

fil — 7 — 5 rii — — "Tq- •

drxQ apo

En général, ils dépendent de e, et ils ne se réduisent à i et in que pour e = o.

Mais ici nous disposons de deux paramètres X et [j. qui peuvent

3l8 CHAPITRE XXX.

être remplacés par des fonctions arbitraires de s; ou, si l'on préfère, nous disposons d'une infinité de constantes X,? ^>2j • • -7 p-i> uLo, .... Nous pouvons alors disposer de ces constantes de telle façon que /i, et /lo restent égaux à i et à zV?, quel que soit s.

366. Nous avons donc pour déterminer tu une équation de la forme

où a et c sont imaginaires conjugués. En général, « et c ne sont pas nuls, sans quoi ro ne pourrait être déterminé qu'à l'approxilîiation suivante.

L'équation nous donnera donc pour cr une série de valeurs réelles

271 Stt

Wfj, TUo + -7 ' T^O ■

Il est clair que l'on n'a pas deux valeurs réellement distinctes quand on change tn en ro 4- air; mais il J a plus; je dis que les

deux valeurs

TTTo, TTTo ■

ne correspondent pas à deux solutions périodiques réellement distinctes.

En effet, comme t n'entre pas explicitement dans nos équations, en changeant ^ en i + A, on transforme une solution périodique quelconque en une autre qui n'est pas essentiellement distincte.

Changeons donc t en t -^ 2/171, h étant entier.

Alors 7)0 se change en rjo + 2/^71 et Pq = Hj^t -}- ^) en

i{nt -!- inhiz -i- w).

Comme toutes nos fonctions sont périodiques, de période 271, en rjo et ^Vq, nous ne changerons rien à notre solution en

retranchant respectivement de rjo et -? deux multiples de 271; par

exemple ilnz et ih' -. Alors rjo sera redevenu 7,0 et ('0 se sera

changé en

i{nt -T- inhiz -h nr — ili'r.).

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. Sig

Eii d'autres termes, nous aurons changé cj en

TU -+- iT.{nh — h').

Mais nous pouvons toujours choisir les entiers A et h' de telle façon que

nh — ■ h' = -,

On ne trouve donc pas une solution réellement nouvelle en

changeant ru en to -t- -, — —• c. q. f. d.

^ Nous n'avons donc que deux solutions réellement distinctes,

correspondant aux deux valeurs suivantes de V3

Tx5q, THq + .

11 nous reste à déterminer les constantes s-^o et s- «^o! pour cela nous nous servirons des équations qui lient ces deux constantes à X et à [JL. Dans les questions que l'on a habituellement à traiter, on n'a qu'un seul paramètre arbitraire et nous n'en avons introduit deux que pour la commodité de l'exposition. 11 conviendra donc de supposer X et \). liés par une relation, par exemple ). ^ ^.

Le développement de A et celui de v. suivant les puissances de e-Ço et tsjito commence en général par des termes en £-^o et en £-Mo (si l'on met à part le cas où le dénominateur de n est égal à 3 j .

Si donc on suppose p. =: )\, on tirera de là s-Çq et £ y «o développés suivant les puissances de \j\] et, de deux choses l'une, ou bien les coefficients du développement suivant les puissances

de y/X seront réels, ou bien au contraire ce seront les coefficients du développement suivant les puissances de \ — \ qui seront réels.

Dans le premier cas, le problème comportera deux solutions réelles pour). >-o et n'en comportera aucune pour X << o ; dans le second cas, ce sera le contraire.

Pour savoir lequel de ces deux cas se réalise, examinons l'équation qui lie [j. à Uq en nous bornant aux termes en s-; il viendra

J'observe d'abord que -j^ ^^ ~ir sont indépendants non seulement de t, mais de m; il n'y a d'exception que pour

/: -T- 2 — 2 , 3 o u 4 • Car, pour /c -]- 2 '^ ^, les termes de la forme

giipi tr'/zU ^-f/CT)

qui peuvent entrer dans le second membre de l'une des équations (21) ne peuvent être indépendants de t que si

puisque |^| ne peut dépasser 4 et que qn doit être entier.

Ainsi les seconds membres des équations (21) sont des fonctions linéaires et homogènes de ^0 et Uq] et les coefficients de ces fonctions linéaires sont des constantes absolues indépendantes de TÂT.

Mais Uq doit être positif; sans quoi \ U(, serait imaginaire. Les équations (21) jointes à l'inégalité Mq > o détermineront le signe de)w

Je remarque seulement que ce signe ne dépend pas de cj puisque les équations (21) n'en dépendent pas. Or, nous avons vu que l'équation qui détermine tn comj)orte deux solutions réellement distinctes

A. chacune d'elles correspond une solution périodique qui sera réelle si le signe de X est convenablement choisi, conformément à ce qui précède. Le choix de ce signe ne dépendant pas de ttt, ces deux solutions seront toutes deux réelles pour X l> o et toutes deux imaginaires pour X << o, ou bien ce sera le contraire.

11 semble d'abord qu'à chaque solution de l'équation en rry cor-

FORMATIOX DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRIÎ. 021

respondent deux solutions jDériodiques, puisque l'on tire des relations entre )., u-, £-^o et e\/uo deux systèmes de valeurs pour les inconnues s-^o et s \/uo- Tl n'en est rien cependant. Nous pouvons en effet sans restreindre la généralité supposer y/^o positif; car nous ne changeons rien à nos formules en changeant y/ao en ^ \/Uo et Î57 en 70 -h 7^.

Or, de nos deux systèmes de valeurs il n'y en a qu'un pour

lequel y/z/o soit positif.

Donc :

Deux solutions périodiques réelles du deuxième genre pourl^o (ou pour \ <i o).

Aucune solution du deuxième genre pour A <; o (ou pour X >> o).

Reprenons les notations du Chapitre XXVIII et, en particulier, du 11° 331.

Ui se réduit à p- et correspond au terme en ^ijKi qui figure dans Sq.

Uq se réduit à un facteur constant multiplié par p'', correspon-

dant aux termes provenant de -j~^ et -r^- •

Le premier terme de W qui ne se réduit pas à une puissance de U, est de la forme

p'''^'-2[A cos(A- -!- 2)cp -^ B]

et provient de Q/^^^'

La fonction dont nous avons à étudier les maxima et minima et qui doit jouer Je rôle de la fonction

Uo^^Ui=p3/(cp x;p2 étudiée à la page 246, cette fonction, dis-je, sera de la forme

Ap/^-+2cos(A-H- 2)cp -4- Pp4 — ^p2,

P étant un polynôme entier en p- à coefficients constants.

Nous avons laissé de côté les cas particuliers où le dénominateur de n est égal à 2, 3 ou 4-

Discussion des cas particuliers.