Supposons que ce dénominateur soit égal à j

Alors [©2]) — ^ ' -7-^ ne seront plus indépendants de rn,

ils contiendront des termes en g— '"^. -

L'équation en to donnera toujours deux solutions distinctes

qui nous donneront deux solutions périodiques; seulement le signe de X pouvant dépendre de tu, il pourra se faire que l'on ait :

Deux solutions réelles du deuxième genre pour ). > o ; zéro solution pour A << o ;

Une solution réelle du deuxième genre pour X >> o ; une solution pour X << o;

Zéro solution réelle du deuxième genre pour )^ >>o; deux solutions pour A •< o.

La fonction U„ -f- ^U4 de la page 246 devient

pHAcos4cp-f-B) — 2p2.

Supposons maintenant que le dénominateur de Ji soit égal à 3.

Alors le développement de [k suivant les puissances de s commence par un terme en e \^Uq ; de sorte que si l'on suppose jj. = )., on tirera e-^o 6t e \/uo en séries développées suivant les puissances de \ et non plus de \J\.

Le signe de y/«o dépendra de t^ et s'il est positif pour gî = tïïo il sera négatif pour nr := TOq -f- ^ •

Si donc nous convenons toujours de supposer y' i^o essentiellement positif, nous verrons facilement que nous avons :

Une solution du deuxième genre réelle pour 1 >> o et une solution du deuxième genre réelle pour \<Co.

La fonction Uo -h ^U, de la page ^/{ô devient

Ap3cos3(p — zp-.

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIEME GENRE. 0'2i

Si enfin le dénominateur de n est égal à 2, [0o], -^ ■> -j^ contiennent des termes en e-'"^'^, e--"^. L'équation en w prend la forme

A cos(4ra -4-B)-i-A'cos(2TO-i-B') =0

et elle admet huit solutions

Des deux quantités TOq et OT) une au moins est réelle.

Les hypothèses suivantes restent possibles : (4, o), (3, i ), (2, 2), (i, 3), (o, 4), (2, o), (1, i), (o, 2).

Le premier nombre entre parenthèses représente le nombre des solutions périodiques pour X >> o et le second est ce même nombre pourl-<o.

La fonction de la page 246 devient

A p^ ces 4 9 -r-Bp^cos2cp -i- Cp^sin2o-i- Dp''- — zp^.

Application aux équations du n° 13.