Revenons aux équations canoniques de la Dynamique

dxi dF dyi dY

dt dyt' dt dxi

Je suppose comme au n° 13, au n° 42, au n° 125, etc. que F est une fonction périodique des jk, développable suivant les puissances d'un paramètre [j., sous la forme

F = Fo+[JiFi+...

et que Fo dépend seulement des x.

Nous avons vu alors au n° 42 que ces équations admettent une infinité de solutions périodiques du premier genre

(2) xi=^j{t), yi = ^i{t)

les fonctions cp/ et 'i/ étant développables suivant les puissances croissantes de p..

Considérons l'une de ces solutions (2).

Soit T la période et a l'un des exposants caractéristiques; il y en aura deux, difïerents de zéro, égaux et de signes contraires où nous supposons deux degrés de liberté.

On a vu au Chapitre IV que a dépend de pi et est développable suivant les puissances de y/a. Quand [j. variera d'une manière continue, il en sera de même de a; supposons que, pour ^= p.o, aT soit commensurable avec 2171 et égal à 2/iiTz.

Nous pourrons en conclure que, pour [j. voisin de ij-o, il existe des solutions du second genre, dérivées de (2) et dont la période est (A" -h 2)T, k -1- 2 désignant le dénominateur de n.

Si nous laissons de côté les cas où k H- 2 est égal à 2, 3 ou 4, nous avons vu que deux de ces solutions existent quand A (ici y. — u-o) a un certain signe, et cju'il n'en existe pas quand \ (ici ^ — [jlo) a le signe opposé.

J'ai dit que j'ai laissé de côté les cas où /^ 4- 2 = 2, 3, 4; je puis le faire sans inconvénient. En effet

— ^- = 71 IITZ

est développable suivant les puissances de y/[J. et s'annule avec y/jj.. Pour les petites valeurs de p., n est donc très petit et son dénominateur est certainement plus grand que 4-

Nous nous trouvons donc en présence de deux hypothèses :

Ou bien les solutions du second genre existent seulement pour [i. > jj.0, ou bien elles existent seulement pour u. <^ [j-o-

Quelle est celle de ces deux hypothèses qui est réalisée?

Tout dépend du signe d'une certaine quantité Q dépendant elle-même des coefficients de Uo et ^0 dans

l^OLir déterminer ce signe, nous n'aurons pas besoin de former effectivement cette quantité et les considérations suivantes suffiront.

369. Prenons d'abord un cas simple qui sera celui du n" 199; soit

F —- X2 -h xl-\- [J. COSJ'i

avec les équations canoniques

dxi dt.

dvi dt

dF dxi

ce qui donne

dxo

dy-i dt

dxi

~dt ~

sinjKi,

- — 2Xi.

La fonction S de Jacobi s'écrit

S = x^y^-^ f y/C • — [x. cosjKi f(xi avec deux constantes x?, et C; et l'on en tire

■' j xi= v/G — 1-icosjKi, A—t=f '^^

cosjKi

A et y% étant deux nouvelles constantes d'intégration. On voit s'introduire l'intégrale elliptique

dyx

•X y/C — \x cos 7i

cette intégrale possède une période réelle, qui est l'intégTale prise entre o et 2-, si [G] > | a| et deux fois l'intégrale prise entre

± arc ces —

si |Cj ■< I p.|.

Appelons w cette période réelle.

A toute valeur de w commensurable avec i-k correspond une solution périodique; mais deux cas sont à distinguer.

Si jCj >■ \\x\^ y\ et y^ pendant une période augmentent d'un multiple de 2—. Les solutions périodiques correspondantes sont des solutions du premier genre.

Si |C] < j[Jt.|, y., pendant une période augmente d'un multiple

a:^ — xl,

~f-^yl,

-t^rh