J.COS

et la période w sera sensiblement égale à

d'où cette conclusion : soit a un nombre quelconque commensurable avec 271, il existe une série de solutions périodiques telles

que ICI ■< lu.| et que co = a; si J\x est très voisin de -7^-? C sera

très voisin de ■ — pi et pour

ces solutions périodiques se confondront avec la seconde solution (4) qui est du premier genre. Nous reconnaissons là la propriété caractéristique des solutions du second genre.

On voit que la seconde solution (4), c'est-à-dire celle des deux solutions (4) qui est stable, engendre des solutions du second genre de la façon qui a été expliquée au Chapitre XXVIII.

Si les autres solutions du premier genre, celles qui sont telles

que |G|>'a| n'engendrent pas de solutions du second genre, cela tient à la forme très particulière des équations (i). (Pour ces solutions, les exposants caractéristiques sont toujours nuls.)

Considérons d'abord les solutions du premier genre, telles que |G| > [p.|.

Posons C^=Go + £; la période to, c'est-à-dire l'intégrale (3) prise entre o et air sera développable suivant les puissances de e et de [x, et le terme tout connu se réduira à

V/Go

Donnons à y/Go une valeur commensurable quelconque; nous aurons une solution périodique toutes les fois que nous aurons

L'équation est satisfaite pour s^ [j. = o, et de cette équation on pourra tirer e et par conséquent G, en série procédant suivant les puissances de [j.. Les équations (2) nous donneront alors x^ et j^i développés suivant les puissances de ^. Ge sont les développements du Chapitre liï.

Passons aux solutions du second genre telles que |C|-<|[a|. Posons G = £[J|. ; nous aurons

^iJ '■■

<ri

On voit que toy^jj. est seulement fonction de s; d'autre part,

-^ = v/^-cos7i, (A-Ov/i^= f ,^ V/[J. J i\/s — c

COS/i

ce qui nous montre que sinyï, cosj^i et -7^ sont fonctions

de (A — t)s/ii. et de e, doublement périodiques par rapport à (A — t) \Ja. (le sont donc aussi des fonctions de (A ■ — t)\^]j. et de w y/jj., puisque e est fonction de (ji\/[x', si donc nous donnons à 0) une valeur constante, commensurable avec 271, nous obtien-

drons une série de solutions périodiques; pour ces solutions

cosj'i, sinjK] et -—

peuvent se développer en séries de Fourier suivant les sinus et les cosinus des multiples de -??;-' T étant le plus petit commun multiple de w et de i~. Un coefficient quelconque du développement est fonction de p. et c'est cette fonction que je voudrais étudier.

Pour cela, il faut d'abord étudier la relation entre £ et coy/u..

Nous pouvons faire varier s depuis — i jusqu'à -h i .Pour s = — i, on a

Pour £ ^ + I j on a to \J \k = co; donc, quand e varie depuis — i

jusqu'à + I , oj y [j. augmente de — à + oo.

Il n'existe donc de solution périodique correspondant à une valeur de co donnée, commensurable avec 27:, que si

Les coefficients du développement de Fourier sont donc des fonctions de a qui sont réelles pour

\/lx

et imaginantes pour

Il est évident que le même raisonnement conduirait au même résultat si, au lieu de

on avait eu

F = Fo^[^[Fi],

Fo dépendant de Xf et cc^ seulement, [Fi] de Xi, x^ el y^ seule-

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. S'ig

ment. Là encore les solations du second genre auraient été réelles pour ^ > [Xq.

370. Dans le cas général, la quantité Q dont il a été question à la fin du n" 368, et dont nous cherchons à déterminer le signe, dépend évidemment de pi et, si [x est suffisamment petit, c'est le premier terme du développement qui donnera son signe.

Déterminons la fonction S par la méthode de Bohlin et soit

S = So+ v/l-^Si+ [i.S2 + . . . .

Si [j- est assez petit, ce sont évidemment les deux premiers termes

Sû+ VI-*- Si qui seront les plus importants. Or, si l'on pose

F = Fo+ ;jlFi+ [j.2F,-H. ..,

nous avons vu au Chapitre XIX que Sq et S| ne dépendent ni de Fo ni de F, — [^\]-i mais seulement de Fo et de [F,], en désignant par [F,] la valeur moyenne de F,.

Reprenons la quantité Q du n° 368; le premier terme de son développement dépendra seulement de Sq et S, et par conséquent de Fo et [F,]. Il sera donc le même que si l'on avait supposé

F = Fo+[4Fi],

le même par conséquent qu'au numéro précédent.

Or, au numéro précédent nous avons trouvé que les solutions du second genre existent seulement pour

Cette conclusion subsiste donc encore dans le cas général, pourvu que [j-o soit suffisamment petit.

Quelle est la valeur de [Xq pour laquelle cette conclusion serait renversée?

Reprenons les notations du n° 361 qui sont celles du n" 275; l'exposant a qui y figure est développable suivant les puissances du produit AA'.

Il se réduit à l'exposant caractéristique pour AA'^ o.

Comme nous supposons la solution du premier genre stable

33o CHAPITRE XXX.

et a imaginaire, A et A' sont imaginaires conjugués et le produit AA' est positif.

Pour les petites valeurs de p., a est décroissant quand AA' croit; si c'était le contraire, les solutions du second genre existeraient seulement pour u. <; [J-o-

La valeur de [j-o cherchée est donc celle pour laquelle a cesse de décroître quand AA' croît; c'est donc celle qui annule la dérivée de a par rapport à AA'.

PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. 33l

Les solutions du deuxième genre et le principe de moindre action.

37.1. Je ne puis passai' sous silence les rapports entre la théorie des solutions du deuxième genre et le principe de moindre action; et c'est même à cause de ces rapports que j'ai écrit le Chapitre XXIX. Mais, pour les faire bien comprendre, quelques préliminaires sont encore nécessaires.

Supposons deux degrés de liberté; soient x^ et Xo les deux variables de la première série, que l'on pourra considérer comme les coordonnées d'un point dans un plan-, les courbes planes qui satisferont à nos équations différentielles constitueront ce que nous avons appelé des trajectoires.

Soit M un point quelconque du plan. Considérons l'ensemble des trajectoires issues du point M et soit E leur enveloppe. Soit F le /i"""*^ fojer cinétique de M sur la trajectoire (T); cette trajectoire touchera l'enveloppe E au point F, d'après la définition même des fojers cinétiques; je rappelle que le /i"^""^ foyer de M, ou son foyer d'ordre n est le n''^""^ point d'intersection de (T) avec la trajectoire infiniment voisine passant par M. Mais les circonstances de ce contact peuvent varier. Il peut se faire que F ne soit pas un point singulier de la courbe E et que le contact soit du premier ordre; c'est là le cas [e plus général.

Soient

iPi = cp(a;2)

iPl = O ( a?2 ) -r- 'l' ( *^2 )

les équations de la trajectoire (T) et d'une trajectoire (T') très voisine, issue du point M.

Soient z-i et z--2 les coordonnées du point M, ?/, et u-, celles de F. Comme (T) passe par M et F et (T') par M, on aura

Zi=o(z,), 11^= -Jailli), •i(:;o) = o.

La trajectoire (T') étant très voisine de (T) la fonction 6 sera très petite; je pourrai appeler a l'angie sous lequel les deux trajectoires se coupent au point M ; ce sera cet angle qui définira la trajectoire (T'); alors la fonction à dépendra de l'angle a; elle sera très petite si, comme nous le supposons, cet angle a est lui-même très petit, et elle s'annulera avec a.

La valeur de ^(^2) (en désignant par à' la dérivée de <l) sera de même signe que a. Quant à '^{11-2) [si nous supposons a très petit et si le système de coordonnées a été défini de telle sorte que la fonction 'f (^2) soit uniforme, ce qui est toujours possible] il est de même signe que a, si F est un fover d'ordre pair, et de signe contraire si F est un foyer d'ordre impair.

Ce qui caractérise le cas qui nous occupe, c'est que '\'{ii-2) est du même ordre que a- et toujours du même signe.

Supposons par exemple que '\i{u2) soit positif.

Alors si le signe de a est tel que à'iii'i) soit positif, la trajectoire (ï') coupera (T) en un point F', voisin du point F et moins éloigné de M que le point F (en supposant 112 > ^2)- Dans ce cas, (T') touche E avant F', tandis que (T) touche E après F'^ d'après un raisonnement bien connu, l'action est plus grande (au moins dans le mouvement absolu) quand on va de M en F' en parcourant (T') que quand on va de M en F' en suivant (T),

Si le signe de a est tel que '^'(wo) soit négatif, (T') coupe (T) en un point F', plus éloigné de M que F; alors (T') touche E après F' et (T) touche E avant F'; Faction, quand on va de M en F', est plus grande le long de (T) que le long de (ï').

Les résultats seraient renversés si '}(?<2) était négatif; mais en tous cas parmi les trajectoires (T') voisines de (T) il y en a qui coupent (ï) près de F et au delà de F et d'autres qui coupent (T) près de F et en deçà de F.

Dans ce cas nous dirons que F est un foye/- ordinaire. Il ne peut pas arriver que F soit un point ordinaire de E et que le contact soit. d'ordre supérieur au premier.

Développons '\>{j^2) suivant les puissances de a et soit

lii (^2 ) = a'ii i ( jr-i ) -I- x- il 2(3:2) +. . ..

La condition pour qu'il y eût un contact d'ordre supérieur, serait

^lais nous avons déjà

et la fonction 'i;, (x^) satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre, dont les coefficients sont des fonctions finies et données de jto, le coefficient de la dérivée seconde se réduisant à l'unité.

Si pour x.^=:u.^, l'intégrale 'i>,(xo) s'annulait ainsi que sa dérivée première, elle serait identiquement nulle, ce qui est absurde.

11 n'y a donc jamais de contact d'ordre supérieur.

Mais il peut arriver que F soit un point de rebroussement de la courbe E, soit qu'il présente sa pointe du côté de M de façon qu'un mobile allant de M en F le prenne en pointe^ soit qu'il présente sa pointe du côté opposé de façon que le mobile le prenne en talon. Dans le premier cas je dirai que F est \\n foyer en pointe et dans le second cas que c'est un foyer en talon.

Dans l'un et l'autre cas, '\{ii-i) est de l'ordre de a''; dans le cas d'un foyer en pointe il est du signe de a, si P est un foyer d'ordre impair et de signe contraire à a si F est un foyer d'ordre pair; c'est le contraire dans le cas d'un foyer en talon.

Dans le cas d'un foyer en pointe, toutes les trajectoires (ï') coupent (T) en un point F' voisin de F et au delà de F; l'action en allant de M en F' est plus grande le long de (T) que le long de(ï').

Dans le cas d'un foyer en talon, toutes les trajectoires (ï') coupent (T) en un point F' voisin de F et en deçà de F; l'action de M en F' est plus grande le long de (T') que le long de (T).

Soit alors F' un point de (T) suffisamment voisin de F. Dans le cas d'un foyer en pointe, je puis joindre M à F' par une trajectoire (ï') si F' est au delà de F; dans le cas d'un foyer en talon, je puis joindre M à F' si F' est en deçà de F.

Il pourrait arriver enfin que F fût un point singulier de E plus compliqué qu'un point de rebroussement ordinaire; je dirais alors que c'est un foyer singulier.

Je ferai seulement observer qu'on ne peut passer d'un foyer en pointe à un foyer en talon que par un foyer singulier; car, au moment du passage, ^{u^) doit être de l'ordre de a''.

372. Considérons maintenant une solution périodique quelconque; elle correspondra à une trajectoire (T) fermée. Soit a l'exposant caractéristique et T la période. Nous avons vu au Chapitre XXIX comment on parvient à déterminer les fojers cinétiques successifs (n° 347).

Supposons que a soit égal à " ? n étant un nombre commen-

surable dont le numérateur est/?. Dans ce cas l'application de la règle du n° 347 montre que chaque point de (T) coïncide avec son 1 p^'^"^'^ fojer.

Si en effet on prend comme au n° 347 une unité de temps telle que la période ï soit égale à 271, il vient a = in. Si l'on désigne par To la valeur de la fonction t au point JM, soient Vj, To, . . . , -z^p les valeurs de cette fonction t au premier, au second, ..., au a/?'"™^ foyer de M; nous aurons d'après la règle du n° 347,

i- il- •xpir. ipT.

a "' a "'' a ii

Si p est le numérateur de /ï, on voit que -z-^p — ^~o Gst un multiple de 2TI, c'est-à-dire que M et son ay?*"'"'^ foyer coïncident.

La trajectoire issue du point M et infiniment voisine de (ï) viendra donc repasser par le point M après avoir fait A' -f- 2 fois le tour de la trajectoire fermée (T) si A- -f- 2 est le dénoniinaleur de n.

Le point M est donc son a/j»''™*-' foyer; mais on peut se demander à quelle catégorie de foyers il appartient, au point de vue de la classification du numéro précédent.

Adoptons un- système de coordonnées analogues au coordonnées polaires dé telle sorte que l'équation de la trajectoire fermée (T) soit

et que co varie de o à 27c quand on fait le tour de celte trajectoire fermée. Les courbes p = const. sont alors des courbes fermées s'enveloppant mutuellement à la façon de cercles concentriques, et les courbes to = const. forment un faisceau de courbes divergentes qui viennent couper toutes les courbes 0 = const.; et de telle façon que la courbe a) = a+27T coïncide avec la courbe co = «.

Soit alors coq la valeur de oj qui correspond au point de départ M; la valeur de oj qui correspondra à ce même point M, considéré comme le 2/?"""" fojer du point de départ, sera

wo-l- a(/v -4- 2)7r.

Soit

p = I -h J; ( to )

l'équation d'une trajectoire (ï'), voisine de (T) et passant par M. La fonction ^(w) correspondra à la fonction 4' (-^2) du numéro précédent. Nous aurons (];(wo)^o et ce qu'il s'agit de discuter c'est le signe de

J; [ Wo -i- 2 ( /i + 2 ) TT ] .

Il s'agit donc de former la fonction ài^oi) et pour cela nous n'avons qu'à appliquer, soit les principes du Chapitre VII, soit ceux du n° 274. Si nous appliquons par exemple ces derniers, voici ce que nous trouverons : La fonction ^(w) est développable suivant les puissances des deux quantités

Les coefficients du développement sont des fonctions périodiques de période 2t:; Aet A' sont deux constantes d'intégration; quant à a, c'est une constante qui est développable suivant les puissances du produit AA'

a = ao -f- ai ( AA') ^ a, ( A A')^ -r

D'ailleurs a^ est égal à l'exposant caractéristique de (T) c'està-dire à in.

Si (ï') diffère peu de (T), les deux constantes A et A' sont très petites; elles sont de l'ordre de l'angle que j'appelais a dans le

numéro précédent et qu'il ne faut pas confondre avec l'exposant que je désigne par la même lettre dans le présent numéro.

Si nous poussons l'approximation jusqu'au troisième ordre inclusivement par rapport à A et A', '}((j^) se réduira à un poljnome du troisième ordre par rapport à ces deux constantes et je pourrai écrire

i\i(oj) = Ae5LW(T| A'e-aw(7'|y(Aeaw^ A'e-aw)

y étant un poljnome entier par rapport à Ae^'"', A'e~°"^ ne contenant que des termes du second et du troisième degré. Les coefficients du polynôme/", de même que o- et o-', sont des fonctions périodiques de période 27t.

Cela posé, comme a est égal à ao, à des quantités près du second ordre, et à ao + ai (A A') à des quantités près du quatrième ordre, nous pouvons écrire, en négligeant toujours les quantités du quatrième ordre par rapport à A et A',

<h(uj) = Aaew(a„+aiAA')| A'cr'e-wCA-^a.AA'i j y( ^ e«oW, A'e-«o"i) ou bien encore

di(oi) = Ae^'oWa 4- A'e^^'oWa'

-H o(ia)AA'(Ae«oWcr — A'e-aoWcr') + /(Ae'Aw^ A'e-«oW).

Quand co augmente de (2k -\- /i)~, les coefficients de/, non plus que a- et t' ne changent pas. il en est de même de e^"'",

puisque — =z n a pour dénominateur A -j- 2 ; il en est donc encore

de même de

\e^uu>a, A'e-«oWj', /(Ae^oW, A'e-KoW).

Il vient donc enfin

'\i((.o -4- lA- -1-4-)— 'h(M) = {'ik -+- 2)71x1 AA'(Ae«o«cr — A'e-a<.«a').

Or '}(tL)o) est nulle; la quantité dont nous devons déterminer Je signe est donc

{■ik + 2)7Tai AA'(Ac'Aw„cry— A'e-«o"ocr; ).

Je désigne par tç^ et o-^ les valeurs de cr et a-' pour co = w,).

PROPRIIÎTES DES SOLUTIONS DU DEUXIEME GENRE. ciûj

J'observe d'abord que cette quantité est du troisième ordre, ce qui, d'après le numéro précédent, nous montre que nos fojers seront en général des foyers en pointe ou en talon. Je dis maintenant que cette quantité est toujours de même signe et que son coefficient ne peut s'annuler.

En effet, les deux constantes A et A' sont liées par la relation

d; ( coo ) = O

ce qui peut s'écrire, puisque A et A' sont des quantités infiniment petites

(1) Agî'oWoau -4- A'e-«oWo jg = o.

D'autre part y.o est purement imaginaire, o-q et t'^ sont imaginaires conjuguées; il en est de même de A et de A'.

Le produit AA' est donc essentiellement positif et ne peut s'annuler; car A et A' ne peuvent être nuls à la fois.

D'autre part on ne peut avoir

(2) Ae^oWucfu — A'e-5<oWo(To = o, caries équations (i) et (2) entraîneraient

Mais ces équations sont impossibles; elles signifieraient que toutes les trajectoires très voisines de (T) vont passer par le point M, ce qui est évidemment faux.

Notre quantité 'ji((.Oo + 2/i7i -r 4"^) a donc toujours le même signe. Nos foyers sont donc tous en pointe, ou tous en talon; tout dépend du signe de a,.

373. Nous avons dû laisser de côté le cas oii a, serait nul, cas exceptionnel où tous les foyers seraient singuliers; et celui où k -\- 2 serait égal à 2, 3 ou 4; voici pourquoi :

On a vu que, dans les calculs du Chapitre Vil, s'introduisent de petits diviseurs

ïv/^^+-a? — ^^t

Le calcul se trouve arrêté et des termes séculaires apparaissent si l'un de ces diviseurs s'annule.

338 CIIAPITRK XXXI.

Or, on constale aisément que, si k + 2 est égal à 2, 3 ou 4, on pourra se trouver arrêté ainsi clans le calcul des termes des trois premiers ordres qui sont ceux dont nous avons été obligés de tenir compte. Si au contraire /i -f-2>>4, on ne sera arrêté que dans le calcul des termes d'ordre supérieur qui n'interviennenl pas dans l'analyse précédente.

374. Supposons, par exemple, que tous les fojers soient en pointe; soit M un point quelconque de (T); ce point sera à luimême son 2/)''-"^ foyer. Soit M' un point situé un peu au delà du point M dans la direction où l'on paixourt la trajectoire (T) et les trajectoires voisines de (T'). Je pourrai tracer une trajectoire (T') issue du point M, qui s'écartera très peu de (T), qui fera k -\- 2 fois le tour de (T) et viendra finalement aboutir au point M' et qui aura 2/? + i points d'intersection avec (T), en comptant les points d'intersection M et M'.

En elfet, le foyer étant en pointe, les trajectoires (T') voisines de (T) viennent toutes recouper (T) au delà du foyer. Nous pourrons donc tracer la trajectoire (T') qui satisfait aux conditions Cjue je viens d'énoncer, pourvu que la distance MM' soit plus petite que S. Il est clair que la limite supérieure que ne doit pas dépasser la dislance MiW dépend de la position de M sur (T); mais elle ne s'annule jamais puisqu'il n'y a pas de foyer singulier. Il me suffira alors d'égaler 0 à la plus petite valeur que puisse prendre cette limite supérieure et je pourrai regarder 0 comme une constante.

Si donc la distance MM' est plus petite que 0, nous pouvons mener une trajectoire (T') satisfaisant à nos conditions; nous pouvons même en mener deux, l'une coupant (T) en M sous un angle positif, l'autre sous un angle négatif.

Cela posé, supposons que nos équations clifTérentielles canoniques dépendent d'un paramètre \\ pour X = o, la trajectoire fermée (T) a pour exposant caractéristique 0.^^=111. Supposons que, pour \ >o, l'exposant caractéristique, divisé par i, soit plus grand que n et que, pour À <; o, il soit au contraire plus petit que n.

Alors, pour).^o, le point M ne sera plus son propre 2/?'^''"^ foyer ; son 2/?"'™'= foyer sera situé en deçà de M pour ). >-o, et au delà

PROPRIÉTÉS DKS SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. SSg

de M pour X << o. Soit F ce foyer. La distance MF dépendra naturellement de la position de M sur (T); j'appelle s la plus grande valeur de cette distance; il est clair que s sera une fonction continue de ). et qu'elle s'annulera avec X; remarquons que, pourX^o, d'après les principes du n" 347, le foyer F est toujours au delà de M, ou toujours en deçà, suivant la valeur de l'exposant caractéristique, et la distance MF ne peut jamais s'annuler.

Soit F' un point situé un peu au delà de F; nous pourrons joindre M à F' par une trajectoire (T') pourvu que la distance FF' reste inférieure à une certaine quantité o'. Il est clair c[ue ù' est une fonction continue de \ et elle se réduit à o pour X = o.

Prenons X > o, de iaçon que M soit au delà de F; nous pourrons faire jouer à M le rôle de F' et joindre M à lui-même par une trajectoire (T'), pourvu que la distance MF soit plus petite que o',

ou pourvu que

pour X = o, £ est nul et o'= g >> o; donc on peut prendre A assez petit pour c[ue l'inégalité soit satisfaite.

On peut alors joindre le point M à lui-même par une trajectoire (T') s'écartant peu de (T), faisant A" -i- 2 fois le tour de (T) et coupant 2/> + i fois (T).

Fis. 12.

Sur la figure, BA représente un arc de (T) sur lequel se trouve M. MG est un arc de (T') parlant de M et DM est un autre arc de cette même trajectoire aboutissant à M. Des flèches indiquent le sens dans lequel les trajectoires sont décrites.

Le point M peut être ainsi joint à lui-même, non pas par une,

mais par deux Irajectoires (T'); pour l'une, comme l'indique la figure, l'angle CMAest positif, de telle façon que CM est au-dessus de ]MA; pour l'autre, l'angle CMA serait négatif.

La trajectoire (ï') ne doit pas être regardée comme une trajectoire fermée; elle part bien du point M pour revenir au point M, mais la direction de la tangente n'est pas la même au point de départ et au point d'arrivée, de sorte que les arcs MC et DM ne se raccordent pas.

La trajectoire (T'), allant ainsi de M en M avec un point anguleux en M, formera ainsi ce qu'on pourra appeler une boucle. En faisant la même construction pour tous les points M de (T), ou obtiendra une série de boucles; on en obtiendra même deux, la première correspondant au cas où l'angle CMiV est positif, et la seconde au cas où cet angle est négatif. Ces deux séries sont bien séparées l'une de l'autre; et en effet, le passage de l'une à l'autre ne pourrait se faire que si l'angle CMA devenait infiniment petit.

Alors, la ti'ajectoire (ï'), devenue infiniment voisine de (T), irait passer par le foyer F, d'après la définition même des foyers; mais, comme elle doit aboutir au point M, les points IM et F se confondraient; cela ne peut arriver d'après les principes du n° 347.

Ainsi donc, si tous les foyers sont en pointe, nous avons deux séries de boucles pour À >> o, et nous n'en avons plus pour! < o.

Si tous les foyers étaient en talon, on pourrait répéter les mêmes raisonnements; on trouverait qu'il y a deux séries de boucles pour X <^ o, et qu'il n'y en a plus pour A >- o.

375. Considérons une des séries de boucles définies dans le numéro précédent; Inaction calculée le long d'une de ces boucles variera avec la position du point M; elle aura au moins un maximum ou un minimum.

Je dis que, si l'action est maximum ou minimum, les deux arcs MC et CD se raccordent, de telle façon que la trajectoire (T') est fermée et correspond à une solution périodique du deuxième genre.

En effet, supposons par exemple que la trajectoire (T') corresponde au minimum de l'action et que l'angle CMA soit plus grand que l'angle BMD comme sur la figure; prenons alors un point M| à gauche de M et infiniment près de M, construisons

une boucle (T', ) iiiBninicnt peu difFérente de la boucle (ï') et ayant son point anguleux en M| ; soient M, Ci et M| D| deux arcs de cette boucle.

De M et de M| , j'abaisse deux normales MP et M, Q sur M, Ci etsurMD.

D'après un théorème bien connu, l'action le long- de (ï') depuis le point M jusqu'au point Q sera égale à l'action le long de (ï'i ) depuis le point P jusqu'à Mi . On aura donc

action (Tj) == action (T') -f- action (MiP) — action (MQ) ou

action (T;)= action (T')+ action (lVIMi)(cos CMA — cosBMQ),

ou enfin

action (Tj ) < action (T'),

ce qui est absurde, puisque (T') a été supposé correspondre au

minimum de l'action.

Si l'on supposait

CMA < BlMD,

on arriverait à la même absurdité en plaçant Mi à droite de M. On doit donc supposer

CMAr= BMD,

c'est-à-dire que les deux arcs se raccordent.

Le même raisonnement est applicable au cas du maximum.

Cliac[ue série de boucles contient donc au moins deux trajectoires fermées.

Chacune de ces trajectoires fermées fait le + 2 fois le tour de (T) et coupe (T) en ay? points. Pour p d'entre eux, l'angle analogue à CMA est positif et, pour les p autres, il est négatif; et, en effet, la courbe (T') étant fermée, doit couper (T) autant de fois dans un sens que dans l'autre.

Donc, cette trajectoire fermée peut être regardée comme une boucle de 2p manières différentes; car nous pouvons regarder l'un quelconque de nos 2/? points d'intersection comme le point anguleux; pour p de ces manières, la boucle ainsi définie appartiendra à la première série et pour les p autres à la seconde.

Parmi les boucles de chaque série, il y en a donc non pas deux,

mais au moins ip qui se réduisent à des trajectoires fermées. Seulement on obtient ainsi non pas 4/>, mais seulement deux trajectoires fermées distinctes.

Qu'il n'j en ait pas davantage en général, c'est ce qui ne résulte pas du raisonnement précédent, mais ce qu'on peut déduire des principes du Chapitre précédent.

La trajectoire (T') ainsi définie aura ^{k -\- \)p points doubles si k est impair et r,{k 4- 2 )/> points doubles si k est pair. Gela est vrai pour les petites valeurs de ). ; mais je dis que cela reste vrai quelque grand que soit \ tant que (T') existe. Et, en effet, le nombre des points doubles ne pourrait varier que si deux branches de la courbe (T') venaient à être tangentes entre elles; mais deux trajectoires ne peuvent être tangentes entre elles sans se confondre.

Pour la même raison, quelque grand que soit 1, tant que les deux trajectoires (T) et (T') existeront, elles se couperont en %p points.

376. Tous les raisonnements du numéro précédent supposent qu'il s'agit du mouvement absolu.

En voulant les étendre au cas du mouvement relatif, on rencontrerait des difficultés qui ne sont sans doute pas insurmontables, mais que je ne chercherai pas à surmonter.

Tout d'abord, il faudrait modifier la construction employée dans le numéro précédent. Au lieu de mener MP et M, Q normales à MiC et MD, voici ce qu'il faudrait faire. Pour construire MP, par exemple, on construirait un cercle infiniment petit satisfaisant aux conditions suivantes : il coupe M^C^ en P et touche en ce point la droite MP; la droite qui jointMau centre doit avoir une direction donnée et être dans un rapport donné avec le rayon. La droite MP ainsi construite jouit des mêmes propriétés qu'a la normale dans le mouvement absolu. Malheureusement cette construction peut dans certains cas entraîner une difficulté.

De plus l'action (MM,) n'est pas toujours positive; si elle devenait nulle, le raisonnement se trouverait encore en défaut^ le maximum ou le minimum pourrait être atteint au point M tel que

l'action (MM, ) soit nulle, et cela sans que les arcs MG et DM aient besoin de se raccorder.

JNos raisonnements ne s'appliqueraient donc au cas du mouvement relatif que si l'action reste positive tout le long de (T).

Dans tous les cas, l'une des conclusions reste vraie; la trajectoire fermée (T') existe toujours puisque si le raisonnement du numéro précédent est en défaut, il n'en est pas de même de ceux des Chapitres XXVIII et XXX; de plus (T') coupe (T) en ip

points et possède — [k -f- i) ou — [k + 2) j)oints doubles.

Cela est vrai pour les petites valeurs de )v, mais je ne peux plus conclure que cela reste vrai quel que soit a; car deux trajectoires peuvent être tangentes sans se confondre, pourvu qu'elles soient parcourues en sens contraire.

Stabilité et instabilité.

377. Supposons qu'il y ait seulement deux degrés de liberté; deux des exposants caractéristiques sont nuls, les deux autres sont égaux et de signes contraires.

L'équation qui a pour racines

est une équation du second ordre dont les coefficients sont réels (T représente la période et a l'un des exposants caractéristiques).

Ses racines sont donc réelles ou imaginaires conjuguées.

Si elles sont réelles et positives, les a sont réels et la solution périodique est instable.

Si elles sont imaginaires, les a sont imaginaires conjuguées; comme le produit est égal à -+- i, les a sont purement imaginaires et la solution périodique est stable.

Si elles sont réelles et négatis^es, les a sont imaginaires, mais

complexes, la partie imaginaire étant égale à 7^; la solution

périodic[ue est encore instable.

Elles ne peuvent d'ailleurs être réelles et de signes contraires puisque le produit est égal à + i .

Il y a donc deux sortes de solutions instables, correspondant

aux deux hypothèses

Le passage des solutions slahles aux solutions instables de la première sorte se fait par la valeur

Le passage des solutions stables aux solutions instables de la seconde sorte se fait par la valeur

378. Étudions d'abord le passage aux solutions instables de la première sorte. Au moment du passage on a

Reprenons les quantités [i/f et d/y^ définies au Chapitre 111 et envisageons l'équation

dfi d^2~

dh

d<ii3 d'\iz d^ diis^

dh

cette équation a pour racines

Au moment du passage les quatre racines deviennent nulles.

Mais avant d'étudier ce cas simple où l'on a affaire à des équations de la Dynamique avec deux degrés de liberté, et oi^i l'on suppose que la fonction F ne dépend pas du temps explicitement et que par conséquent les équations admettent l'intégrale des forces vives F = const., avant, dis-je, d'étudier ce cas simple, il convient j)eLit-être de nous arrêter un instant sur un cas plus simple encore.

Soit F une fonction quelconque de x, y et ^, périodique de

période T par rapport à t; envisageons les équations canoniques

dx 'di

d¥ dy

dy dt

ce sont les équations de la Dynamique avec un seul degré de liberté; mais, F dépendant de t^ elles n'admettent pas l'équation des forces vives F = const.

Supposons que ces équations (2) admettent une solution périodique de période T. Les exposants caracléristiques nous seront donnés par l'équation suivante analogue à (i)

qui a pour racines

3— al

Ces racines deviennent nulles toutes deux au moment du passage.

Supposons que F dépende d'un certain paramètre [x et que, pour ), = 0, les deux racines de l'équation (3) soient nulles. Les fonctions '}, et '^2 dépendront non seulement de pi et de P2, mais de ]}.. Nous supposerons que F est développable suivant les puissances de [j. et que par conséquent t|/, et «j^o sont développables suivant les puissances de [3|, [3o et u..

Les solutions périodiques nous seront données par les équations

Pour p. = o, [3, = [3o = o, le déterminant fonctionnel des ^ par rapport aux (3 est nul

mais en général les quatre dérivées -—■ ne s'annuleront pas à la fois. Supposons par exemple

d^^ < ^Pi>°'

on tirera de la première équation (4) (3| en série développée suivant les puissances de [^2 et de ^ et l'on substituera dans la H. P. - III. 23

seconde équation ( f). Soit

le résultat de la substitution. Notre déterminant fonctionnel étant

nul, on aura

dw __

mais deux cas sont à distinguer :

1° La dérivée -r- n'est pas nulle, ou, en d'autres termes, le

déterminant fonctionnel de <}, et 'lo, par rapport à [^, et [.»., n'est pas nul.

Dans ce cas, si l'on regarde [io et [jl comme les coordonnées d'un point dans un plan, la courbe représentée par l'équation (5) aura à l'origine un point ordinaire, où la tangente sera la droite

;jl. =: o.

En général, la dérivée seconde

ne sera pas nulle, c'est-à-dire que l'origine ne sera pas un point d'inflexion pour la courbe (5).

Si nous coupons par la droite [j. = [j-o, p-o étant une constante assez petite, nous pourrons, suivant le signe de ^-oi avoir deux points d'intersection de cette droite et de la courbe (5) dans le voisinage de l'origine ou n'en avoir aucun.

Si, par exemple, la courbe est au-dessus de sa tangente, nous aurons, pour ao>o, deux intersections et, par conséquent, deux solutions périodiques, pour [Xo < o nous n'en aurons aucune.

Nous voyons donc deux solutions périodiques se rapprocher l'une de l'autre, se confondre, puis disparaître.

Considérons les deux points d'intersection de la droite [j. = a^ avec la courbe (5); ils correspondront à deux racines consécutives de l'équation (5) et, par conséquent, à deux valeurs de signes

contraires de la dérivée -f^-' donc à deux valeurs de signes coii-

traires du déterminant fonctionnel des tL<- par rapport aux [i; c'est-

à-dire du produit

c'est-à-dire de a-.

Donc Vune des deux solutions périodiques qui se confondent ainsi pour disparaître, est toujours stable et l'autre instable.

2" La dérivée -7— =0, ou, en d'autres termes, le déterminant

fonctionnel de (Li et ']^2, par rapport à ^^ et p., est nul.

La courbe (5) a alors à l'origine un point singulier qui, en général, sera un point double ordinaire- Deux branches de courbe se coupent à l'origine, la droite p. = [j-o rencontrera toujours la courbe en deux points; nous aurons donc deux solutions périodiques, quel que soit le signe de jxo- Les deux branches de courbe déterminent dans le voisinage de l'origine quatre régions; dans deux de ces régions opposées par le sommet, W sera positif; dans les deux autres, il sera négatif.

Soient 0P<, OPo, OP3, OP4 les quatre demi-branches qui aboutissent à l'origine; OP, sera le prolongement de OP3 et OP2 de OP4 ; OPi et OPo correspondront à [Ao>o; OP3 et OP4 à li-o < o ; la fonction W sera positive dans les angJes ^^ OPo, P3 OP/, et négative dans les angles P2OP3, Pi OP/, .

Nous venons de voir que la stabilité dépend du signe de la

dérivée -jp-; alors quand on franchira OP, , par exemple, W passera

du négatif au positif; la dérivée sera positive et la solution sera, par exemple, stable ; elle sera stable aussi quand on franchira OP4 ; instable quand on franchira OPo ou OP3.

Les solutions périodiques correspondant à OP, sont stables et elles sont la suite analytique de celles qui correspondent à OP3 et qui sont instables.

Inversement celles qui correspondent à OPo et qui sont instables sont la suite analytique de celles qui correspondent à OP-, et qui sont stables.

Nous avons donc deux séries analytiques de solutions périodiques qui, pour u=:o, se confondent, et à ce moment les deux séries échangent leur stabilité.

Nous venons d'étudier les deux cas les plus simples, mais une foule d'autres cas peuvent se présenter correspondant aux différentes singularités que peut présenter la courbe (5) à l'origine.

Mais, quelles que soient ces singularités, nous verrons rayonner autour de l'origine un nombre pair p -{- q && demi-branches de courbes, à savoir p du côté de [a > o, et ^ du côté \x << o. Supposons qu'un petit cercle décrit autour de l'origine les rencontre dans l'ordre suivant

OPi, OP2, ..., 0P/,+^.

Soient

(6) OPi, OP2, ..., OV, celles qui correspondent à p. > o et

celles qui correspondent à a << o.

Alors les demi-branches (6) correspondent alternativement à des solutions périodiques stables et à des solutions instables; je dirai pour abréger que ces demi-branches sont alternativement stables ou instables.

Il en est de même des demi-branches (7).

D'autre part OP^ et OP^^i sont toutes deux stables ou toutes deux instables.

Il en est de même par conséquent de OPy,^^ et OP) .

Soient donc p' et p" le nombre des demi-branches stables et celui des demi-branches instables pour a >> o de sorte que

Soient q' et q" les nombres correspondants pour jj. <; o de sorte que q' -\- q" =^ q- il n'j a alors que trois hypothèses possibles

Dans tous les cas on a

Supposons que/? ne soit pas égal à q^ et par exemple que/» >• q

de telle façon qu'un certain nombre de solutions périodiques disparaissent quand on passe de [a > o à [x << o ; on voit d'abord que ce nombre est toujours pair et de plus d'après l'équation précédente, il disparait toujours autant de solutions stables que de solutions instables.

Supposons maintenant que nous ayons une série analytique de solutions périodiques et que, pour [x =:o, on passe de la stabilité à l'instabilité ou inversement (et cela de façon que l'exposant a s'annule). Alors c/ el p" (par exemple) sont au moins égaux à i. Donc />'+ q" est au moins égal à 2. D'où il suit qu'il y aura au moins une autre série analytique de solutions périodiques réelles se confondant avec la première pour p. =z= o.

Donc si, pour une certaine valeur de [x, une solution périodique perd la stabilité ou l'acquiert (et cela de telle façon que l'exposant a soit nul) c''est qu'elle se sera confondue avec une autre solution périodique, avec laquelle elle aura échangé sa stabilité.

379. Revenons maintenant au cas que je m'étais d'abord proposé de traiter, celui où le temps n'entre pas explicitement dans les équations, où par conséquent on a l'intégrale des forces vives F =^ C, où enfin il j a deux degrés de liberté.

Je raisonnerai alors comme au n" 317, je supposerai que la période de la solution périodique qui est T pour la solution qui correspond à |Ji. = o, [3/=o, est égale à T -f- -ï et peu différente de T pour les solutions périodiques voisines 5 et j'écrirai les équations

(i) <l>i = o, ^2 = 0, <]^3 = o, F = Go, Pi = o,

où entrent les variables

D'après nos hypothèses, le déterminant fonctionnel des '^ par rapport aux [^ doit s'annuler ainsi que tous ses mineurs du premier ordre; mais les mineurs du second ordre ne seront pas en

général tous nuls à la fois.

Faisons donc ^,:^o dans les équations (i) et envisageons le

35o CHAPITRE XXXI.

déterminant fonctionnel A de

par rapport à

Ce déterminant s'annnle quand les (î, |j. et t s'annulent; mais en général les mineurs du premier ordre ne s'annuleront pas.

Considérons en effet les déterminants fonctionnels de F et de deux des quatre fonctions (L, par rapport à x et à deux des quatre variables ^. Peuvent-ils être tous nuls à la fois?

D'après la théorie des déterminants cela ne pourrait arriver :

i" Que si tous les mineurs des deux premiers ordres du déterminant des 4* par rapport aux [i étaient nuls, à la fois, ce qui n'arrive pas en général et ce cjue nous ne supposerons pas.

2" Ou si les dérivées de F étaient toutes nulles à la fois; nous avons vu au n° 64- qu'elles devraient l'être tout le long de la solution périodique; nous ne supposerons pas cela non plus.

.)" Ou enfin si les dérivées des t|> et de F par rapport à t étaient toutes nulles à la fois; alors les valeurs

correspondraient non pas à une solution périodique proprement dite, mais à une position d'équilibre {Cf. n° 68).

Nous ne supposerons pas cela non plus.

Nous pouvons donc toujours supposer que tous les mineurs du premier ordre de A ne sont pas nuls.

Éliminons alors quatre de nos Inconnues [i et - entre les équations (i).

Éliminons par exemple ^,, ^3, [i/, , t, il restera une équation (le la forme

cette équation étant tout à fait de même forme que l'équation (5) du numéro précédent se traiterait de la même manière et nous aiTiverions aux mêmes résultats :

1° Quand des solutions périodiques disparaissent après s'être confondues, il en disparaît toujours un nombre pair et autant de stables que d'instables.

a" Quand une solution périodique perd ou acquiert la stabilité

PROPRIETES DES SOLUTIONS DU DEUXIEME GENRE. o3I

quand on fait varier ^ d'une façon continue (et cela de telle manière que a s'annule) on peut être certain qu'au moment du passage une autre solution périodique réelle de même période s'est confondue avec elle.